Поняття степеня

Приклад 

Обчислити: 

а) (-3)4;    

б) (-2)-6;    

в) 12-2;

г)  \left(-\frac{1}{8} \right)^{-1} ;  

 д)  \left(1\frac{2}{3} \right)^{-3} ;  

 е) (1,6)-2.

♦ а) Оскільки показник степеня – натуральне число, то за означенням достатньо число -3 помножити саме на себе чотири рази: (-3)= -3 · (-3) · (-3) · (-3) = 81.

б) Оскільки показник степеня – число від’ємне, то за означенням степеня з від’ємним показником, потрібно сам степінь опустити в знаменник, а знак показника змінити на протилежний, тобто:   \left(-2 \right)^{-6}=\frac{1}{\left(-2 \right)^{6}}=\frac{1}{64} . (26 = 64, “-” при піднесенні до парного степеня зникає).

в) Аналогічно до попереднього випадку:  12^{-2}=\frac{1}{12^{2}}=\frac{1}{144} .

г) За властивістю степеня з від’ємним показником: щоб піднести дріб до від’ємного степеня, потрібно чисельник і знаменник дробу поміняти місцями, а знак показника змінити на протилежний:   \left(-\frac{1}{8} \right)^{-1}=\left(-8 \right)^{1}=-8 (пам’ятаємо, що будь-яке число в першому степені дорівнює саме собі).

д) Спочатку перетворимо мішане число в неправильний дріб, а потім аналогічно попередньому випадку підносимо дріб до степеня:  \left(1\frac{2}{3} \right)^{-3}=\left(\frac{5}{3} \right)^{-3}=\left(\frac{3}{5} \right)^{3}=\frac{9}{25} (пам’ятаємо, щоб піднести дріб до степеня, потрібно піднести до цього степеня його чисельник і знаменник).

е) Перетворимо десятковий дріб в звичайний та виконаємо піднесення до степеня аналогічно випадкам в) та д):  \left(1,6 \right)^{-2}=\left(\frac{16}{10} \right)^{-2}=\left(\frac{8}{5}\right)^{-2}=\left(\frac{5}{8} \right)^{2}=\frac{25}{64} .♦

Приклад 

Обчислити: 

а)  \left(9 \right)^{\frac{1}{2}} ;    

б) \left(-27 \right)^{\frac{2}{3}}  ;    

в) \left(\frac{9}{25} \right)^{-\frac{3}{2}}  ;

г)  \left(2\frac{14}{25} \right)^{-\frac{1}{2}} ;    

д)   \left(-0,027 \right)^{\frac{1}{3}} ;  

 е)  4^{2\frac{1}{2}} .

♦ За означенням степеня з раціональним показником  a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}} . Користуючись цією формулою та властивостями степеня з від’ємним показником (див. задачу 1), обчислимо значення поданих виразів.

а)  \left(9 \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9}=3 (пам’ятаємо, що корінь квадратний – це корінь другого степеня, де степінь 2 не записується).

б)  \left(-27 \right)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{(-27)^{2}}=\left(-3 \right)^{2}=9 . (порядок добування кореня і піднесення до степеня не має значення, дії можна виконувати в будь-якому порядку; зазвичай добування кореня виконують першим, а потім отримане число підносять до степеня)

в)  \left(\frac{9}{25} \right)^{-\frac{3}{2}}=\left(\frac{25}{9} \right)^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{\left(\frac{25}{9} \right)^{3}}=\left(\frac{5}{3} \right)^{3}=\frac{25}{9}=2\frac{7}{9} . (за властивістю степеня з від’ємним показником, дріб перевертається при зміні знака показника)

г)  \left(2\frac{14}{25} \right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{64}{25} \right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{25}{64} \right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8} .

д)  \left(-0,027 \right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-0,027}=-0,3 .

е)  4^{2\frac{1}{2}}=4^{\frac{5}{2}}=\sqrt{4^{5}}=2^{5}=32 .♦

Приклад 

Записати число в стандартному вигляді та вказати порядок числа: 

а) 28000;    б) 12;    в) 0,0034;

г) 0,00007;    д) 0,21;    е) 0,2583783.

♦ Записати число в стандартному вигляді означає подати число у вигляді а·10n, де 1 ≤ а ≤ 10, n – ціле число.

а) Спочатку оберемо число в межах від одного до десяти. Це буде число 2,8. Для того, щоб з числа 2,8 отримати 28000, потрібно перенести кому на чотири знаки вправо (дописати нулів, якщо знаків не вистачає) або ж помножити це число на 104. Отже, 28000 = 2,8·104. Порядок цього числа дорівнює степеню 10, тобто порядок числа 4.

б) Замість числа а візьмемо число 1,2. Для того, щоб із числа 1,2 отримати число 12, його необхідно помножити на 10 (перенести кому вправо на один знак). Отже, 12 = 1,2·10. Порядок числа дорівнює 1.

в) Замість числа а візьмемо число 3,4. Для того, щоб із числа 3,4 отримати число 0,0034, кому потрібно перенести на три знаки вліво, тобто поділити його на 1000=103, або помножити на 103. Отже, 0,0034 = 3,4·103. Порядок числа дорівнює – 3.

г) Замість числа а візьмемо число 7. Для того, щоб із числа 7 отримати число 0,00007,  потрібно перенести кому на 5 одиниць вліво, тобто поділити його на 105 або помножити на 10-5. Отже, 0,00007 = 7·10-5. порядок числа дорівнює -5.

д) Число а = 2,1. Для того, щоб із числа 2,1 отримати число 0,21, кому потрібно перенести на один знак вліво, тобто поділити його на 10 або помножити на 10-1. Отже, 0,21 = 2,1 · 10-1. Порядок числа дорівнює -1.

е) Число а = 2,583783. Для того, щоб із числа 2,583783 отримати число 0,2583783, кому потрібно перенести на один знак вліво, тобто поділити його на 10 або помножити на 10-1. Отже,  0,2583783 = 2,583783·10-1. Порядок числа дорівнює -1.♦

Приклад 

Порівняйте числа:

а) 8,6 · 1010  і  2,3 · 1011;     б) 4,7 · 10-6  і  5,9 · 10-7;

в) 1,23 · 10 і  0,12 · 107;   г) 31,6 · 10-8  і  0,061 · 10-6.

♦ Для того, щоб порівняти подані числа їх подрібно звести до однакового порядку і порівнювати тільки по першому множнику.

а)  Зведемо числа до порядку 10. Перше число залишаємо без змін.  

2,3 · 1011 = 2,3 · 10 · 1010 = 23 · 1010.

Тепер порівняємо числа: 8,6 · 1010 < 23 · 1010, оскільки 8,6 < 23.

б) Зведемо числа до порядку -6. Перше число залишимо без змін, друге перетворимо: 5,9 · 10-7 = 5,9 · 10-1 · 10-6 = 5,9 : 10 · 10-6 = 0,59 · 10-6. Порівнюємо числа: 4,7 · 10-6  > 0,59 · 10-6, оскільки 4,7 > 0,59.

в) Зведемо числа до порядку 6. Перше число залишимо без змін, друге перетворимо: 0,12 · 10= 0,12 · 10 · 106 = 1,2 · 106. Порівнюємо числа: 1,23 · 106  >  1,2 · 106, оскільки 1,23 > 1,2.

г) Зведемо числа до порядку -6. Друге число залишимо без змін, перше перетворимо: 31,6 · 10-8  = 31,6 · 10-2 · 10-6 = 31,6 : 100 · 10-6 = 0,316 · 10-6. Порівнюємо числа: 0,316 · 10-6 > 0,061 · 10-6, оскільки 0,316 > 0,061.♦

Приклад 

Спростити вираз: 

 \left(\frac{a^{-5}}{a^{-5}-6} - \frac{2a^{-5}}{a^{-10}-12a^{-5}+36}\right)\cdot \frac{36-a^{-10}}{a^{-5}-8}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}

♦  \left(\frac{a^{-5}}{a^{-5}-6} - \frac{2a^{-5}}{a^{-10}-12a^{-5}+36}\right)\cdot \frac{36-a^{-10}}{a^{-5}-8}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}

 1) \frac{a^{-5}}{a^{-5}-6} - \frac{2a^{-5}}{a^{-10}-12a^{-5}+36}=\frac{a^{-5}}{a^{-5}-6} - \frac{2a^{-5}}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}}=

 = \frac{a^{-5}\cdot\left( a^{-5}-6\right)-2a^{-5} }{\left( a^{-5}-6\right)^{2}}=\frac{a^{-10}-6a^{-5}-2a^{-5}}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}}=\frac{a^{-10}-8a^{-5}}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}};

 2) \frac{a^{-10}-8a^{-5}}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}}\cdot \frac{36-a^{-10}}{a^{-5}-8}=\frac{a^{-5}(a^{-5}-8)}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}}\cdot \frac{\left( 6-a^{-5}\right)\left( 6+a^{-5}\right)}{a^{-5}-8}=

=\frac{-a^{-5}(a^{-5}-8)\left( a^{-5}-6\right)\left( 6+a^{-5}\right)}{\left( a^{-5}-6\right)^{2}\left(a^{-5}-8 \right)}=\frac{-a^{-5}\left( 6+a^{-5}\right)}{ a^{-5}-6};

 3)\frac{-a^{-5}\left( 6+a^{-5}\right)}{ a^{-5}-6}+\frac{12a^{-5}}{a^{-5}-6}=\frac{-6a^{-5}-a^{-10}+12a^{-5}}{a^{-5}-6}=

=\frac{6a^{-5}-a^{-10}}{a^{-5}-6}=\frac{-a^{-5}(a^{-5}-6)}{a^{-5}-6}=-a^{-5}.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *