Рівняння

Приклад 1

Розв’язати рівняння:

а)  7x-4=8+5x ;

б)   2(3x-5)+5(2x-3)=7x+15 ;

в) \frac{x-4}{8}-\frac{9-x}{16}=\frac{x+2}{4}-5 .

♦ а)  7x-4=8+5x

Перенесемо невідоме в ліву частину рівняння, а відоме в праву, змінюючи при цьому знаки на протилежні: 

 7x-5x=8+4 ;

 2x=12 ;

 x=6 .

Відповідь: x=6

б)   2(3x-5)+5(2x-3)=7x+15

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: 

 2(3x-5)+5(2x-3)=7x+15 ;

 6x-10+10x-15=7x+15 ;

 16x-25=7x+15

Перенесемо невідоме в ліву частину рівняння, а відоме в праву, змінюючи знаки на протилежні: 

 9x=40 ;

x=\frac{40}{9}  .

Відповідь:  x=4\frac{4}{9} .

в)  \frac{x-4}{8}-\frac{9-x}{16}=\frac{x+2}{4}-5

Домножимо обидві частини рівняння на 16: 

 \frac{x-4}{8}-\frac{9-x}{16}=\frac{x+2}{4}-5\; /\cdot 16 ;

 2(x-4)-(9-x)=4(x+2)-80

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки: 

 2x-8-9+x=4x+8-80 ;

3x-17=4x-72  ;

Перенесемо невідоме в ліву частину, а відоме в праву, змінюючи знаки на протилежні: 

 3x-4x=-72+17 ;

 -x=-55 ;

x=55  .

Відповідь: х = 55. ♦

Приклад 2

Розв’язати рівняння:

а)  \frac{x(2x-3)}{x+4}=0 ;

б) \frac{(4-x)(x+3)}{x^{2}-9}=0   .

♦ а)  \frac{x(2x-3)}{x+4}=0

Знайдемо область допустимих значень змінної х. Оскліьки, рівняння є дробово-раціональним, то знаменник не може дорівнювати нулю, тобто х + 4 ≠ 0 ⇒ х ≠ – 4. Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, азнаменник відмінний від нуля. Тому: х (2х – 3) = 0 ⇒ х = 0 або 2х – 3 = 0 ⇒ х = 0 або х = 1,5. Відповідь: х1 = 0, х2 = 1,5. б) \frac{(4-x)(x+3)}{x^{2}-9}=0   Знайдемо ОДЗ даного рівняння: x^{2}-9 ≠ 0; (х-3)(х+3) ≠ 0;  х ≠ 3 та х ≠ -3. Прирівнюємо чисельник до нуля: (4-x)(x+3) = 0; 4 – х = 0 або х + 3 =0; х1 = 4,  х2 = -3. Бачимо, що корінь х = -3 не задовольняє ОДЗ, тому маємо один корінь х = 4. Відповідь: х = 4.♦

Приклад 3

Розв’язати рівняння:

а) x– 3x = 0;

б) 3x2 – 27 = 0;

в) x– 9x + 14 = 0.

♦ а) x– 3x = 0 – це неповне квадратне рівняння, в якому відсутній вільний член. Такі рівняння розв’язуються мектодом винесення спільного множника за дужки.

х (х – 3) = 0;

х1 = 0,  х2 = 3.

Відповідь: х1 = 0,  х2 = 3.

б) 3x2 – 27 = 0 – це неповне квадратне рівняння, в якому відсутній другий член. Такі рівняння розв’язуються методом розкладання на множники лівої частини:

3 (x2 – 9) = 0; 

x2 – 9 = 0;

(х -3)(х + 3) =0;

х1 = – 3, х2 = 3.

Відповідь: х1 = – 3, х2 = 3.

в) x– 9x + 14 = 0 – повне квадратне рівняння, яке можна розв’язати або за теоремою Вієта, або через дискримінант.

І спосіб (За теоремою Вієта)

х1 · х2  = 14, 

х1 + х2 = 9 ⇒ х1 = 2,  х2 = 7.

ІІ спосіб (через дискримінант) 

 D = b^{2}-4ac=(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 14=25\; \Rightarrow \; \sqrt{D} = \pm 5 ;

 x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{9+5}{2}=7 ;

 x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{9-5}{2}=2 .

Відповідь: х1 = 2, х2 = 7. ♦

Приклад 4

Знайти корені рівнянь:

а)  \sqrt{3x-2}+x=4 ;

б)  \sqrt{x+1}-\sqrt{9-2x}=\sqrt{2x-12} ;

в)  \sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-3}=\sqrt{5x+4} .

♦ Ірраціональні рівняння розв’язуються шляхом піднесення обох частин рівняння до степеня. При цьому обов’язково виконувати перевірку або вказувати ОДЗ, щоб не виникало сторонніх коренів.

а)  \sqrt{3x-2}+x=4 ;

ОДЗ: 3x – 2 ≥ 0;

3х ≥ 2;

х ≥  2/3.

Залишимо радикал в лівій частині рівняння, а всі інші доданки перенесемо в праву і виконаємо піднесення до квадрату, пам’ятаючи, що права частина повинна бути більшою або дорівнювати нулю:  

 \sqrt{3x-2}+x=4 ;

 \sqrt{3x-2} = 4-x ;

 \left( \sqrt{3x-2} \right)^{2}= \left( 4-x\right)^{2} , при 4 – х ≥ 0;

 3x-2=16-8x+x^{2} , при х ≤ 4; 

 x^{2}-11x+18=0 , при х ≤ 4; 

x_{1}=2,\; x_{2}=9  .

Обидва корені задовольняють ОДЗ, проте другий корінь не задовольняє умову х ≤ 4. Тому рівняння має один корінь х = 2.

б)  \sqrt{x+1}-\sqrt{9-2x}=\sqrt{2x-12}

ОДЗ:  \sqrt{x+1}-\sqrt{9-2x}=\sqrt{2x-12} \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0,\\ 9-2x\geq 0,\\ 2x-12\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow  \left\{\begin{matrix} x\geq -1,\\ x\leq 4,5,\\ x\geq 6 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\in \oslash  .

Відповідь: рівняння коренів не має.

в)  \sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-3}=\sqrt{5x+4}

ОДЗ:  \left\{\begin{matrix} 3x+1\geq 0,\\ 4x-3\geq 0,\\ 5x+4\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{1}{3},\\ x\geq \frac{3}{4},\\ x\geq \frac{4}{5} \end{matrix}\right.\Rightarrow x\geq \frac{4}{5} .

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата: 

 \left( \sqrt{3x+1}+\sqrt{4x-3}\right)^{2}=\left( \sqrt{5x+4}\right)^{2}

3x+1+2\sqrt{\left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)}+4x-3=5x+4  ;

 7x-2+2\sqrt{\left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)}=5x+4

 2\sqrt{\left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)}=6-2x ;

Піднесемо обидві частини останнього рівняння до квадрата, пам’ятаючи, що 6 – 2х ≥ 0 ⇒ х ≤ 3. 

 \sqrt{\left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)}=3-x ;

 \left(\sqrt{\left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)} \right)^{2}=\left(3-x \right)^{2};

 \left(3x+1 \right)\left(4x-3 \right)=9-6x+x^{2};

12x^{2}-5x-3=9-6x+x^{2};

12x^{2}-5x-3-9+6x-x^{2}=0;

11x^{2}+x-12=0;

 D=1+528=529;

 x_{1}=\frac{-1+23}{22}=1,\; x_{2}=\frac{-1-23}{22}=-\frac{12}{11}.

Другий корінь не задовольняє ОДЗ, а значить, не є коренем заданого рівняння. Тому рівняння має лише один корінь х = 3.♦

Приклад 5

Розв’язати рівнняння:  

а)  6^{2x+4}=3^{3x}\cdot 2^{x+8} ;

б)  2^{x-4}+2^{x-5}-2^{x-7}=704 ;

в)  4^{x}-14^{x}\cdot 2=3\cdot 49^{x} .

♦ а)  6^{2x+4}=3^{3x}\cdot 2^{x+8} ;  3^{2x+4}\cdot 2^{2x+4}=3^{3x}\cdot 2^{x+8} ;   \frac{3^{2x+4}}{3^{3x}}=\frac{2^{x+8}}{2^{2x+4}} ;   3^{2x+4-3x}=2^{x+8-2x-4} ;   3^{4-x}=2^{4-x} ;   \left( \frac{3}{2}\right)^{4-x}=1 ;   \left( \frac{3}{2}\right)^{4-x}=\left( \frac{3}{2}\right)^{0} ;   4-x=0 ;   x=4 . б)   2^{x-4}+2^{x-5}-2^{x-7}=704 ;    2^{x-7}(2^{3}+2^{2}-1)=704 ;    2^{x-7}\cdot 11=704 ;    2^{x-7}=64 ;    2^{x-7}=2^{6} ;    x-7=6 ;    x=13 . в)  4^{x}-14^{x}\cdot 2=3\cdot 49^{x}  \frac{4^{x}}{49^{x}}-2\cdot \frac{14^{x}}{49^{x}}=3  \left( \frac{2}{7}\right)^{x}-2\cdot \left(\frac{2}{7} \right)^{x}=3 . Нехай  \left( \frac{2}{7}\right)^{x}=t>0 . Тоді   t^{2}-2t-3=0  t_{1}=-1<0,\; t_{2}=3 . Отже,   \left(\frac{2}{7} \right)^{x}=3\Rightarrow x=log_{\frac{2}{7}}3.♦

Приклад 6

Розв’язати рівняння:

а)  arcsin(x^{2}-4x+4)=\frac{\pi }{2} ; б)  12arctg^{2}x-\pi arctgx-\pi ^{2}=0 ; в)  arcsin^{2}x-2arcsinx-3=0 ; г)  arccos^{2}x-arccosx-2=0 ; д)  arccosx=arctgx ; е)  arcsinx=2arctgx ; є)  sin(3arccosx)=\frac{1}{2} ; ж)  arcsin^{2}x+arccos^{2}x=\frac{5\pi ^{2}}{36} .

а)  arcsin(x^{2}-4x+4)=\frac{\pi }{2} ;

Таке рівняння розв’язується безпосередньо за означенням арксинуса. Тобто потрібно знайти таке значення виразу, що виступає як аргумент арксинуса, для якого арксинус дорівнює  \frac{\pi }{2} . А саме:  x^{2}-4x+4 = 1\Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0\Leftrightarrow x_{1}=1,x_{2}=3. Відповідь: 1; 3.

б)  12arctg^{2}x-\pi arctgx-\pi ^{2}=0 ;

Рівняння такого типу розв’язуються через заміну змінної. Ввівши заміну  arctgx=t , отримаємо квадратне рівняння відносно t:  12t^{2}-\pi t-\pi ^{2}=0\Leftrightarrow t_{1}=\frac{\pi }{3},\: t_{2}=-\frac{\pi }{4}. . Повертаючись до заміни, отримаємо:  arctgx=\frac{\pi }{3}, \: arctgx=-\frac{\pi }{4}\Leftrightarrow x=\sqrt{3},\; x=-1. . Відповідь:  \sqrt{3},\; -1.

в)  arcsin^{2}x-2arcsinx-3=0 ;

Рівняння розв’язується аналогічно до попереднього випадку. Введемо заміну:  arcsinx=t . Отримаємо рівнняння:  t^{2}-2t-3=0\Leftrightarrow t_{1}=3,\: t_{2}=-1 . Але на змінну t потрібно накласти обмеження  -\frac{\pi }{2}\leq t\leq \frac{\pi }{2} , оскільки множина значень арксинуса це проміжок  \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right] . Тому маємо:  t_{1}=3 – не задовольняє умову заміни;  t_{2}=-1\Leftrightarrow x=sin(-1)=-sin1 . Відповідь: – sin 1.

г)  arccos^{2}x-arccosx-2=0 ;

Розв’язуємо рівняння як і у попередньому випадку. Введемо заміну  arccosx=t . Отримаємо квадратне рівняння:  t^{2}-t-2=0 . На змінну t накладемо обмеження   0\leq t\leq \pi , оскільки множина значень аркосинуса – це проміжок  \left[0;\pi \right] . Тому  t_{1}=2 \Leftrightarrow arccosx=2\Rightarrow x=cos2, а  t_{2}=-1 – не задовольняє заміну. Відповідь: cos 2.

д)  arccosx=arctgx ;

Візьмемо косинуси лівої та правої частини рівняння:  cos(arccosx)=cos(arctgx) . В правій частині рівняння виразимо косинус через тангенс:  x= \pm \sqrt{\frac{1}{1+tg^{2}(arctgx)}} . Областю визначення можуть бути числа із множини [-1; 1]. Враховуючи, що областю значень аркосинуса є множина  \left[0;\pi \right] , а арктангенса –  \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) , то їх рівнясть можлива лише при  [0;\frac{\pi }{2})  . На цьому проміжку косинус додатній, тому візьмемо додатнє значення кореня. Отримаємо рівняння:  x= \sqrt{\frac{1}{1+tg^{2}(arctgx)}} ,  x=\sqrt{\frac{1}{1+x^{2}}} . Враховуючи, що  x\geq 0 , можемо піднести обидві частини цього рівняння до квадрату і отримаємо:  x^{2}=\frac{1}{1+x^{2}},  x^{2}+x^{4}=1,  x^{4}+x^{2}-1=0,  D=1-4\cdot (-1)=5  x^{2}_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},  x^{2}_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},  x=\pm \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} Враховуючи, що  x\geq 0 , отримаємо  x=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} . Відповідь:  x=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} .

е)  arcsinx=2arctgx ,

Областю визначення можуть бути числа із множини [-1; 1]. Аналогічно до попереднього прикладу, розглянемо області значень функцій. Функція арксинус набуває значень  \left[ -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right] , а функція арктангенс  \left[-\frac{\pi }{4}; \frac{\pi }{4} \right] . Отже, обидві частини рівності можуть набувати значень  \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] . Візьмемо синуси лівої та правої частини latex] sin(arcsinx)=sin(2arctgx) [/latex]. В лівій частині маємо  sin(arcsinx)=x . В правій частині виразимо синус через тангенс половинного кута  sin(2arctgx)=\frac{2tg(arctgx)}{1+tg^{2}(arctgx)}=\frac{2x}{1+x^{2}} . Отже, перейдемо до рівняння: x=\frac{2x}{1+x^{2}} ,  x+x^{3}=2x ,  x^{3}-x=0 ,  x(x^{2}-1)=0 ,  x_{1}=-1, \: x_{2}=0,\: x_{3}=1 . Відповідь: -1; 0; 1.

є)  sin(3arccosx)=\frac{1}{2} ,

За формулою розв’язування рівняння sin x= a, отримаємо сукупність:  \begin{matrix} 3arccosx=\frac{\pi }{6}+2\pi n,\\ 3arccosx=\frac{5\pi }{6}+2\pi n \end{matrix}\Leftrightarrow ,  \begin{matrix} arccosx=\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}=\frac{\pi \left(1+12n \right)}{18},\\ arccosx=\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}=\frac{\pi \left(5+12n \right)}{18}\: (n\in Z). \end{matrix}\Leftrightarrow  , З урахуванням того, що  0\leq arccosx\leq \pi  , із першої сукупності підходять лише  \frac{\pi }{18}  та  \frac{13\pi }{18}  , а із другої підходять лише  \frac{5\pi }{18} та  \frac{17\pi }{18} : Відповідно отримуємо розв’язок нашого рівняння  \begin{matrix} arccosx=\frac{\pi }{18},\\ arccosx=\frac{13\pi }{18},\\ arccosx=\frac{5\pi }{18},\\ arccosx=\frac{17\pi }{18}. \end{matrix} . Об’єднавши розв’язки, запишемо:  \pm cos\frac{\pi }{18},\: \pm cos\frac{5\pi }{18} . Відповідь:  \pm cos\frac{\pi }{18},\: \pm cos\frac{5\pi }{18} .

ж)  arcsin^{2}x+arccos^{2}x=\frac{5\pi ^{2}}{36} ,

Нехай  t=arcsinx, , тоді  arccosx=\frac{\pi }{2}-t . Маємо:  t^{2}+\left(\frac{\pi }{2}-t \right)^{2}=\frac{5\pi ^{2}}{36}\Leftrightarrow 2t^{2}-\pi t+\frac{\pi ^{2}}{9}=0 . Розв’язуємо квадратне рівняння:  t^{2}-\frac{\pi }{2}t+\frac{\pi ^{2}}{18}=0, ,  t_{1}\cdot t_{2}=\frac{\pi ^{2}}{18} ,  t_{1}+ t_{2}=\frac{\pi }{2} ,  t_{1}=\frac{\pi }{3},\; t_{2}=\frac{\pi }{6} . Звідки  x_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},\; x_{2}=\frac{1}{2} . Відповідь:  \frac{\sqrt{3}}{2},\: \frac{1}{2} .

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *