Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики

Приклад

Скільки парних п’ятизначних чисел можна утворити з цифр 0, 1, 2, 3, 4 так, щоб усі числа були різними?

♦ Парними будуть числа, що закінчуються на 0, 2, 4. Кількість чисел, які закінчуються нулем дорівнює  числу перестановок з чотирьох цифр (1, 2, 3, 4), тобто Р4.

Числа, що закінчуються на 2, утворюються із цифр 0, 1, 3, 4 їх різноманітними перестановками, кількість яких  Р4. Проте цифра нуль не може стояти на першому місці. Тому з  Рвилучаєсо кількість чисел які утворюються із цифр 1, 3 та 4, тобто  Р3

Аналогічно можна знайти кількість числе, що закінчуються  на 4. 

Отже, всього парних п’ятизначних чисел можна утворити n = 3 Р– 2 Р3 = 3·4! – 2·3! = 60.♦

Приклад

Команда з “Клубу знавців” у складі шести осіб займає місця за круглим столом. Скільки є можливих варіантів розміщення гравців? Скільки таких варіантів у випадку, коли два провідних члени команди повинні сісти поруч?

♦ У першому випадку кількість способів розміщення гравців дорівнює числу перестановок з 6 елементів, тобо Р6 = 6! = 720. У другому випадку для двох виділених осіб є  шість різних сусідніх пар місць, на кожному з яких ці дві особи можуть сісти двома способами (один біля одного ліворуч або праворуч). Отже, посадити їх можна 12 способами. На місця, що залишаться, решту членів команди можна розсадити Р4 способами. За правилом добутку дістаємо кількість усіх варіантів розміщень: 12·4!=288.♦

Приклад

У шаховому турнірі, де учасники зустрічаються між собою один раз, три шахісти вибули через хворобу, зігравши відповідно одну, дві та три партії з учасниками, що залишились у турнірі. Скільки шахістів розпочали турнір, якщо всього було зіграно 84 партії.

♦ Позначимо через n число учасників турніру. Оскільки три з них вибуло, зігравши в сумі 1 + 2 + 3 = 6 партій, то в останніх 84 – 6 = 78 партіях взяло участь n – 3 учасники. Отже,  78=C_{n-3}^{2} , тобто  \frac{(n-3)(n-4)}{2!}=78 , або  n^{2}-7n-144=0 , звідки дістаємо один додатний корінь n = 16. ♦

Приклад

Студенти одного з курсів вивчають 8 навчальних дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять на понеділок, якщо в цей день треба запаланувати три лекції з різних предметів?

♦ Кількість таких способів дорівнює числу розміщень  з 8 елементів по 3, тобто  A_{8}^{3}=8\cdot 7\cdot 6=336  .♦

Приклад

Обчислити:

а)  \frac{A_{8}^{4}+A_{6}^{3}}{A_{5}^{2}} ;

б)  \frac{P_{4}-P_{3}}{3!}  ;

в)   C_{6}^{4}+C_{3}^{2}\; i\; C_{6}^{2}+C_{3}^{1} .

♦ а) Користуючись формулою 

 A_{n}^{k}=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!},0\leq k\leq n, ,

маємо  \frac{A_{8}^{4}+A_{6}^{3}}{A_{5}^{2}}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5+6\cdot 5\cdot 4}{5\cdot 4}=90 .

б) За формулою   P_{n}=A_{n}^{n}=n!

отримаємо  \frac{P_{4}-P_{3}}{3!}=\frac{4!-3!}{3!}=\frac{3!(4-1)}{3!}=3 .

в) За властивістю  C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\; C_{n+1}^{k+1}=C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k},\; k\in \bar{0,n}

та формулою  C_{n}^{k}=\frac{A_{n}^{k}}{P_{k}}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!},\; 0\leq k\leq n

дістаємо  C_{6}^{4}+C_{3}^{2}= C_{6}^{2}+C_{3}^{1} =\frac{6\cdot 5}{2!}+\frac{3}{1!}=18. ♦

Приклад

У класі навчається 24 учні, 18 з них відвідують театральний гурток. Яка ймовірність того, що навмання обраний учень виявиться членом театрального гуртка? 

♦ Подія А полягає в тому, що навмання вибраний учень буде членом театрального гуртка. Всього можливих способів – 24, а сприятливих для виконання події А – 18. Тобто m = 15, n = 24.  Тому ймовірність події А обчислимо за формулою   P(A)=\frac{m}{n}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4} .♦

Приклад

Знайти член розкладу  \left(x+\frac{1}{x^{4}} \right)^{10} , який не містить х.

♦ Запишемо k-ий член розкладу:

 T_{k+1}=C_{10}^{k}\cdot x^{10-k}\left(\frac{1}{x^{4}} \right)^{k}=C_{10}^{k}\cdot x^{10-k-4k} . Оскільки член не повинен містити х, то це значить, що х входить до даного члена розкладу в нульовому степені, тобто: 10 – k – 4k = 0; -5k = -10; k = 2. Значить третій член розкладу не містить х і він дорівнює 

 T_{2+1}=T_{3}=C_{10}^{2}=\frac{10!}{2!\cdot 8!}=\frac{8!\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 8!}=9\cdot 5=45 . ♦

Приклад

Скількома спосабами можна вишикувати 7 учнів на уроці фізкультури в колону по одному?

♦ Для обчислення кількості способів потрібно знайти кількість перестановок з семи елементів: Р7 = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040. Отже, існує 5040 способів вишикувати сім учнів на уроці фізкультури в колону по одному.♦

Приклад

З 21 учня в класі потрібно обрати шість для виступу на спортивних змаганнях. Скількома способами це можна зробити?

♦ Оскільки порядок вибору ролі не відіграє, то кількість способів обчислимо за формулою комбінацій з 21 по 6:  C_{21}^{6}=\frac{21!}{6!(21-6)!}=\frac{21!}{6!\cdot 15!}=\frac{16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20\cdot 21}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=8\cdot 17\cdot 21=2856 . Отже, вибір можна зробити 2856 способами.♦

Приклад

Знайти кількість трицифрових чисел, які можна скласти з цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9, якщо цифри в числі не повторюються.

♦ Оскільки порядок цифр в числі має значення (при різному розміщенні цифр утворюються різні числа), то використаємо формулу розміщень з 6 елементів по 3 (цифр всього 6, а число має бути трицифрове):  A_{5}^{2}=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{3!}=4\cdot 5\cdot 6=120 . Отже, з цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9 можна скласти 120 трицифрових чисел.♦

Приклад

В урні лежить  7 синіх та 5 червоних кульок. Скількома способами можна обрати або 2 сині, або 2 червоні кульки?

♦ Спочатку визначимо скількома способами можна обрати 2 сині кульки із 7. Оскільки порядок не має значення, то  C_{7}^{2}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7!}{2!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7}{1\cdot 2}=21 . Аналогічно визначаємо скількома способами можна витягнути 2 червоні кульки з 5:  C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{4\cdot 5}{1\cdot 2}=10 . За правилом суми, отримуємо: 21 + 10 = 31. Отже, всього 31 способом можна витягти з урни 2 сині або 2 червоні кульки.♦

Приклад

В урні лежить  7 синіх та 5 червоних кульок. Скількома способами можна обрати  2 сині та 2 червоні кульки?

♦ Спочатку визначимо скількома способами можна обрати 2 сині кульки із 7. Оскільки порядок не має значення, то  C_{7}^{2}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7!}{2!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7}{1\cdot 2}=21 . Аналогічно визначаємо скількома способами можна витягнути 2 червоні кульки з 5:  C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{4\cdot 5}{1\cdot 2}=10 . За правилом добутку, отримуємо: 21 · 10 = 210. Отже, всього 210 способами можна витягти з урни 2 сині та 2 червоні кульки.♦

Приклад

В колективі артистів 14 учасників. З них 8 співаків та 6 танцівників. Навмання обирають 4 учасників. Яка ймовірність того, що серед них буде 2 співаки та 2 танцівники?

♦ Подія А полягає в тому, що в навмання вибраній групі артистів з 4 чоловік буде 2 співаки та 2 танцівники. Всього існує  n= C_{14}^{4}=\frac{14!}{4!\cdot (14-4)!}=\frac{14!}{4!\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12\cdot 13\cdot 14}{2\cdot 3\cdot 4}=1001  спосіб обрати 4 людини з 14. Визначимо скільки існує способів обрати 2 співаків з 8:   C_{8}^{2}=\frac{8!}{2!\cdot (8-2)!}=\frac{8!}{2!\cdot 6!}=\frac{8\cdot 9}{2}=36  та 2 танцівників з 6:  C_{6}^{2}=\frac{6!}{2!\cdot (6-2)!}=\frac{6!}{2!\cdot 4!}=\frac{5\cdot 6}{2}=15 . Отже, всього сприятливих варіантів для вибору  n=C_{8}^{2}\cdot C_{6}^{2}=36\cdot 15=540 . Тому  P(A)=\frac{m}{n}=\frac{540}{1001} .♦

Приклад

У корзині лежить 11 яблук та 7 груш. Навмання один за одним витягують два фрукти, причому витягнутий фрукт до корзини не повертають. Яка ймовірність того, що з корзини витягнуть одне яблуко та одну грушу?

♦ Нехай подія А полягає в тому, що перший витягнутий фрукт – яблуко, подія В – другий витягнутий фрукт – груша. Тоді подія АВ – витягли одне яблуко та одну грушу. Всього в корзині 11 + 7 = 18 плодів. Тому n = 18. Оскільки з них 11 яблук, то n = 11. Визначимо ймовірність події А:  P(A)=\frac{m}{n}=\frac{11}{18} . Після того, як з корзинки витягнули одне яблуко в ній залишилось всього 17 плодів. З них 7 груш. Тому n = 17, а m = 7. Визначимо ймовірність події В:  P(B)=\frac{m}{n}=\frac{7}{17} . Оскільки  події незалежні, то ймовірність події АВ обчислимо за формулою  P(AB)=P(A)\cdot P_{A}(B)=\frac{11}{18}\cdot \frac{7}{17}=\frac{77}{306} . ♦

Приклад

Два лучники стріляють по мішені незалежно один від одного. Ймовірність попадання в ціль першим лучником 0,6, а другим – 0,9. Яка ймовірність того, що хоча б один лучник пападе в мішень?

♦ Нехай подія А – в мішень попаде перший лучник, В – в мішень попаде другий лучник. Оскільки ці події не залежні, то ймовірність події С, що полягає в попаданні в мішень хоча б одним лучником, обчислимо за формулою: P(C) = 1 – (1 – P(A))(1 – P(B)) = 1 – (1 – 0,6)(1 – 0,9) = 1 – 0,4·0,1 = 1 – 0,04 = 0,96.♦

Приклад

Знайти ймовірність того, що при 15-ти кратному підкиданні грального кубика чотири очка випаде рівно 6 разів.

 ♦ Нехай подія А полягає у випаданні 4 очок при підкиданні грального кубика. Оскільки всього можливих варіантів 6 (в кубика всього 6 граней), а сприятливих – 1 (лише одна грань з 4 очками), то ймовірність події А обчислюється:  P(A)=p=\frac{1}{6} . Тоді ймовірність того, що на кубику випаде будь-яке інше число  q=1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} . Отже, за формулою Бернуллі, маємо:  P_{6,15}=C_{15}^{6}\left(\frac{1}{6} \right)^{6}\left(\frac{5}{6} \right)^{9}=\frac{15!\cdot 5^{9}}{6!(15-6)!\cdot 6^{6}\cdot 6^{9}}=   =\frac{15!\cdot 5^{9}}{6!\cdot 9!\cdot 6^{15}}=\frac{10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15 \cdot 5^{9}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 6^{15}}=\frac{77\cdot 5^{10}}{6^{15}} .♦

Приклад

Підкидають одночасно два гральних кубики. Знайти ймовірність події: “Сума очок, що випала на кубиках, дорівнює 8”

♦ Подія А полягає в тому, що при підкиданні двох гральних кубиків випадає сума очок, що дорівнює 8. Така умова буде виконуватися, якщо на кубиках випадуть грані:

“3” – “5”

“5” – “3”  

“2” – “6” 

“6” – “2” 

“4” – “4”.

Тобто, всього 5 сприятливих варіантів.

Всього можливо 6·6 = 36  різних варіантів падіння кубиків.

Тому, Р(А) = m/n = 5/36.♦

Приклад

На дев’ятьох однакових картках написані різні цифри від 1 до 9. Знайти ймовірність того, що навмання утворене за допомогою цих карток двозначне число – парне.

♦ Нехай подія А полягає в тому, що утворене навмання двозначне число парне.

  P(A)=\frac{m}{n} , де n – кількість усіх двозначних чисел, які можна утворити, з цифр 1-9; m – кількість парних чисел, які можна утворити з цифр 1-9.

Всього двозначних чисел 90. Але потрібно відкинути ті, для утворення яких використовується цифра 0, тобто 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Звідси n = 90 – 9 = 81.

Серед усіх двозначних чисел парних – половина, тобто 45. Але серед них є ті, для запису яких використовується цифра 0. Тому: m = 45 – 9 = 36.

Значить:  P(A)=\frac{36}{81}=\frac{4}{9} .♦

Приклад

Виконується три незалежні постріли по мішені. Ймовірність влучення в мішень при першому, другому, третьому пострілах відповідно дорівнюють 0,3; 0,9; 0,8. Знайти ймовірність того, що буде хоча б одне влучення в мішень.

♦ Нехай А1 – влучення в мішень при першому пострілі, А2 – влучення при другому пострілі, А3 – при третьому. Тоді,  \bar{A_{1}},\; \bar{A_{2}},\; \bar{A_{3}} – події, протилежні до А1, А2, та А3.

Подія  \bar{A_{1}}\cdot \bar{A_{2}}\cdot \bar{A_{3}} полягає в тому, що не відбулося жодного влучення при трьох пострілах.

Тоді, якщо А – влучення хоча б під час одного пострілу, то: 

 P(A)=1-P(\bar{A_{1}})\cdot P(\bar{A_{2}})\cdot P(\bar{A_{3}})

 P(A_{1})=0,3     P(\bar{A_{1}})=0,7

 P(A_{2})=0,9     P(\bar{A_{2}})=0,1

 P(A_{3})=0,8     P(\bar{A_{3}})=0,2

 P(A)=1-0,7\cdot 0,1\cdot 0,2=1-0,014=0,986 .

Приклад

Підкидають два гральних кубика. Яка ймовірність того, що на одному з них випаде шість очок, якщо на обох кубиках випали однакові грані.

♦ Оскільки на обох кубиках випали однакові грані, то це означає, що і на першому і на другому кубиках випали грані з шістьма очками.

Тому, говорячи іншими словами, потрібно знайти ймовірність того, що при підкиданні двох гральних кубиків на обох випаде по 6 очок.

Шукана подія А дорівнює добутку незалежних подій: А1 – на грані першого кубика випаде 6 очок; А2 – на грані другого кубика випаде 6 очок. 

 P(A)=P(A_{1}\cdot A_{2})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36} .♦

Приклад

На екзамені з математики припонують виконати 21 завдання. Учень вивчив тільки 19. Білет складається з трьох завдань. Яка ймовірність того, що учень складе іспит на 12 балів?

♦ Всього завдань – 21. Учень вивчив 19 з них. Нехай, подія А полягає в тому, що учень складе іспит на 12 балів, тобто розв’яже всі завдання вірно. Нехай подія А1 полягає в тому, що учень правильно відповів на перше завдання, А2 – на друге, А3 – на третє.

Тоді Р(А) = Р(А1)·Р(А2)·Р(А3), оскільки події незалежні та мають відбутися одночасно. Оскільки  P=\frac{m}{n} , то  P(A_{1})=\frac{19}{21} (всього 21 завдання, 19 з них учень підготував);  P(A_{2})=\frac{18}{20} (залишилося 20 завдань, 18 з яких учень підготував);  P(A_{3})=\frac{17}{19} (залишилося 19 завдань, 17 з яких учень підготував).

Тоді:  P(A)=\frac{19}{21}\cdot \frac{18}{20}\cdot \frac{17}{19}=\frac{18\cdot 17}{21\cdot 20}=\frac{51}{70} .

Отже, ймовірність того, що учень складе іспит на 12 балів становить  \frac{51}{70} .♦

Приклад

На регіональній конференції присутні 21 делегат: 5 – із Сум, 4 – з Харкова, решта – з Полтави. Потрібно обрати голову конференції. Яка ймовірність того, що оберуть:

а) сумчанина;

б) не полтавчанина?

♦ Всього 21 делегат. Із Сум – 5, з Харкова – 4, з Полтави – 21 – 5 – 4 = 12.

а) Нехай, подія А полягає в тому, що головою конференції вибрано сумчанина. Всього можливих варіантів вибору 21, тобто n = 21. Сприятливих – 5, тобто m=5. Значить,

 P(A)=\frac{m}{n}=\frac{5}{21}

б) Нехай, подія В полягає в тому, що головою конференції буде обрано не полтавчанина.  P(B)=\frac{m}{n} , де n = 21 (кількість усіх учасників конференції), m = 5 + 4 = 9 (кількість учасників не з Полтави). Тоді,  P(B)=\frac{9}{21}=\frac{3}{7} .♦ 

Приклад

На заводі з кожних 1000 виготовлених деталей 100 нестандартні. З’ясуйте ймовірність того, що з навмання взятих 6 деталей 2 деталі будуть нестандартними.

♦ Нехай подія А полягає в тому, що із навмання вибраних 6 деталей 2 буде нестандартними.

Кількість усіх можливих варіантів обрати 6 деталей із 1000: 

 n = C_{1000}^{6}=\frac{1000!}{6!(1000-6)!}=\frac{1000!}{6!\cdot 994!}=

 =\frac{995\cdot 996\cdot 997\cdot 998\cdot 999\cdot 1000}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=1368173298991500 .

Сприятливими для події А є випадки, коли із загальної кількості нестандартних деталей (тобто 100) взято 2 (це можна зробити  C_{100}^{2}  способами), а решта 6 – 2 = 4 деталі – стандартні взято із загальної кількості стандартних деталей (тобто 1000 – 100 = 900). Кількість таких способів дорівнює  C_{900}^{4} .

 C_{100}^{2}=\frac{100!}{2!(100-2)!}=\frac{100!}{2!\cdot 98!}=\frac{99\cdot 10}{1\cdot 2}=4950

 C_{900}^{4}=\frac{900!}{4!(900-4)!}=\frac{900!}{4!\cdot 896!}=

 =\frac{897\cdot 898\cdot 899\cdot 900}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=27155621025

Отже, шукана ймовірність: 

 P(A)=\frac{C_{100}^{2}\cdot C_{900}^{4}}{C_{1000}^{6}}=\frac{4950\cdot 2715521025}{1368173298091500}=0,0982 .♦

Приклад

Дано вибірку:  1; 2; 8; 4; 2; 3; 5; 4; 2; 3. Знайти моду і медіану.

♦ Впорядкуємо вибірку, тобто розмістимо її числові дані в порядку зростання: 1; 2; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 8.

Мода – це число, яке у вибірці зустрічається найчастіше. Таким числом є 2, тобто Мо = 2.

Медіана – це значення, яке впорядковану вибірку ділить навпіл. Оскільки у вибірці парна кількість чисел (10), то медіану шукатимемо як середнє арифметичне 5 – го  та 6 -го. Тобто Ме = (3+3):2=3.♦

Приклад

Знайти середнє значення ряду даних деякої випадкової величини Х: 1; 5; 4; 2; 6; 5; 2; 5; 6; 3; 1.

♦ Впорядкуємо вибірку: 1; 2; 2; 3; 4; 5; 5; 5; 6; 6. Середнє значення вибірки – це середнє арифметичне всіх її елементів, тому

  \bar{X}=\frac{1+2\cdot 2+3+4+5\cdot 3+6\cdot 2}{10}=\frac{1+4+3+4+15+12}{10}=\frac{36}{10}=3,6 .♦

Приклад

Середня величина Х має розподіл по частотах М, як показано в таблиці:

Х256810
М13212

Знайти середнє квадратичне відхилення.

♦ Середнє квадратичне відхилення шукатимемо за формулою  \sigma =\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{(x-\bar{x})^{2}\cdot M}}{n}} , де n = ∑ M, M – частота розподілу.

Х256810
М13212
 X-\bar{X} -4,3-1,3-0,31,73,7
 \left( X-\bar{X}\right)^{2} 18,491,690,092,8913,69
 \left( X-\bar{X}\right)^{2}M 18,495,070,182,8927,38

Тому n = ∑ M = 1 + 3 + 2 + 1 +2 = 9;

 \sigma =\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{(x-\bar{x})^{2}\cdot M}}{n}}=\sqrt{\frac{18,49+5,07+0,18+2,89+27,38}{9}}\approx 2,4 .♦

Приклад

Опитано 20 жінок про розміри їхнього взутя та отримано наступну вибірку: 36, 38, 36, 37, 39, 41, 38, 36, 37, 38, 38, 39, 39, 37, 38, 36, 38, 40, 38, 41. Скласти варіаційний ряд, ранжирований (впорядкований) ряд, записати варіанти, частоту та відносну частоту кожної варіанти.

♦ Варіаційний ряд – це ряд, в якому кожен елемент вибірки зустрічається лише один раз: 36, 37, 38, 39, 40, 41.

Ранжирований ряд або впорядкований – це ряд, в якому всі елементи записані в порядку зростання: 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 40, 41, 41.

Варіанти – це всі елементи варіаційного ряду, тобто всі розміри, які зустрічаються у вибірці: х1 = 36, х2 = 37, х3 = 38, х4 = 39, х5 = 40, х6 = 41.

Частотою кожної варіанти є кількість появи її у вибірці: n= 4, n2 = 3, n3 = 7, n4 = 3, n5 = 1, n6 = 2.

Відносною частотою варіанти є відношення частоти її появи до загальної кількості елементів у вибірці, тобто  \nu _{i}=\frac{n_{i}}{n} . Оскільки n = 20, то  \nu _{1}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5},  \nu _{2}=\frac{3}{20},  \nu _{3}=\frac{7}{20},  \nu _{4}=\frac{3}{20},  \nu _{5}=\frac{1}{20},   \nu _{6}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10} .♦

Приклад

З метою вивчення середньої врожайності пшениці на площі 500 000 га проведено вибіркове вимірювання врожайності на полях загальною площею 2850 га. Результати вимірювання занесено до таблиці: 

Врожайність,

ц/га

15-1717-1919-2121-2323-2525-2727-2929-31
Кількість,

га

100300500700600300200150

За даними таблиці побудйте гістограму врожайності пшениці на площі 2850 га. 

♦ На осі Ох позначимо врожайність, ц/га. На осі Оу будемо відкладати кількість гектарів, поділених на 2, оскільки врожайність береться на проміжку для двох гектарів. 

Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики