Відношення та пропорції

Приклад 1

З 300 кг насіння льону отримують 144 кг олії. Скільки олії отримають із 225 кг насіння льону? Скільки насіння  льону потрібно, щоб отримати 4,2 ц олії?

♦ Для того, щоб розв’язати задачу, потрібно скласти пропорцію. Для цього запишемо умову наступним чином:

НасінняОлія
300 кг144 кг
225 кгх кг

Маємо пропорцію:

 \frac{300}{225}=\frac{144}{x} . Розв’язавши її отримаємо: х = 108. Це значить, що із 225 кг насіння льону можна отримати 108 кг олії.

Щоб розв’язати пропорцію, потрібно розв’язати відповідне рівняння, використовуючи властивості пропорцій.

Запишемо умову для другої частини задачі: 

НасінняОлія
300 кг144 кг
х кг4,2 ц = 420 кг

Маємо пропорцію:  \frac{300}{x}=\frac{144}{420} . Розв’язавши її, отримаємо х = 875 кг. Тобто, щоб отримати 4,2 ц олії, потрібно взяти 875 кг насіння.♦

Приклад 2

Не обчислюючи дані відношення, встановіть чи можна з них скласти пропорцію:

1) 6,25 : 0,5 і 37,5 : 3;

2)  7\frac{3}{4}:3\frac{2}{3} і  12\frac{1}{3}:9\frac{1}{2} .

♦ Для того, щоб перевірити, чи можна з відношень скласти пропорцію, не обчислюючи самих відношень, потрібно рухатись від супротивного. А саме, припустити, що така пропорція існує.

Тоді, для неї має виконуватись основна властивість пропорцій.

Перевіримо її виконання.

1) 6,25 : 0,5 = 37,5 : 3;

6,25 · 3 = 0,5 · 37,5;

18,75 = 18,75.

Отже, в даному випадку із заданих відношень можна скласти пропорцію.

2)  7\frac{3}{4}:3\frac{2}{3}=12\frac{1}{3}:9\frac{1}{2},

 \frac{31}{4}:\frac{11}{3}=\frac{37}{3}:\frac{19}{2},

Виконали переведення мішаного дробу в неправильний.

 \frac{31}{4}\cdot \frac{19}{2}=\frac{11}{3}\cdot \frac{37}{3},

 \frac{589}{8}=\frac{407}{9},

Виконали множення звичайних дробів.

 73\frac{5}{8}\neq 45\frac{2}{9}.

Отримали після виділення цілої частини з неправильного дробу.

Отже, бачимо, що основна властивість пропорції не виконується. А значить, із відношень не можна скласти пропорцію. ♦

Приклад 3

Обчисливши дані відношення, встановіть, чи можна з них скласти пропорцію:

1) 49:0,7 і 6,3:0,09;

2)  2\frac{3}{5}:8\frac{2}{3} і  4\frac{1}{3}:7\frac{2}{9} .

 Перевіримо рівність лівих та правих частин заданих відношень.

1) 49:0,7 = 70;

6,3:0,09 = 70.

Отже, ліва та права частини рівні, це значить, що з відношень можна скласти пропорцію.

Потрібно пригадати як виконується ділення десяткових дробів.

2)  2\frac{3}{5}:8\frac{2}{3}=\frac{13}{5}:\frac{26}{3}=\frac{3}{10}=0,3 ,

 4\frac{1}{3}:7\frac{2}{9}=\frac{13}{3}:\frac{65}{9}=\frac{3}{5}=0,6 .

Бачимо, що результати в лівій і правій частині відношень різні, а значить із таких відношень не можна скласти пропорцію. ♦

Нагадаємо як виконується ділення звичайних дробів та переведення мішаного числа в неправильний дріб.

Приклад 4

Замінити відношення дробових чисел відношенням натуральних: 

 1) 2:\frac{5}{7};

 2) \frac{1}{3}:\frac{1}{5};

 3) 2\frac{3}{4}:5\frac{5}{6};

 4) \frac{3}{5}:\frac{12}{5};

 5) 0,07:0,49; .

♦ Для того, щоб замінити задані дробові відношення відношеннями натуральних чисел, потрібно перетворити задані дроби в натуральні числа. Для цього використаємо основну властивість відношення.

1) Число 2 є натуральним числом. В правій частині відношення маємо дріб. Щоб перетворити його на натуральне число, потрібно цей дріб домножити на його знаменник, тобто на число 7. А значить за основною властивістю відношень, і число 2 теж потрібно домножити на 7. Тому, отримаємо:

 2:\frac{5}{7} = (2\cdot 7):(\frac{5}{7}\cdot 7)=14:5 .

2) І в лівій, і в правій частині відношення маємо дроби. Їх потрібно перетворити в натуральні числа. Для цього їх обидва потрібно домножити на їх спільний знаменник (найменше спільне кратне) , тобто на число 15. Отримаємо:

 \frac{1}{3}:\frac{1}{5}=(\frac{1}{3}\cdot 15):(\frac{1}{5}\cdot 15) = 5:3 .

3) В обох частинах відношеня маємо мішані дроби. Тому, потрібно спочатку перевести їх в неправильні дроби:  2\frac{3}{4}:5\frac{5}{6}=\frac{11}{4}:\frac{35}{6} .

Потім виконуємо все, як у попередньому випадку: \frac{11}{4}:\frac{35}{6}=(\frac{11}{4}\cdot 12):(\frac{35}{6}\cdot 12) = 33:70 .

4) Знаменник для обох частин однаковий, тому просто домножимо відношенні на 5:  \frac{3}{5}:\frac{12}{5}=(\frac{3}{5}\cdot 5):(\frac{12}{5}\cdot 5)=3:12 . В даному випадку отримали відношення натуральних чисел, яке можна замінити простішим, поділивши обидві частини на спільний дільник, тобто число 3:  = (3:3):(12:3) = 1:4 .

5) Маємо відношення десяткових дробів. Щоб перетворити ці дроби у натуральні числа, домножимо їх на 100:   0,07:0,49=(0,07\cdot 100):(0,49\cdot 100) = 7: 49 = 1:7 .

Приклад 5

Букет складається з ромашок, волошок та маків, кількість яких пропорційна відповідно числам 2, 5 та 10. Скільки всього квітів у букеті, якщо до його складу входить 8 ромашок?

♦ Оскільки кількість усіх квітів у букеті пропорційна заданим числам, то це означає, що до складу букету входить 2 частини ромашок, 5 таких же частин волошок та 10 таких же частин маків. Визначимо скільки квітів припадає на одну частину: 8 : 2 = 4 квітки.

Тепер підрахуємо скільки всього частин квітів у букеті: 2 + 5 + 10 = 17. Оскільки на одну частину припадає 4 квітки, а таких частин всього 17, то легко визначити скільки всього квітів у букеті: 4 · 17 = 68. ♦

Приклад 6

Для одержання 18 кг сплаву потрібно 6 кг заліза. Скільки треба взяти заліза для виготовлення 21 кг; 30 кг; 54 кг; 6 кг сплаву?

♦ Між масою сплаву та кількістю взятого заліза існує пряма пропорційна залежність. Визначимо коефіцієнт такої пропорційності: 18 : 6 = 3. Отже, заліза потрібно взяти в три рази менше, ніж отримаємо спалву. Тому для виготовлення 21 кг сплаву потрібно взяти 21 : 3 = 7 кг олова; 30 кг – 30 : 3 = 10 кг; 54 кг – 54 кг : 3 =18 кг; 6 кг – 6 : 3 = 2 кг. ♦

Приклад 7

Знайдіть корені рівнянь:

а)  \frac{1,25}{0,4}=\frac{1,35}{2x} ;

б)  \frac{1,8}{8+x}=\frac{0,75}{30} ;

в)  \frac{4,5}{3-5x}=\frac{1}{7} ;

г)  \frac{3}{10}=\frac{2x-5}{4}

♦ Користуючись правилом знаходження невідомих членів пропорції, що випливає з основної властивості пропорції, знайдемо корені поданих рівнянь.

а)  \frac{1,25}{0,4}=\frac{1,35}{2x} ;

 2x=\frac{0,4\cdot 1,35}{1,25};

  2x=\frac{0,54}{1,25} ;

  2x=0,432 ;

  x=0,432:2 ;

 x=0,216 .

б)  \frac{1,8}{8+x}=\frac{0,75}{30} ;

 8+x=\frac{1,8\cdot 30}{0,75} ;

 8+x=\frac{54}{0,75}

 8+x=72

 x=72-8

x=64   .

в)  \frac{4,5}{3+5x}=\frac{1}{7} ;

 3+5x=\frac{7\cdot 4,5}{1}

 3+5x=31,5

 5x=31,5-3

 5x=28,5

x=28,5:5

 x=5,7 .

г)  \frac{3}{10}=\frac{2x-5}{4}

 2x-5=\frac{3\cdot 4}{10}

 2x-5=1,2

 2x=1,2+5

 2x=6,2

 x=6,2:2

 x=3,1 .♦

Приклад 8

Замініть дані відношення простішими: 12:72, 80:35,  2,4:0,72.

♦ Використаємо основну властивість відношення. Вона полягає в тому, що відношення не зміниться, якщо кожний член відношення помножити або поділити на одне й те ж саме число, відмінне від нуля. Тому: 12:72 = 1:6 (поділили на 6), 80:35 = 16:7 (поділили на 5), 2,4:0,72 = 20:6 (поділили на 0,12).♦

Приклад 9

Обчисливши дані відношення, встановіть, чи можна з них скласти пропорцію:

1) 48,4:4 і 60,5:5;

2)  1\frac{2}{5}:2\frac{1}{3} і  \frac{9}{13}:1\frac{6}{39} .

♦ Оскільки, за означенням, пропорція – це рівність двох відношень, то потрібно обчислити і перевірити рівність правих та лівих частин у заданих відношеннях:

1) 48,4:4 = 12,1;

60,5:5=12,1. Отже, ліва і права частини рівні, а значить із відношень можна скласти пропорцію.

1)  1\frac{2}{5}:2\frac{1}{3}=\frac{7}{5}:\frac{7}{3}=\frac{3}{5}

 \frac{9}{13}:1\frac{6}{39}=\frac{9}{13}\cdot \frac{39}{45}=\frac{3}{5}

Варто пригадати як виконувати ділення звичайних дробів та переводити мішаний дріб в неправильний. 

Отже, бачимо, що ліва і права частини відношення рівні, значить з них можна скласти пропорцію.♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *