Тригонометричні функції

Приклад 1

Обчислити значення виразу:

а)  sin\: 780^{o} ;  

 б)  cos\: \frac{13\pi }{6} ;  

  в)  sin\: (-\frac{35\pi }{4}) ;

г)  ctg(-\frac{7\pi }{4}) ;  

 д)  cos\frac{\pi }{5}cos\frac{2\pi }{5} ;  

 е)  lgtg5^{o}+lgtg7^{o}+lgtg85^{o}+lgtg83^{o} .

♦ а)  sin\: 780^{o}=sin(360^{o}\cdot 2+60^{o})=sin60^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2} ;  

б)  cos\: \frac{13\pi }{6}=cos\frac{12\pi +\pi }{6}=cos\left(2\pi +\frac{\pi }{6} \right)=cos\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}

в)  sin\: (-\frac{35\pi }{4})=-sin\frac{35\pi }{4}=-sin\frac{36\pi -\pi }{4}=-sin\left(9\pi -\frac{\pi }{4} \right)=

 =-sin\left(18\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4} \right)=-sin\frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

г)  ctg(-\frac{7\pi }{4})=-ctg\frac{7\pi }{4}=-ctg\frac{8\pi -\pi }{4}=

=-ctg\left(2\pi -\frac{\pi }{4} \right)=-ctg\left(-\frac{\pi }{4} \right)=ctg\frac{\pi }{4}=1

д)  cos\frac{\pi }{5}cos\frac{2\pi }{5}=\frac{2cos\frac{\pi }{5}\cdot sin\frac{\pi }{5}\cdot cos\frac{2\pi }{5}}{2sin\frac{\pi }{5}}=\frac{sin\frac{2\pi }{5}cos\frac{2\pi }{5}}{2sin\frac{\pi }{5}}=

=\frac{2sin\frac{2\pi }{5}cos\frac{2\pi }{5}}{4sin\frac{\pi }{5}}=\frac{sin\frac{4\pi }{5}}{4sin\frac{\pi }{5}}=\frac{sin\frac{5\pi -\pi }{5}}{4sin\frac{\pi }{5}}=

 =\frac{sin\left(\pi -\frac{\pi }{5} \right)}{4sin\frac{\pi }{5}}=\frac{sin\frac{\pi }{5}}{4sin\frac{\pi }{5}}=\frac{1}{4} ;

  е)  lgtg5^{o}+lgtg7^{o}+lgtg85^{o}+lgtg83^{o} =

  = \left( lgtg5^{o}+lgtg85^{o}\right)+\left( lgtg7^{o}+lgtg83^{o}\right)=

  = lg(tg5^{o}\cdot tg85^{o})+lg(tg7^{o}\cdot tg83^{o}) =

  = lg(tg5^{o}\cdot tg(90^{o}-5^{o}))+lg(tg7^{o}\cdot tg(90^{o}-7^{o})) =  

 = =lg(tg5^{o}\cdot ctg5^{5})+lg(tg7^{o}\cdot ctg7^{o})=lg1+lg1=0+0=0 .♦

Приклад 2

Знайти cos α, tg α, ctg α, sec α, cosec α, якщо

  sin\alpha =-\frac{4}{5},\; \pi <\alpha <\frac{3\pi }{2} .

♦ Оскільки  cos^{2}\alpha =1-sin^{2}\alpha  , то 

 cos\alpha =\pm \sqrt{1-sin^{2}\alpha }=\pm \sqrt{1-\left(-\frac{4}{5} \right)}=\pm \sqrt{1-\frac{16}{25}}=

 =\pm \sqrt{\frac{9}{25}}=\pm \frac{3}{5} .

Оскільки кут α лежить у ІІІ координатній чверті, то cos α < 0.

Отже,  cos\alpha =-\frac{3}{5}

 tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=-\frac{4}{5}:\left(-\frac{3}{5} \right)=\frac{4\cdot 5}{5\cdot 3}=\frac{4}{3}

ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }=\frac{3}{4}

 sec\alpha =\frac{1}{cos\alpha }=\frac{1}{-\frac{3}{5}}=-\frac{5}{3}

 cosec\alpha =\frac{1}{sin\alpha }=\frac{1}{-\frac{4}{5}}=-\frac{5}{4} .♦

Приклад 3

 ctg\alpha =-\frac{7}{24},\; 270^{o}<\alpha <360^{o} . Обчислити значення решти тригонометричних функцій.

♦ Оскільки  1+ctg^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha } , то  sin^{2}\alpha =\frac{1}{1+ctg^{2}\alpha }

 sin^{2}\alpha =\frac{1}{1+\left(-\frac{7}{24} \right)^{2}}=\frac{1}{1+\frac{49}{576}}=\frac{1}{\frac{625}{576}}=\frac{576}{625} ;

 sin\alpha =\pm \sqrt{\frac{576}{625}}=\pm \frac{24}{25} .

Оскільки кут α лежить у IV координатній чверті, то sin α < 0.

Отже,  sin\alpha =-\frac{24}{25}

 ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }

 cos\alpha =ctg\alpha \cdot sin\alpha =-\frac{7}{24}\cdot \left(-\frac{24}{25} \right)=\frac{7}{25}

 tg\alpha =\frac{1}{ctg\alpha }-\frac{1}{-\frac{7}{24}}=-\frac{24}{7} .♦

Приклад 4

Спростити вираз:

а)  \left(\frac{sin\alpha +sin3\alpha }{cos\alpha +cos3\alpha } \right)\left(1+cos4\alpha \right) ;

б)  2cos^{2}\left(\frac{\alpha }{2}-\frac{3}{2}\pi \right)+\sqrt{3}cos\left(\frac{5}{2}\pi -\alpha \right)-1 ;

в) \sqrt{\left(ctg\alpha -tg\alpha \right)\cdot 2ctg2\alpha }\cdot tg2\alpha +2,\; \frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}   .

♦ а)  \left(\frac{sin\alpha +sin3\alpha }{cos\alpha +cos3\alpha } \right)\left(1+cos4\alpha  \right) = \frac{2sin2\alpha cos\alpha }{2cos2\alpha cos\alpha }\cdot 2cos^{2}2\alpha =  

 =\frac{4sin2\alpha \cdot cos\alpha \cdot cos^{2}2\alpha }{2cos2\alpha \cdot cos\alpha }=2sin2\alpha cos2\alpha =sin4\alpha  .

б)  2cos^{2}\left(\frac{\alpha }{2}-\frac{3}{2}\pi \right)+\sqrt{3}cos\left(\frac{5}{2}\pi -\alpha \right)-1 = 2sin^{2}\frac{\alpha }{2}+\sqrt{3}sin\alpha -1=

 =-cos\alpha +\sqrt{3}sin\alpha =-2\left(\frac{1}{2}cos\alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}sin\alpha \right)=

 =-2\left(sin\frac{\pi }{6}cos\alpha -cos\frac{\pi }{6}sin\alpha \right)=

 =-2sin\left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)=2sin\left(\alpha -\frac{\pi }{6} \right) .

в)  \sqrt{\left(ctg\alpha -tg\alpha \right)\cdot 2ctg2\alpha }\cdot tg2\alpha +2,\; \frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}=

 =\sqrt{\left(\frac{cos\alpha }{sin\alpha }-\frac{sin\alpha }{cos\alpha } \right)\cdot 2\frac{cos2\alpha }{sin2\alpha }}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2=

 =\sqrt{\frac{cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha }{sin\alpha cos\alpha }\cdot 2\frac{cos2\alpha }{sin2\alpha }}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2=

 =\sqrt{\frac{2cos2\alpha \cdot 2cos2\alpha }{sin2\alpha \cdot sin2\alpha }}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2=

 =\sqrt{\frac{4cos^{2}2\alpha }{sin^{2}2\alpha }}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2=

 =\frac{2\left|cos2\alpha \right|}{\left|sin2\alpha \right|}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2 .

Оскільки  \frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4} , то  \pi <2\alpha <\frac{3\pi }{2} (кут 2α лежить у ІІІ координатній чверті). Отже, cos 2α < 0, sin 2α < 0;  \frac{2\left|cos2\alpha \right|}{\left|sin2\alpha \right|}\cdot \frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }+2=

  =\frac{-2cos2\alpha \cdot sin2\alpha }{-sin2\alpha \cdot cos2\alpha }+2=2+2=4 . ♦

Приклад 5

Знайти найбільше та найменше значення виразу

3sinx + cos x.

♦ Нехай 3sinx + cos x = А.  Поділимо ліву й праву частину даної рівності на  \sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}  \frac{3}{\sqrt{10}}sinx+\frac{1}{\sqrt{10}}cosx=\frac{A}{\sqrt{10}} . Оскільки  \left(\frac{3}{\sqrt{10}} \right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{10}} \right)^{2}=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=\frac{10}{10}=1, то знайдеться такий кут φ, коли  cos\varphi =\frac{3}{\sqrt{10}} і  sin\varphi =\frac{1}{\sqrt{10}}  sinx\cdot cos\varphi +sin\varphi \cdot cosx=\frac{A}{\sqrt{10}}  sin(x+\varphi )=\frac{A}{\sqrt{10}}  A=\sqrt{10}sin(x+\varphi ) . Отже,  -\sqrt{10}\leq A\leq \sqrt{10}  -\sqrt{10}\leq 3sinx+cosx\leq \sqrt{10} . ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *