Дії над звичайними дробами

Приклад 1

Перевести мішані числа в неправильні дроби:

а)  7\frac{1}{5} ;      б)  13\frac{4}{9} ;

в)  23\frac{24}{25} ;      г)  485\frac{1}{10} .

♦ За правилом переведення мішаних чисел в неправильні дроби потрібно цілу частину помножити на знаменник дробу, отриманий результат додати до числельника та записати суму в чисельник шуканого дробу, знаменник залишити без змін. Тому, маємо:

а)  7\frac{1}{5}=\frac{7\cdot 5+1}{5}=\frac{36}{5} ;

б)  13\frac{4}{9}=\frac{13\cdot 9+4}{9}=\frac{121}{9} ;

в)  23\frac{24}{25}=\frac{23\cdot 25+24}{25}=\frac{599}{25} ;

г)  485\frac{1}{10}=\frac{485\cdot 10+1}{10}=\frac{4851}{10} .♦

Приклад 2

Виділити цілу частину числа (записати у вигляді мішаного дробу):

а)  \frac{17}{5} ;               б)  \frac{124}{13} ;

в)  \frac{584}{23} ;            г)  \frac{1005}{3} .

♦ За правилом виділення цілої частини з неправильного дробу, необхідно поділити чисельник дробу на його знаменник. Повна часта і буде цілою частиною, остачу потрібно записати в чисельник дробу, а знаменник залишити без змін. Тому, маємо:

а)  \frac{17}{5} =17:5=3\frac{2}{5} ;

б)  \frac{124}{13}= 124 : 13 = 9 \frac{7}{13};

в)  \frac{584}{23}= 584 : 23 = 25 \frac{9}{23};

г)   \frac{1005}{3}= 1005 : 3 = 335.♦

Приклад 3

У класі 35 учнів.

 \frac{3}{7} становлять хлопчики.  \frac{1}{5} з них займаються боксом,  \frac{1}{3} – карате, а решта відвідують гурток з легкої атлетики. Скільки хлопчиків з класу займаються боксом, карате та легкою атлетикою.

♦ Оскільки загальна кількість дітей у класі задана, а потрібно знайти яку частину становить кількість хлопчиків від загальної кількості учнів у класі, то маємо задачу на знаходження дробу від числа. Спочатку знайдемо скільки всього хлопчиків у класі. За правилом знаходження дробу від числа дістаємо: 35 : 7 · 3 = 15 учнів. Тобто, в класі 15 хлопчиків. За тим же правилом знаходимо скільки хлопчиків займається боксом: 15 : 5 · 1 = 3 хлопчики, карате: 15 : 3 · 1 = 5 учнів. Знайдемо кількість хлопчиків, які відвідують гурток з легкої атлетики: 15 – 5 – 3 = 7 учнів. Отже, 3 хлопчики займаються боксом, 5 – карате, а 7 – легкою атлетикою.♦

Приклад 4

Четверта частина зібраних овочів становить 28 кг. Скільки кілограмів овочів всього зібрали?

♦ Оскільки потрібно знайти загальну кількість зібраних овочів, то маємо задачу на знаходження числа за його дробом. Тому: 28 кг – це  \frac{1}{4} , а х кг – це всі овочі. За правилом знаходження чила за його дробом маємо: х = 28 · 4 : 1 = 112. Отже, всього зібрали  112 кілограмів овочів. ♦  

Приклад 5

Записати за допомогою дробу, яку частину кожної із зображених на малюнках фігур зафарбовано:

а) Дії над звичайними дробами ; б) Дії над звичайними дробами ;

в)  Дії над звичайними дробами  ; г)  Дії над звичайними дробами .

♦ а) Фігура складається з 30 однакових частин (трикутників). З них  зафарбовано 7. Тому на малюнку зафарбовано  \frac{7}{30} .

б) Фігура складається з 12 однакових частин (трикутників). З них  зафарбовано 3. Тому на малюнку зафарбовано  \frac{3}{12}

в) Фігура складається з 8 однакових частин (секторів). З них зафарбовано 4. З іншого боку можемо розглянути більші сектори. Тоді фігура складається з 4 таких секторів, з яких зафарбовано 2. Тому на малюнку зафарбовано  \frac{4}{8}=\frac{2}{4}

г) Фігура складається з 32 однакових частин (трикутників). З них  зафарбовано 10. Тому на малюнку зафарбовано  \frac{10}{32} .♦

Приклад 6

Виконати додавання дробів

 \frac{4}{7} та  \frac{11}{13} .

♦ Для того, щоб додати дроби з різними знаменниками, потрібно:

1. Звести дроби до спільного знаменника. Їх спільним знаменником буде НСК (найменше спільне кратне) чисел, що стоять у знаменниках дробів.  В даному випадку – це число 91. 

Як знайти НСК чисел читайте у задачі Найменше спільне кратне чисел

2. Знайти додаткові множники до кожного з дробів. Для цього потрібно спільний знаменник поділити на знаменник кожного дробу: 91:7 =13, 91: 13 = 7.

3. Чисельник кожного дробу домножити на знайдений додатковий множник: 4·13 = 52, 11·7 = 77.

4. В чисельник записати суму отриманих добутків, а в знаменник – спільний знаменник дробів.

Додавання дробів
Додавання звичайних дробів з різними знаменниками

Отримали результат додавання двох дробів з різними знаменниками.

В результаті виконано переведення неправильного дробу в мішаний дріб.

Приклад 7

Обчисліть значення виразу:

  (\frac{3}{7}\cdot \frac{14}{3}-1\frac{15}{28}):\frac{26}{4} .

♦ Виконаємо дії:

1)  \frac{3}{7}\cdot \frac{14}{3}=\frac{3\cdot 14}{7\cdot 3}=2 ;

2)  2-1\frac{15}{28}=1\frac{28}{28}-1\frac{15}{28}=\frac{13}{28} ;

3)  \frac{13}{28}:\frac{26}{4}=\frac{13}{28}\cdot \frac{4}{26}=\frac{13\cdot 4}{28\cdot 26}=\frac{1}{14} ;

Отже,  (\frac{3}{7}\cdot \frac{14}{3}-1\frac{15}{28}):\frac{26}{4}=\frac{1}{14} .♦

Приклад 8

У трьох ящиках

 32\frac{3}{16} кг яблук. У першому ящику  11\frac{1}{24} кг, у другому на  \frac{3}{8} кг більше, ніж у першому. Скільки кілограмів яблук у третьому ящику?

♦ Визначимо скільки яблук у другому ящику:  11\frac{1}{24}+\frac{3}{8}=11\frac{1}{24}+\frac{9}{24}=11\frac{10}{24}=11\frac{5}{12} (кг). Тепер знайдемо скільки яблук у третьому ящику: 

 32\frac{3}{16}-11\frac{1}{24}-11\frac{5}{12}=\frac{515}{16}-\frac{265}{24}-\frac{137}{12}=

 =\frac{1545}{48}-\frac{530}{48}-\frac{548}{48}=\frac{467}{48}=9\frac{35}{48} (кг).♦

Приклад 9

Зведіть дроби до знаменника 72:

  \frac{1}{2}, \frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{5}{6},\frac{7}{8},\frac{8}{9},\frac{11}{12},\frac{17}{18},\frac{23}{24},\frac{35}{36}  

♦ Для того, щоб звести всі дроби до спільного знаменника 72, чисельник та знаменник кожного з них потрібно помножити на відповідне число. Для того, щоб знайти це число, необхідно спільний знаменник (число 72) поділити на знаменник кожного дробу. Для кожного дробу отримаємо наступні числа відповідно: 36, 24, 18, 12, 9, 8, 6, 4, 3, 2. Отже, маємо: 

 \frac{1}{2}= \frac{1\cdot 36}{2\cdot 36}=\frac{36}{72} ,

 \frac{2}{3}= \frac{2\cdot 24}{3\cdot 24}=\frac{48}{72} ,

 \frac{3}{4}= \frac{3\cdot 18}{4\cdot 18}=\frac{54}{72} ,

 \frac{5}{6}= \frac{5\cdot 12}{6\cdot 12}=\frac{60}{72} ,

 \frac{7}{8}= \frac{7\cdot 9}{8\cdot 9}=\frac{63}{72} ,

 \frac{8}{9}= \frac{8\cdot 8}{9\cdot 9}=\frac{64}{72} ,

 \frac{11}{12}= \frac{11\cdot 6}{12\cdot 6}=\frac{66}{72} ,

 \frac{17}{18}= \frac{17\cdot 4}{18\cdot 4}=\frac{68}{72} ,

 \frac{23}{24}= \frac{23\cdot 3}{24\cdot 3}=\frac{69}{72} ,

 \frac{35}{36}= \frac{35\cdot 2}{36\cdot 2}=\frac{70}{72} . ♦

Приклад 10

Скоротіть дроби:

а)  \frac{360}{240} ;

б)  \frac{312}{676} ;

в)  \frac{7\cdot 10}{15\cdot 21} ;

г)  \frac{9\cdot 3}{4\cdot 27} ;

д)  \frac{3\cdot 19-3\cdot 14}{3\cdot 7+2\cdot 7} ;

е)  \frac{5\cdot 6+5\cdot 10+5\cdot 3}{5\cdot 12+5\cdot 5+5\cdot 2} .

♦ Скоротити дріб означає поділити його чисельник та знаменник на їх найбільший спільний дільник. Тому, розкладемо чисельник і знаменники дробів на множники і скоротимо на спільні з них.

а)  \frac{360}{240}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}=\frac{3}{2} .

б)  \frac{312}{676}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 13}{2\cdot 2\cdot 13\cdot 13}=\frac{2\cdot 3}{13}=\frac{6}{13}.

в)  \frac{7\cdot 10}{15\cdot 21}=\frac{7\cdot 2\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 3\cdot 7}=\frac{2}{3\cdot 3}=\frac{2}{9} .

г)  \frac{9\cdot 3}{4\cdot 27}=\frac{27}{4\cdot 27}=\frac{1}{4} .

д)  \frac{3\cdot 19-3\cdot 14}{3\cdot 7+2\cdot 7}=\frac{3(19-14)}{7(3+2)}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 5}=\frac{3}{7} .

е)  \frac{5\cdot 6+5\cdot 10+5\cdot 3}{5\cdot 12+5\cdot 5+5\cdot 2}=\frac{5(6+10+3)}{5(12+5+2)}=\frac{5\cdot 18}{5\cdot 19}=\frac{18}{19} .♦

Приклад 11

Запишіть 5 дробів, які дорівнюють дробу 

 \frac{4}{12} .

♦ За основною властивістю дробу чисельник і знаменник можна домножувати або доділювати на одне і те ж саме число. При цьому величина дробу не зміниться. Тому, для заданого дробу рівними будуть  \frac{1}{3} (чисельник і знаменник поділили на 4),  \frac{2}{6} (чисельник і знаменник поділили на 2),  \frac{8}{24} (чисельник і занменник помножили на 2),  \frac{12}{36} (чисельник і знаменник помножили на 3),  \frac{20}{60} (чисельник і знаменник помножили на 5). ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *