Логарифм числа

Приклад

Знайдіть: 

а) log28;    б) log50,04;    в) log0,532;  

 г) log2020;    д) log813;    е) log1/191.

♦ За означенням логарифма, потрібно знайти такий степінь, до якого треба піднести основу, щоб отримати підлогарифмічний вираз.

а) Число 2 потрібно піднести до степеня 3, щоб отримати число 8. Тобто log28 = 3.

б) Спочатку переведемо десятковий дріб у звичайний:  0,04=\frac{4}{100}=\frac{1}{25} . Число 5 потрібно піднести до степеня -2, щоб отримати число \frac{1}{25} . Тобто, log50,04 = -2.

в) Переведемо десятковий дріб у звичайний  0,5=\frac{1}{2} . Число  \frac{1}{2} потрібно піднести до -5 степеня, щоб отримати число 32. Тобто, log0,532 = -5.

г) Число 20 потрібно піднести до степеня 1, щоб отримати 20. Тобто, log2020 = 1.

д) З числа 81 потрібно добути корінь 4 – го степеня, щоб отримати число 3. За властивостями степенів з раціональним показником, корінь четвертого степеня – це степінь з показником   \frac{1}{4} . Тому, log813 =  \frac{1}{4} .

е) Для того, щоб степінь будь-якого числа дорівнював одиниці, його показник повинен дорівнювати нулю, тобто  (\frac{1}{19})^0 = 1 . Тобто, log1/191 = 0.♦

Приклад

Обчислити значення виразу: 

а)  log_{9}ctg\frac{\pi }{6};    б)   log_{2}32-log_{21}\sqrt{21}-3log_{4}\frac{1}{64} ;    

в)  log_{18}36+log_{18}9 ;    г)  log_{13}26-log_{13}2 ;  

д)  \frac{lg27}{lg3} ;   е)  10^{2lg7} .

♦ Користуючись властивостями логарифмів, обчислимо значення поданих виразів: 

а)  log_{9}ctg\frac{\pi }{6}=log_{9}\sqrt{3}=log_{9}3^{\frac{1}{2}}=

 =\frac{1}{2}log_{9}3=\frac{1}{2}\cdot 2=1 (властивість про винесення показника підлогарифмічного виразу за знак логарифма);

б)  log_{2}32-log_{21}\sqrt{21}-3log_{4}\frac{1}{64}=5-\frac{1}{2}-3log_{4}4^{-3}=

 =4\frac{1}{2}-3\cdot (-3)=13\frac{1}{2} ;

в)  log_{18}36+log_{18}9=log_{18}(36\cdot 9)=log_{18}324=2 (сума логарифмів з однаковими основами дорівнює логарифму добутку з такою ж основою);

г)  log_{13}26-log_{13}2=log_{13}\frac{26}{2}=log_{13}13=1

(різниця логарифмів з однаковими основами дорівнює логарифму частки з такою ж основою);

д)  \frac{lg27}{lg3}=log_{3}27=3  (використали формулу переходу до нової основи);

е)  10^{2lg7}=10^{lg7^{2}}=10^{lg49}=49  (використали основну логарифмічну тотожність).♦

Приклад

Розв’яжіть рівняння:

а) 3х = 5;   б) 72х-3 = 6;    в) 2х+9 = 12.

♦ а) За означенням логарифма: х = log35.

б) За означенням логарифма:  2x-3=log_{7}6;  

 2x=log_{7}6+3;

 x=\frac{log_{7}6+3}{2}.

в) За означенням логарифма: х + 9 = log212 ⇒ x = log212 – 9. 

Приклад

Обчисліть значення виразу: 

 3^{\frac{2}{log_{5}3}+\frac{1}{3}log_{3}8}-27log_{2}\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}} .

♦  3^{\frac{2}{log_{5}3}+\frac{1}{3}log_{3}8}-27log_{2}\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}=3^{2log_{3}5+log_{3}8^{\frac{1}{3}}} - 27log_{2}\sqrt[4]{2\cdot 2^{\frac{1}{3}}}=

 =3^{log_{3}5^{2}+log_{3}\sqrt[3]{8}} - 27log_{2}(2^{\frac{4}{3})^{\frac{1}{4}}}=3^{log_{3}25+log_{3}2} - 27log_{2}(2^{\frac{1}{3}})=

  =3^log_3( 25\cdot 2) -\frac{1}{3}\cdot 27log_{2}2=50-9=41 .♦

Приклад

Виразіть логарифм log3528 через a та b, якщо а = log47, a b = log4140.

♦  log_{35}28=\frac{log_{4}28}{log_{4}35}=\frac{log_{4}(7\cdot 4)}{log_{4}\frac{34\cdot 4}{4}}=  

 =\frac{log_{4}7+log_{4}4}{log_{4}140-log_{4}4}=\frac{a+1}{b-1} .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *