Системи рівнянь та нерівностей

Приклад 1

Розв’язати систему рівнянь:

  \left\{\begin{matrix} 5x-6y=1,\\ 3x+4y=12. \end{matrix}\right.

♦ Розв’яжемо дану систему способом додавання. Для цього помножимо переше рівняння на 2, а друге рівняння на 3,  одержимо нову систему:  \left\{\begin{matrix} 10x-12y=2,\\ 9x+12y=36. \end{matrix}\right. Додавши почленно рівняння системи, одержимо: 19 х = 38; х = 38 : 19 ; х = 2.

Підставивши в перше рівняння х = 2, одержуємо у 5\cdot 2-6y=1;\; 10-6y=1;\; 6y=9;\; y=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1,5.

Отже, (2; 1,5) – розв’язок даної системи. ♦

Приклад 2

Розв’язати систему рівнянь: 

 \left\{\begin{matrix} x^{2}+3xy-4y^{2}=-9,\\ 2x^{2}-5xy+3y^{2}=4. \end{matrix}\right.

♦ Помножимо перше рівняння на 4, а друге – на 9, отримаємо: 

 \left\{\begin{matrix} 4x^{2}+12xy-16y^{2}=-36,\\ 18x^{2}-45xy+27y^{2}=36. \end{matrix}\right.

Додавши почленно рівняння системи, одержимо:  22x^{2}-33xy+11y^{2}=0; Поділимо рівняння на 11, матимемо:  2x^{2}-3xy+y^{2}=0.

Поділимо обидві частини  рівняння на у, при умові, що у ≠ 0. Тоді  2\left(\frac{x}{y} \right)^{2}-3\cdot \frac{x}{y}+1=0.

Нехай  \frac{x}{y}=t , тоді  2t^{2}-3t+1=0;\; D=9-8=1;\;

 t_{1}=\frac{3+1}{4}=1;\; t_{2}=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}. Отже, 

Системи рівнянь та нерівностей

(-1; -2), (1; 2) – розв’язок заданої системи рівнянь. ♦

Приклад 3

Розв’язати систему рівнянь:

  \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=3,\\ x+y=5. \end{matrix}\right.  

♦ Нехай  \sqrt{x}=u;\; \sqrt{y}=v , тоді  \left\{\begin{matrix} u+v=3,\\ u^{2}+v^{2}=5. \end{matrix}\right.

Розв’яжемо цю систему: 

 \left\{\begin{matrix} u=3-v,\\ (3-v)^{2}+v^{2}=5; \end{matrix}\right.

 \left\{\begin{matrix} u=3-v,\\ 9-6v+v^{2}+v^{2}=5; \end{matrix}\right.

 \left\{\begin{matrix} u=3-v,\\ 2v^{2}-6v+4=0; \end{matrix}\right.

 \left\{\begin{matrix} u=3-v,\\ v^{2}-3v+2=0; \end{matrix}\right.

Системи рівнянь та нерівностей

Тоді: 

Системи рівнянь та нерівностей

 (4;1), (1;4) -розв’язок заданої системи.

Приклад 4

Розв’язати систему рівнянь: 

 \left\{\begin{matrix} 3^{x}\cdot 5^{y}=75,\\ 3^{y}\cdot 5^{x}=45. \end{matrix}\right.

♦ Поділимо перше рівняння системи на друге, а потім помножимо:

 \left\{\begin{matrix} \left(\frac{3}{5} \right)^{x}\cdot \left(\frac{5}{3} \right)^{y}=\frac{75}{45},\\ 15^{x}\cdot 15^{y}=15\cdot 5\cdot 15\cdot 3; \end{matrix}\right.   

 \left\{\begin{matrix} \left(\frac{3}{5} \right)^{x}\cdot \left(\frac{3}{5} \right)^{-y}=\frac{5}{3},\\ 15^{x+y}=15^{3}; \end{matrix}\right.

 \left\{\begin{matrix} \left(\frac{3}{5} \right)^{x-y}=\left(\frac{3}{5} \right)^{-1},\\ x+y=3; \end{matrix}\right.  

 \left\{\begin{matrix} x-y=-1,\\ x+y=3; \end{matrix}\right.  

 \left\{\begin{matrix} 2x=2,\\ x+y=3; \end{matrix}\right.

 \left\{\begin{matrix} x=1,\\ y=2. \end{matrix}\right.

Отже, (1; 2) – розв’язок заданої системи рівнянь.♦

Приклад 5

Розв’язати систему рівнянь: 

 \left\{\begin{matrix} siny=5sinx,\\ 3cosx+cosy=2. \end{matrix}\right.

♦  \left\{\begin{matrix} siny=5sinx,\\ cosy=2 - 3cosx; \end{matrix}\right.

  \left\{\begin{matrix} sin^{2}y=25sin^{2}x,\\ cos^{2}y=4 - 12cosx+9cos^{2}x. \end{matrix}\right.

Додавши почленно рівняння системи, одержимо: 

 1=25sin^{2}x+4-12cosx+9cos^{2}x

 25(1-cos^{2}x)-12cosx+9cos^{2}x+3=0

 16cos^{2}x+12cosx-28=0  .

Нехай cos x = t, тоді 

 16t^{2}+12t-28=0

 4t^{2}+3t-7=0 ;

D=9+112=121

 t_{1}=\frac{-3+11}{8}=1;\; t_{2}=\frac{-3-11}{8}=-\frac{14}{8}=-\frac{7}{4}

Системи рівнянь та нерівностей

Системи рівнянь та нерівностей

(2πn; π(2k+1)), n, k ∈ Z – розв’язок заданої системи рівнянь.♦

Приклад 6

Розв’язати систему лінійних нерівностей

 \left\{\begin{matrix} 4x-44\geq 0,\\ \frac{1}{3}x+7>12 \end{matrix}\right.

♦ Для того, щоб розв’язати систему лінійних нерівностей, потрібно знайти розв’язок кожної нерівності окремо, а потім знайти перетин їх розв’язків. Тобто:

 4x-44\geq 0 ,

 4x\geq 44 ,

 x\geq 11 ,

 \frac{1}{3}x+7>12 ,

 \frac{1}{3}x>5 ,

 x>15 .

Зобразимо розв’язки кожної з нерівностей на координатній прямій:

Системи рівнянь та нерівностей

Бачимо, що штриховки перетнулися на проміжку (15; +∞), при чому точка х = 15 не включається. Отже, х є (15; + ∞) – розв’язок заданої нерівності.

Як розв’язувати лінійні нерівності можна переглянути тут. ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *