Модуль та його властивості

Приклад

Знайдіть модуль кожного з чисел: -1; 26; -2,3; 5,4; 0; -16. Запишіть відповідні рівності.

♦ За означенням модуля, модуль додатнього числа дорівнює самому цьому числу, а модуль від’ємного – протилежному йому числу, модуль нуля дорівнює нулю. Тому маємо: |-1| = 1; |26| = 26; |-2,3| = 2,3; |5,4| = 5,4; |0| = 0; |-16| = 16. ♦

Приклад

Знайдіть значення виразу:

1) |-7,2| – |3,4|;        2) |-1,2| · |-6,4|;        3) |-12,1| – |-8,8|;

4)  \left| -\frac{5}{12}\right|+\left|-\frac{3}{16} \right| ;        5) |-56| : |-0,7|.

♦ 1) |-7,2| – |3,4| = 7,2 – 3,4 = 3,8;

2) |-1,2| · |-6,4| = 1,2 · 6,4 = 7,68;

3) |-12,1| – |-8,8| = 12,1 – 8,8 = 3,3;

4)  \left| -\frac{5}{12}\right|+\left|-\frac{3}{16} \right|=\frac{5}{12}+\frac{3}{16}=\frac{5\cdot 4+3\cdot 3 }{48}=\frac{29}{48} ;

5)  |-56| : |-0,7| = 56 : 0,7 = 80. ♦

Приклад

Позначте на координатній прямій числа, модулі яких дорівнюють 3; 0,5; 5; 0; 3,4; 1,8; 4,6; 2,2.

♦ Оскільки модулі чисел дорівнююють заданим числам, то це значить, що на координатну пряму потрібно нанести задані числа, а також всі протилежні їм числа. За одиницю на координатній прямій візьмемо 5 клітинок (ціна поділки 0,2).

Модуль та його властивості

Приклад

Спростити вираз: |a – 3| + |a – 5| – |-8a – 11|, якщо а > 5.

♦ Оцінимо значення кожного модуля при а > 5. Оскільки при а > 5, вираз а – 3 > 2, а значить більший нуля, то за правилом розкриття модуля |a – 3| = а – 3. При а > 5, а – 5 > 0, а отже,  |a – 5| = а – 5. Оцінимо значення останнього модуля: якщо а > 5, то -8а < -40, -8а – 11 < -51, тобто менше нуля. Тому за првилом розкриття модуля маємо: |-8a – 11| = 8а + 11. Розкривши всі модулі, отримуємо вираз: а – 3 + а – 5 – (8а + 11) = 2а – 8 – 8а – 11 = -6а -19.♦

Приклад

Розв’язати рівняння:

а) 3|x| + 1 = 13;     б) |3x+1| = 14.

♦ а) 3|x| + 1 = 13; 

3|x| = 13 – 1; 

3|x| = 12; 

|x| = 4

За означенням модуля: х = 4, якщо х > 0 та х = -4, якщо х < 0.

б)  За означенням модуля 3x+1 = 14, якщо 3х + 1 > 0 та 3x+1 = -14, якщо 3х + 1 < 0. Розв’яжемо нерівності: 3х + 1 > 0 та 3х + 1 < 0. 

3х + 1 > 0;

3х > -1;

х > -1/3 ⇒ х ∈ (-1/3; +∞) 

3х + 1 < 0 ⇒ х ∈ (-∞; -1/3)

Тому: 3x+1 = 14 ⇒ 3х = 13 ⇒ х = 13/3, при х ∈ (-1/3; +∞) та 3x+1 = -14 ⇒ 3х = -15 ⇒ х = -5, при х ∈ (-∞; -1/3). ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *