Вирази

Приклад

Спростіть вирази:

а) -19a + 5b – 2b -21a;        б) 2 (3a – 4) – 8a;

в) a – (b – (a + d));        г) 5a – (4a – (3a – 2));

д)10 – (-5(a – 3) + a);    е) 10 – 9 (a – 2/3) + 5a -16.

♦ а) Зведемо подібні доданки (доданки, що мають однакову буквенну частину) у заданому виразі -19a + 5b – 2b -21a = -19a – 21a + 5b – 2b = (- 19 – 21) а + (5 – 2)b = – 40a + 3b.

б) Спочатку розкриємо дужки, перемноживши число, що стоїть перед дужками на кожен доданок у дужках, а потім зведемо подібні доданки: 2 (3a – 4) – 8a = 6а – 8 – 8а = -8 – 2а.

в) Спочатку розкриємо внутрішні дужки, потім зовнішні, а потім зведемо подібні доданки. Оскільки і перед внутрішніми, і перед зовнішніми дужками стоїть знак “-“, то в обох випадках знаки в дужках потрібно змінити на протилежні: a – (b – (a + d)) = a – (b –  a – d) = a – b +  a + d = 2a – b + d.

г) Аналогічно до попереднього випадку розкриваємо внутрішні і зовнішні дужки, змінюючи в них знаки на протилежні, а потім зводимо подібні доданки: 5a – (4a – (3a – 2) = 5a – (4a – 3a +2) = 5a – 4a + 3a – 2 = 4а – 2.

д) Як і в попередніх двох випадках розкриваємо дужки. Внутрішні розкриємо , перемноживши число, що стоїть перед дужками на кожен доданок в дужках, а зовнішні – просто змінюючи знаки в дужках на протилежні. Потім зведемо подібні доданки: 10 – (-5(a – 3) + a) = 10 – (-5a + 15 + a) = 10 + 5a – 15 – a = 4а – 5.

е) Розкриємо дужки, перемноживши число, що стоїть перед дужками, на кожен доданок в дужках і зведемо подібні доданки: 10 – 9 (a – 2/3) + 5a -16 = 10 – 9а + 6 + 5а – 16 = – 4а.

Приклад

У супермаркет завезли а кг чаю по ціні m грн. за кілограм і b кг кави по ціні n грн. за кілограм. Запишіть у вигляді виразу:

а) загальну масу товару;

б) загальну вартість чаю;

в) загальну вартість кави;

г) загальну вартість всього товару;

д) на скільки більше заплатили за один товар, ніж за інший, якщо вважати, що n > m;

е) середню вартість 1 кг товару.

♦ а) a + b (кг) – вся маса товару;

б) am (грн.) – загальна вартість чаю;

в) bn (грн.) – загальна вартість кави;

г) am + bn (грн.) – загальна вартість всього товару;

д) bn – am (грн.) – на стільки кава дорожча, ніж чай;

е) Щоб занйти середню вартість 1 кг товару, потрібно вартість всього товару розділити на загальну масу товару, тобто:  \frac{am+bm}{a+b} . ♦

Приклад

Сільськогосподарське поле має форму прямокутника, довжина якого а м, а ширина на b м менша від довжини. Запишіть формулу для обчислення площі S поля. Скільки пшениці можна зібрати з такого поля за урожайності 30 ц з гектара, якщо: a = 960, b = 320.

♦ Оскільки довжина поля а м, а ширина на b м менша від довжини, то ширина дорівнює а – b м. Тоді площа поля S = a (a – b). Обчислимо площу поля для заданих значень: S = 960 (960 – 320) = 960 · 640 = 614400 (м2). Переведемо площу в гектари: 614400 : 10 000 = 61,44 (га). Визначимо скільки пшениці можна зібрати з такого поля: 61,44 · 30 = 1843,2 (ц).♦

Приклад

Обчисліть значення виразу з точністю до десятих:

а)  \frac{3(a-b)}{c-d} , якщо  a\approx 6,23,\; b\approx 4,2,\; c\approx 0,91,\; d\approx 0,7 ;

б)  \left(\frac{a}{m}+\frac{b}{n} \right):c+2ab , якщо a=6,8,\; b=2,4,\; m=2,\; n=3,\; c=0,7 .

♦ Підставимо подані значення у відповідні вирази. Виконаємо дії. Результат округлимо до десятих (якщо це потрібно).

а)  \frac{3(a-b)}{c-d}\approx \frac{3(6,23-4,2)}{0,91-0,7}=\frac{3\cdot 2,03}{0,21}=\frac{6,09}{0,21}=29 ;

б)  \left(\frac{a}{m}+\frac{b}{n} \right):c+2ab=\left( \frac{6,8}{2}+\frac{2,4}{3}\right):0,7+2\cdot 6,8\cdot 2,4=

 =\left(3,4+0,8 \right):0,7+32,64=4,2:0,7+32,64 =

 =6+32,64=38,64\approx 32,6 .♦

Приклад

Доведіть тотожність:

а) 5b – (6b + a) – (a – 6b) = 5b – 2a;

б) 3a = 1,2 (a -7) – 1,8 (3 – a) + 13,8;

в)  2\frac{1}{3}\left(a+6 \right)-7\frac{2}{3}\left(3-a \right)=7\frac{1}{3}\left(1\frac{1}{2}a-\frac{3}{11} \right)-2\frac{2}{3}\left(\frac{3}{8}a+2\frac{5}{8} \right) .

♦ Щоб довести тотожність, потрібно виконати тотожні перетворення в лівій частині або в правій, або в обох частинах одночасно і показати, що ліва частина дорівнює правій.

а) Будемо перетворювати лише ліву частину, а праву залишимо без змін:

5b – (6b + a) – (a – 6b) = 5b – 2a; (розкриємо дужки в лівій частині)

5b – 6b – a – a + 6b  = 5b – 2a; (зведемо подібін доданки)

5b – 6b + 6b – a – a  = 5b – 2a

5b  – 2a  = 5b – 2a.

Отже, тотожність доведено.

б) Перетворимо праву частину тотожності і покажемо, що вона дорівнює лівій. 

3a = 1,2 (a -7) – 1,8 (3 – a) + 13,8;  (розкриваємо дужки)

3a = 1,2a – 8,4 – 5,4 + 1,8a + 13,8; (зводимо подібні доданки) 

3a = 1,2a + 1,8a – 8,4 – 5,4 + 13,8

3a = 3a.

Отже, тотожність доведено.

в) Перетворимо ліву і праву частину одночасно і покажемо, що вони рівні:

 2\frac{1}{3}\left(a+6 \right)-7\frac{2}{3}\left(3-a \right)=7\frac{1}{3}\left(1\frac{1}{2}a-\frac{3}{11} \right)-2\frac{2}{3}\left(\frac{3}{8}a+2\frac{5}{8} \right) ;

(перетворюэмо мышаны числа в неправильны дроби)

 \frac{7}{3}\left(a+6 \right)-\frac{23}{3}\left(3-a \right)=\frac{22}{3}\left(\frac{3}{2}a-\frac{3}{11} \right)-\frac{8}{3}\left(\frac{3}{8}a +\frac{21}{8}\right) ;

(розкриваємо дужки в лівій та правій частинах)

 \frac{7}{3}a+14-23+\frac{23}{3}a=11a-2-a-7 ;

(виконуємо дії та зводимо подібні доданки)

 10a-9=10a-9 .

Отже, тотожність доведено.♦

Приклад

Виділити повний квадрат в тричлені

 4x^{2}+12x - 11 .

♦ Виділити повний квадрат означає звести квадратний тричлен до вигляду  (a\pm b)^{2}\pm c . Це неважко зробити використовуючи формулу квадрата суми (різниці) двох виразів

 a^{2}\pm 2ab+b^{2}=\left(a\pm b \right)^{2} .

Розглянувши заданий вираз, бачимо, що першим членом є квадрат виразу 2х, другий член – це подвоїний добуток виразу 2х та числа 3 ( 12х = 2·2х·3). А значить, що отримати повний квадрат, то на місці третього члена повинен стояти квадрат числа 3, тобто число 9. Додамо його. Для того, щоб нічого не змінилося, віднімемо число 9.

Отримаємо:

 4x^{2}+12x - 11=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot 3+3^{2}-3^{2}-11=

 =((2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot 3+3^{2})-9-11=(2x+9)^{2}-20 – повний квадрат заданого тричлена.♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *