Нерівності

Приклад 1

Розв’язати нерівності:

а) 3 (5+х) > 11 + 8 (х – 2);

б) у – 7 (у + 1) ≤ 5 – 6 (у + 2).

♦ а) 3 (5 + х) > 11 + 8 (х – 2);

15 + 3х > 11 + 8х – 16;

3х – 8х > 11 – 16 – 15;

-5х > – 20;

х < -20 : (-5);

х < 4.

Отже, х ∈ (-∞; 4).

б) у – 7 (у + 1) ≤ 5 – 6 (у + 2);

у – 7у – 7 ≤ 5 – 6у – 12;

у – 7у + 6у ≤ 5 – 12 + 7;

0·у ≤ 0;

Отже, у ∈ R.♦

Приклад 2

Розв’язати нерівність: (2х -1)(х + 2)(х – 1) < 0

♦ Розглянемо функцію у =  (2х -1)(х + 2)(х – 1), D (y) = (-∞; +∞).

Знайдемо нулі функції:  (2х -1)(х + 2)(х – 1) = 0 ⇒ 2х -1 =0 або  х + 2 = 0, або  х – 1 = 0 ⇒  х = 1/2 або х = -2, або х = 1.

Нанесемо на числову пряму область визначення та нулі функції.

Нерівності

Визначимо знак функції на кожному інтревалі (достатньо визначити тільки знак, значення виразу обчислювати не потрібно):

у (-3) = (2·(-3) – 1)(-3 + 2)(-3 – 1) = “-” · “-” · “-” < 0;

у (0) = (2·0 -1)(0+2)(0-1) = “-” · “+” · “-” > 0;

у (0,6) = (2·0,6 – 1)(0,6 + 2)(0,6 – 1) = “+” · “+” · “-” < 0;

у (2) = (2·2 – 1)(2 + 2)(2 – 1) > 0.

Отже, y < 0, при х ∈ (-∞; -2) ∪ (1/2; 1).

Зауваження: Не обов’язково визначати знаки на кожному проміжку. Достатньо “запустити змійку” з правого верхнього кутка, при умові, що перед усіма х стоїть знак “+”. В точках, що відповідають кореням непарного степеня “змійка” змінює знак, а непарного – відбивається (див. задачу 3)

Приклад 3

Розв’язати нерівність: 

 \frac{(x+5)(3x-6)(14-2x)}{(12-6x)(\frac{x}{5}+1)^{2}}\geq 0

♦ Розв’язання дробово-раціональних нерівностей зводиться до розв’язання лінійних нерівностей, оскільки в нерівностях типу  \frac{f(x)}{g(x)}\vee 0 дію ділення можна замінити дією множення, при умові, що g(x) ≠ 0: 

 (x+5)(3x-6)(14-2x)(12-6x)(\frac{x}{5}+1)^{2}\geq 0 , при цьому пам’ятаємо, що х ≠ 2, х ≠ -5.

Повиносимо спільні множники за дужки в тих множниках, в яких це можливо та запишемо кожен множник у вигляді х – а. 

 (x+5)\cdot 3(x-2)\cdot (-2)(x-7)\cdot (-6)(x-2)\cdot \frac{1}{25}(x+5)^{2}\geq 0 .

Виконаємо множення:  \frac{36}{25}(x+5)^{3}(x-7)(x-2)^{2}\geq 0 .

Множник  \frac{36}{25} на знак виразу не впливає, тому: 

 (x+5)^{3}(x-7)(x-2)^{2}\geq 0 . Запишемо функцію: 

 y =(x+5)^{3}(x-7)(x-2)^{2} та знайдемо її нулі: х + 5 = 0 або х – 7 =0, або х – 2 = 0 ⇒ х = -5, х = 7, х = 2.

Позначимо їх на числовій прямій та проведемо “змійку” з верхнього правого кутка: 

Нерівності

Отже, розв’язком даної нерівності є множина х ∈ (-∞; -5) ∪ [7; +∞).♦

Приклад 4

Розв’язати нерівність: -х2 + 3х – 10 ≤ 0.

♦ Розглянемо функцію у = -х2 + 3х – 10, D(y) = (-∞; +∞). Графіком даної функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз. Знайдемо нулі функції: -х2 + 3х – 10 = 0; 

2 + 3х – 10 = 0.

D = (-3)2 – 4·1·10 = -40 < 0.

Отже, функція у = -х2 + 3х – 10 нулів не має. Побудуємо схематично графік цієї функції.

Нерівності

Дана функція набуває від’ємних значень на всій числовій прямій. Отже, -х2 + 3х – 10 ≤ 0, якщо х ∈ (-∞; +∞).♦

Приклад 5

Розв’язати нерівність: tg 2x ≤ -1. 

♦ Нанесемо на лінію тангенсів точку -1 і точки, що лежать нижче цієї точки. Цим точкам лінії тангенсів відповідає дуга Pα Pβ (α < β) одиничного кола.

Оскільки  \alpha =-\frac{\pi }{2} , а  \beta = arctg (-1)=-arctg1=-\frac{\pi }{4} ,

то -\frac{\pi }{2}+\pi n<2x<\beta +\pi n,\; n\in Z  ;

 -\frac{\pi }{2}+\pi n<2x<-\frac{\pi }{4} +\pi n,\; n\in Z ;

 -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi}{2} n<2x<-\frac{\pi }{8} +\frac{\pi}{2} n,\; n\in Z .

Отже,  x\in \left(-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi}{2} n;-\frac{\pi }{8} +\frac{\pi}{2} n \right),n\in Z .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *