Раціональні вирази

Приклад

Зведіть дріб: 

а)  \frac{a}{b^{2}} до знаменника  b^{6} ;

б)  \frac{m}{3n} до знаменника  15n^{2}p ;

в)  \frac{6}{7x^{2}y} до знаменника  28x^{3}y^{2}  ;

г)  \frac{5}{a-3} до знаменника  2a-6 ;

д)  \frac{7}{a+2} до знаменника  a^{2}+2a ;

е)  \frac{b+1}{b-4} до знаменника  b^{2}-16 .

♦ а) Для того, щоб звести дріб  \frac{a}{b^{2}} до знаменника  b^{6} , потрібно помножити його чисельник і знаменник на  b^{3} . Отже, маємо:  \frac{ab^{3}}{b^{6}} .

б) Для того, щоб звести дріб  \frac{m}{3n} до знаменника  15n^{2}p , потрібно помножити його чисельник і знаменник на  5np . Отже, маємо:  \frac{5nmp}{15n^{2}p} .

в) Для того, щоб звести дріб  \frac{6}{7x^{2}y} до знаменника  28x^{3}y^{2}  , потрібно помножити його чисельник і знаменник на  4xy  . Отже, маємо:  \frac{24xy }{28x^{3}y^{2}} .

г) Для того, щоб звести дріб  \frac{5}{a-3} до знаменника  2a-6 , потрібно помножити його чисельник і знаменник на 2. Отже, маємо:  \frac{10}{2a-6} .

д) Для того, щоб звести дріб  \frac{7}{a+2} до знаменника  a^{2}+2a , потрібно помножити його чисельник і знаменник на а. Отже, маємо:  \frac{7a}{ a^{2}+2a} .

е) Для того, щоб звести дріб  \frac{b+1}{b-4} до знаменника  b^{2}-16 , потрібно помножити його чисельник і знаменник на b + 4. Отже, маємо:  \frac{(b+1)(b+4)}{(b-4)(b+4)}  \frac{b^{2}+5b+4}{b^{2}-16}

Приклад

При яких значеннях змінної має зміст вираз: 

а)  3x+4 ;

б)  \frac{b-5}{8} ;

в)  \frac{2}{x^{2}+1} ;

г)  \frac{x}{\left|x \right|+2} ;

д)  \frac{4}{x-1}+\frac{7x}{x-4} ;

е)  \frac{x-2}{x^{2}+6x+9} .

♦ а) Оскільки вираз є цілим виразом, то жодних обмежень на змінну х не накладається, тобто х∈R.

б) Вираз містить у знаменнику число 8, яке не залежить від змінної b і не дорівнює нулю при жодному значенні х, чисельник може набувати будь-яких значень. Тому, х∈R.

в) Раціональний вираз не існує, коли його знаменник дорівнює нулю. Але в даному дробі знаменник завжди додатній (х2 ≥ 0  при будь-яких значеннях х, а отже х2 +1 > 0 при будь-яких значеннях х). Тобто х може бути будь-яким числом (х∈R).

г) Розглянемо знаменник даного дробу. Оскільки вираз   \left|x \right| завжди додатній або нуль, то знаменник не може перетворитися на нуль при жодному значенні х, а значить х∈R.

д) Заданий вираз є сумою двох дробів. Для того, щоб даний вираз існував, необхідно, щоб знаменники обох дробів не дорівнювали нулю. Тобто, х – 1 ≠ 0 та х – 4 ≠ 0 ⇒ х ≠ 1 та х ≠ 4. Отже, вираз визначений при х ∈ (- ∞; 1) ∪ (1; 4) ∪ (4; + ∞).

е) Розглянемо знаменник дробу та перевіримо при яких значеннях х він перетворюється в нуль.

х2 + 6х + 9 = 0 ⇒ (х + 3)2 = 0 ⇒ х + 3 = 0 ⇒ х = – 3.

Отже, змінна х може набувати будь-яких значень, окрім -3, тобто х ∈ (-∞; -3) ∪ (-3; +∞).♦

Приклад

Виконайте дії: 

а)  \frac{x-3}{3(x+2)}-\frac{x-6}{x+2} ;

б)  \frac{m+4}{5m-10}+\frac{3-m}{4m-8} ;

в)  \frac{y+6}{y-6}-\frac{y+2}{y+6} ;

г)  \frac{3x}{4x-4}+\frac{5x}{7x-7} ;

д) \frac{2b}{2b+c}-\frac{4b^{2}}{4b^{2}+4bc+c^{2}}  ;

е)  \frac{2}{a^{2}-9}-\frac{1}{a^{2}+3a} .

♦  а)  \frac{x-3}{3(x+2)}-\frac{x-6}{x+2}=\frac{x-3}{3(x+2)}-\frac{3x-18}{3(x+2)}=

 =\frac{x-3-3x+18}{3(x+2)}=\frac{15-2x}{3x+6} ;

б)  \frac{m+4}{5m-10}+\frac{3-m}{4m-8}=\frac{m+4}{5(m-2)}+\frac{3-m}{4(m-2)}=

 =\frac{4m+16+15-3m}{5\cdot 4(m-2)}=\frac{m+31}{20m-40} ;

в)  \frac{y+6}{y-6}-\frac{y+2}{y+6}=\frac{(y+6)^{2}-(y+2)(y-6)}{(y-6)(y+6)}=

 =\frac{y^{2}+12y+36-y^{2}-4y-12}{y^{2}-36}=\frac{8y+24}{y^{2}-36} ;

г)  \frac{3x}{4x-4}+\frac{5x}{7x-7}=\frac{3x}{4(x-1)}+\frac{5x}{7(x-1)}=

 =\frac{21x+20x}{28(x-1)}=\frac{41x}{28(x-1)} ;

д)  \frac{2b}{2b+c}-\frac{4b^{2}}{4b^{2}+4bc+c^{2}}=\frac{2b}{2b+c}-\frac{4b^{2}}{(2b+c)^{2}}=

 =\frac{2b(2b+c)-4b^{2}}{(2b+c)^{2}}=\frac{4b^{2}+2bc-4b^{2}}{(2b+c)^{2}}=\frac{2bc}{(2b+c)^{2}} ;

е)  \frac{2}{a^{2}-9}-\frac{1}{a^{2}+3a}=\frac{2}{(a-3)(a+3)}-\frac{1}{a(a+3)}=

 =\frac{2a-a+3}{a(a-3)(a+3)}=\frac{a+3}{a(a-3)(a+3)}=\frac{1}{a(a-3)} .♦

Приклад

Виконайте ділення: 

а)  \frac{a^{2}-4b^{2}}{9a^{2}-b^{2}}:\frac{a^{2}+4ab+b^{2}}{9a^{2}-6ab+b^{2}};
б) \frac{m^{2}+5m}{16m^{2}-1}:\frac{m^{4+125m}}{16m^{2}-8m+1}  ;

в)  \frac{x^{6}-y^{9}}{3x^{8}-12y^{10}}:\frac{4x^{4}+4x^{2}y^{3}+4y^{6}}{7x^{4}+14y^{5}} ;

г)  \frac{6x^{2}-12xy}{x^{2}+4y^{2}}:\frac{15(x-2y)^{2}}{x^{4}-16y^{4}} .

♦ а)  \frac{a^{2}-4b^{2}}{9a^{2}-b^{2}}:\frac{a^{2}+4ab+4b^{2}}{9a^{2}-6ab+b^{2}}=\frac{(a-2b)(a+2b)}{(3a-b)(3a+b)}\cdot \frac{(3a-b)^{2}}{(a+2b)^{2}}=

 =\frac{(a-2b)(3a-b)}{(3a+b)(a+2b)}=\frac{3a^{2}-7ab+2b^{2}}{3a^{2}+7ab+2b^{2}} ;

б)  \frac{m^{2}+5m}{16m^{2}-1}:\frac{m^{4}+125m}{16m^{2}-8m+1}=\frac{m(m+5)}{(4m-1)(4m+1)}\cdot \frac{(4m-1)^{2}}{m(m+5)(m^{2}-5m+25)}=

 =\frac{4m-1}{(4m+1)(m^{2}-5m+25)} ;

в)  \frac{x^{6}-y^{9}}{3x^{8}-12y^{10}}:\frac{4x^{4}+4x^{2}y^{3}+4y^{6}}{7x^{4}+14y^{5}}=\frac{(x^{2}-y^{3})(x^{4}+x^{2}y^{3}+y^{6})}{3(x^{8}-4y^{10})}\cdot \frac{7(x^{4}+2y^{5})}{4(x^{4}+x^{2}y^{3}+y^{6})}=

 =\frac{(x^{2}-y^{3})(x^{4}+x^{2}y^{3}+y^{6})7(x^{4}+2y^{5})}{3(x^{4}-2y^{5})(x^{4}+2y^{5})\cdot 4(x^{4}+x^{2}y^{3}+y^{6})}=\frac{7(x^{2}-y^{3})}{12(x^{4}-2y^{5})} ;

г)  \frac{6x^{2}-12xy}{x^{2}+4y^{2}}:\frac{15(x-2y)^{2}}{x^{4}-16y^{4}}=\frac{6x(x-2y)}{x^{2}+4y^{2}}\cdot \frac{(x^{2}-4y^{2})(x^{2}+4y^{2})}{15(x-2y)^{2}}=

 =\frac{2x(x-2y)(x+2y)}{5(x-2y)}=\frac{2x(x+2y)}{5} .♦

Приклад

Доведіть тотожність:

 \left(\frac{2a}{a-7}-\frac{4a}{a^{2}-14a+49} \right):\frac{a-9}{a^{2}-49}+\frac{28a}{7-a}=2a .

♦  \left(\frac{2a}{a-7}-\frac{4a}{a^{2}-14a+49} \right):\frac{a-9}{a^{2}-49}+\frac{28a}{7-a}=2a ;

 \left(\frac{2a}{a-7}-\frac{4a}{(a-7)^{2}} \right):\frac{a-9}{(a-7)(a+7)}-\frac{28a}{a-7}=2a ;

 \frac{2a^{2}-14a-4a}{(a-7)^{2}}\cdot \frac{(a-7)(a+7)}{a-9}-\frac{28a}{a-7}=2a ;

 \frac{2a^{2}-18a}{(a-7)^{2}}\cdot \frac{(a-7)(a+7)}{a-9}-\frac{28a}{a-7}=2a ;

 \frac{2a(a-9)(a-7)(a+7)}{(a-7)^{2}(a-9)}-\frac{28a}{a-7}=2a ;

 \frac{2a(a+7)}{a-7}\frac{28a}{a-7}=2a ;

 \frac{2a^{2}+14a-28a}{a-7}=2a ;

 \frac{2a^{2}+14a-28a}{a-7}=2a ;

 \frac{2a^{2}-14a}{a-7}=2a ;

 \frac{2a(a-7)}{(a-7)}=2a ;

 2a=2a .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *