Прогресії

Приклад 1

Знайти різницю d арифметичної прогресії, якщо а1 = 3, а15 = 73.

♦ Використаємо формулу n-го члена арифметичної прогресії. Запишемо а15

а15 = а1 + (n – 1)d; Підставимо задані значення та розв’яжемо рівняння відносно d:

73 = 3 + 14d;

73 – 3 = 14d;

70 = 14d;

d = 70 : 14;

d = 5. ♦

Приклад 2

Знайти суму 20-ти перших членів арифметичної прогресії, якщо а2 + а19 = 78.

♦  S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot 20.

Використовуючи властивість членів арифметичної прогресії, маємо а1 + а20 = а2 + а19 = 78. Отже,  S_{20}=\frac{78}{2}\cdot 2=78\cdot 10=780.  ♦

Приклад 3

Знайти дев’ятий член арифметичної прогресії (an), якщо а4 = 9, а17 = -17.

♦ Запишемо за формулою 4-ий та 17-ий члени даної арифметичної прогресії:

  \left\{\begin{matrix} a_{4}=a_{1}+d(4-1),\\ a_{17}=a_{1}+d(17-1); \end{matrix}\right. і  \left\{\begin{matrix} a_{4}=9,\\ a_{17}=-17, \end{matrix}\right. то  \left\{\begin{matrix} a_{1}+3d=9,\\ a_{1}+16d=-17, \end{matrix}\right.

тоді  \left\{\begin{matrix} a_{1}+3d=9,\\ -a_{1}-16d=17, \end{matrix}\right.

звідси  -13d=26;\; d=26:(-13);\; d=-2.

Тоді  a_{1}+3\cdot (-2)=9; a_{1}-6=9; a_{1}=9+6; a_{1}=15.

Звідси  a_{9}=a_{1}+d(9-1)=a_{1}+8d=15+8\cdot (-2)=15-16=-1 .♦

Приклад 4

Знайти перший член та знаменник q геометричної прогресії,

якщо b5 – b= 15; b4 – b2 = 6.

♦ Запишемо b5, b4 та bза формулою n – го члена через b1  та q:

 b5 = b1 · q4; b4 = b1 · q3; b2 = b1 · q.

Підставимо дані рівності в задані і отримаємо систему з двох рівнянь з двома невідомими:  \left\{\begin{matrix} b_{1}q^{4}-b_{1}=15,\\ b_{1}q^{3}-b_{1}q=6; \end{matrix}\right.

  \left\{\begin{matrix} b_{1}(q^{4}-1)=15,\\ b_{1}q(q^{2}-1)=6;\end{matrix}\right.    \left\{\begin{matrix} b_{1}q(q^{2}-1)(q^{2}+1)=15,\\ b_{1}q(q^{2}-1)=6. \end{matrix}\right.

Поділимо перше рівняння системи на друге: 

 \frac{q^{2}+1}{q}=\frac{15}{6};

 \frac{q^{2}+1}{q}=\frac{5}{2};

 \left\{\begin{matrix} 2(q^{2}+1)=5q\\ q\neq 0; \end{matrix}\right.

 2q^{2}-5q+2=0;

 D=25-16=9;

 q_{1}=\frac{5+3}{4}=2;\; q_{2}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Якщо q = 2, то  b_{1}=\frac{6}{q^{3}-q}=\frac{6}{6}=1.

Якщо  q=\frac{1}{2}, то  b_{1}=\frac{6}{\frac{1}{8}-\frac{1}{2}}=\frac{6}{-\frac{3}{8}}=-\frac{48}{3}=-16.

Отже:  b_{1}=1;\; q=2 або  b_{1}=-16;\; q=\frac{1}{2}.

Приклад 5

Знайти суму членів геометричної прогресії (bnвід четвертого по восьмий включно, якщо b1 = 5, q = -2.

♦ Суму членів від четвертого по восьмий будемо шукати за формулою n перших членів геометричної прогресії. Але в ролі першого члена будемо брати четвертий, всього таких членів буде 5 (четвертий, п’ятий, шостий, сьомий і восьмий). Знайдемо b4

b= b1·q n-1 ⇒ b= 5·(-2)3 = 5· (-8) = – 40.

Тоді шукана сума: 

 S_{5}=\frac{b_{4}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{-40(1-(-2)^{5})}{1-(-2)}=\frac{-40\cdot 33}{3}= -440 .♦

Зауваження: шукану суму можна знайти S8 – S+ b= S8 – S3.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *