Вписані й описані чотирикутники

Приклад 

Чи можна описати коло навколо чотирикутника АВСD, якщо:

1) ∠ А = 33о, ∠ С = 137о;

2) ∠ В = 69о, ∠ D = 111o.

♦ За теоремою, навколо чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180о. Перевіримо чи виконується ця умова для кожного випадку.

1) ∠ А + ∠ С = 33о + 137о = 170о, значить, навколо такого чотирикутника не можна описати коло;

2) ∠ В + ∠ D = 69о + 111o = 180о, значить, навколо такого чотирикутника можна описати коло. ♦

Приклад 

Три кути чотирикутника, вписаного в коло, взяті по порядку слідування, відносяться як 2 : 6 : 7. Знайдіть кути чотирикутника.

♦ За властивістю кутів чотирикутника вписаного в коло, сума двох протилежних кутів дорівнює 180о. Нехай задані кути чотирикутника відповідно дорівнюють 2х, 6х та 7х. Тоді: 2х + 7х = 180о ⇒ х = 20о. А отже, кути чотирикутника відповідно дорівнюють: 40о, 120о, 140о та 180о – 120о = 60о.♦

Приклад 

Основи трапеції, у яку можна вписати коло, дорівнюють 7 см і 9 см. Знайти периметр трапеції.

♦ Якщо трапецію можна описати навколо кола, то сума її протилежних сторін однакова (за теоремою про описані чотирикутники). Тоді сума основ дорівнює сумі бічних сторін, тобто 7 + 9 = 16 (см). Периметр – це сума всіх сторін трапеції, звідси Р = 16 + 16 = 32 (см) ♦

Приклад 

Коло, вписане в рівнобічну трапецію, поділяє його точкою дотику на відрізки, довжина більшого з яких дорівнює 8 см. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо її периметр дорівнює 60 см.

♦ Вписані й описані чотирикутники

CD + AB = BC + AD = P : 2 (за теоремою про описані чотирикутники).

Нехай відрізок СК = х, тоді:

АВ + CD = 8 + х + 8 + х = 30,

16 + 2х = 30,

2х = 14,

х = 7.

Розглянемо Δ СОК (∠ К = 90о, оскільки радіус перпендикулярний до дотичної в точці дотику, ОК – радіус вписаного кола):

СО2 = ОК2 + СК2 (за теоремою Піфагора), СО2 = ОК2 + 49 = r2 + 49.

Розглянемо Δ СОМ (∠М = 90о, ОМ = r):

СМ2 = СО2 – ОМ2 = 49 + r2 – r2 = 49,

СМ = 7 см.

Отже, ВС = 2СМ = 2·7 = 14 см. ♦

Приклад 

Рівнобічну трапецію, один з кутів якої дорівнює 72о, вписано в коло. Кут між діагоналями трапеції, що лежить проти бічної сторони, дорівнює 36о. Знайдіть положення центра кола, описаного навколо трапеції, відносно трапеції.

♦ Вписані й описані чотирикутники

∠С = 180о – ∠ А = 180о – 72о = 108о

∠ ВСК = (180о – 144о) : 2 = 36о : 2 = 18о

∠ АСD = 108о – 18о = 90о 

∠ АСD – вписаний ⇒ АD – діаметр ⇒ центр кола є серединою більшої основи.♦

 

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *