Чотирикутники

Приклад 

Доведіть, що прямокутник, діагоналі якого перпендикулярні, є квадратом.

♦ ЧотирикутникиРозглянемо трикутник АОВ: ∠ АОВ = 90о, ∠ BAO = ∠ ABO = (180– 90o) : 2 = 45o. Аналогічно можна обчислити ∠ ВСА = 45о. Розглянемо трикутник АВС: ∠ А  = ∠ С = 45о ⇒ Δ АВС – рфвнобедрений, прямокутний. Отже, АВ = ВС. Аналогічно, AD = CD.Отже,  ABCD – квадрат. ♦

Приклад 

У паралелограмі ABCD діагональ АС поділяє кут А навпіл. Доведіть, що чотирикутник ABCD – ромб.

♦ Чотирикутники∠ САD = ∠ ACB (як внутрішні різносторонні при перетині паралельних прямих AD і BC січною АС). Тоді ∠ ACB = ∠ BAC ⇒ Δ ABC – рівнобедрений, а значить АВ = ВС. Оскільки, ABCD – паралелограм, то AD = BC, AB = CD ⇒ AB = BC = CD = AD ⇒ ABCD – ромб.♦

Приклад 

Відомо, що жоден з кутів паралелограма не є гострим. Що можна сказати про цей паралелограм?

♦ Оскільки жоден з кутів не є гострим, то всі вони або прямі, або тупі. Тупими вони бути не можуть, оскільки всі кути чотирикутника в сумі повинні дорівнювати 360о, а якщо всі кути будуть тупими, то їх сума буде більшою за 360о. Тому кути можуть бути лише прямими. А якщо в чотирикутнику всі кути прямі, то такий чотирикутник називаєтиься прямокутником. Тому заданий паралелограм є прямокутником.♦

Приклад 

Знайдіть кути паралелограма, зображеного на рисунку

Чотирикутники

♦ ∠ ВСА = ∠ DАС  (як внутрішні різностороннні при перетині паралельних AD i BC січною АС). Тоді ∠ ВСА = 25о. Отже, ∠ C = ∠ ВСА + ∠ ACD = 25o + 35o = 60o. За властивістю кутів паралелограма протилежні кути рівні, а тому ∠ А = ∠ С = 60о. Сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180о. Тому ∠ В = ∠ D = 180o – 60= 120o.♦

Приклад 

Чи можна накреслити опуклий чотирикутник, у якого три кути прямі, а четвертий гострий?

♦ За властивістю кутів чотикирикутника, їх сума повинна дорівнювати 360о. Якщо чотирикутник матиме три прямих кути і один гострий, то їх сума буде меншою за 360о, що не можливо. Тому такого чотирикутника побудувати не можна.♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *