Комбінації геометричних тіл

Приклад

Основою прямої призми є трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см. Висота призми дорівнює 24 см. Знайти радіус кулі, описанної навколо цієї призми.

♦ Комбінації геометричних тілСторони основи призми пропорційні числам 3, 4 і 5, а значить трикутник з такими сторонами є єгипетським трикутником, а отже, прямокутним. Тому АВ та А1В1 є діаметрами кіл, описаних навколо них з центрами О1 та О2. Тоді О1 – середина АВ, О2 – середина А1В1.

Центр кулі лежить на прямій О1О2 і рівновіддалена від точок А, В, А1 і В1. Звідси, О – точка перетину діагоналей АВ1 та А1В прямокутника АА1В1В.

Із трикутника ОО1В: 

 OB = \sqrt{OO_{1}^{2}+O_{1}B^{2}}= \sqrt{\left(\frac{1}{2}O_{1} O_{2}\right)^{2}+O_{1}B^{2}}=

 =\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13 (см). ♦ 

Приклад

У конусі твірна l утворює з основою кут α. Знайдіть радіуси вписаної та описаної куль.

♦ Для більшої наглядності зобразимо осьові перерізи вписаної та описаної навколо конуса куль. Комбінації геометричних тіл1) Нехай SAB – осьовий переріз конуса, вписаного в кулю з центром О.

За наслідком з теореми синусів для ΔSAB: 

 \frac{BS}{sin \; SAB}=2R ;

 \frac{l}{sin\alpha }=2R ;

 R=\frac{l}{2sin\alpha } .

2) Нехай SAB – осьовий переріз конуса, описаного навколо кулі з центром О.

О – центр кола, вписаного в ΔSAB.

Отже, точка О – точка перетину бісектрис.

Побудуємо SK – перпендикуляр до АВ, О ∈ SK.

Із Δ ASK: AK = AS · cosα = l·cosα.

Із Δ АКО: (∠К = 900):  OK=r=AK\cdot tg\frac{\alpha }{2}=l\cdot cos\alpha \cdot tg\frac{\alpha }{2} .

Приклад

Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює b і утворює з висотою піраміди кут β. Знайти площу поверхні сфери, описаної навколо даної піраміди.

♦ Комбінації геометричних тілО – центр квадрата АВСD.

Оскільки бічне ребро піраміди SB i перпендикуляр SO, проведений до її основи через центр кола, яке описане навколо основи, не є мимобіжними прямими, то центр сфери, описаної навколо даної піраміди, є точкоюю перетину серединного перпендикуляра до бічного ребра SB, проведеного в площині (SBO), із перпендикуляром SO. Нехай О1 – центр описаної сфери, тоді SO1 – радіус сфери. Комбінації геометричних тіл4πR2 = 4πO1S2.

Із прямокутного трикутника SOB (∠ О = 90о):

SO = SB cosβ = b cosβ.

Розглянемо прямокутні трикутники SKO1 i SOB. У них спільний ∠ S. Отже, Δ SKO1 ∼ Δ SOB (за двома кутами), тому: 

 \frac{SK}{SO}=\frac{SO_{1}}{SB} ;

  \frac{b}{2bcos\beta }=\frac{SO_{1}}{b};

 SO_{1}=\frac{b^{2}}{2bcos\beta }=\frac{b}{2cos\beta } ;

 S=4\pi \left(\frac{b}{2cos\beta } \right)^{2}=\frac{\pi b^{2}}{cos^{2}\beta } ♦ 

Приклад

Кут між площиною основи і бічною гранню правильної чотирикутної піраміди дорівнює φ. Площа поверхні сфери, вписаної в піраміду, дорівнює S. Знайти площу бічної поверхні піраміди.

♦ Комбінації геометричних тілSO – перпендикуляр до площини основи піраміди, О – центр вписаного і описаного навколо квадрата АВСD кола. Побудуємо SK – перпендикуляр до сторони основи AD, тоді за теоремою про три перепендикуляри ОК – перпендикуляр до AD.

Оскільки AD – пряма перетину площин (SAD) i (ABC), SK ⊂(SAD), ОК ⊂ (ABC), SK i OK – перпендикулярні до AD, то ∠SKO – кут між площиною основи та бічною гранню піраміди.

За умовою задачі ∠SKO = φ.

Оскільки вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної сфери розміщений у точці перетину висоти піраміди і бісектриси лінійного кута двогранного кута при її основі.  

Нехай O1 – центр вписаної сфери, тоді ОО1 – радіус цієї сфери. Комбінації геометричних тілЗа умовою задачі  4\pi \cdot O_{1}O^{2}=S ;

 O_{1}O=\sqrt{\frac{S}{4\pi }}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi }} .

Із Δ КОО1 (∠О = 900):  KO=OO_{1}\cdot ctg\frac{\varphi }{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\pi }}\cdot ctg\frac{\varphi }{2} .

 AB=2KO=\sqrt{\frac{S}{\pi }}\cdot ctg\frac{\varphi }{2} ;

 S_{o}=AB^{2}=\frac{S}{\pi }ctg^{2}\frac{\varphi }{2} ;

 S_{6.n.}=\frac{S_{o}}{cos\varphi }=\frac{S\cdot ctg^{2}\frac{\varphi }{2}}{\pi cos\varphi }  .

Приклад

Об’єм конуса дорівнює V. У конус вписана піраміді, в основі якої лежить рівнобедрений трикутник із кутом α при вершині. Знайти об’єм піраміди.

♦ Комбінації геометричних тілЗа умовою задачі об’єм конуса дорівнює V, тобто: 

 \frac{\pi R^{2}H}{3}=V;\; H = \frac{3V}{\pi R^{2}} .

Нехай АВ = ВС = а, тоді  S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}a^{2}sin\alpha .

За наслідком із теореми синусів:  \frac{BC}{sin(90^{0}-\alpha )}=2R ;

 \frac{BC}{cos\frac{\alpha }{2}}=2R ;

 R=\frac{a}{2cos\frac{\alpha }{2}} ;

 H=\frac{3V}{\pi \left(\frac{a}{2cos\frac{\alpha }{2}} \right)^{2}}=\frac{12Vcos^{2}\frac{\alpha }{2}}{\pi a^{2}} ;

 V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}a^{2}sin\alpha \frac{12V^{2}cos^{2}\frac{\alpha }{2}}{\pi a^{2}}=\frac{2Vcos^{2}\frac{\alpha }{2}sin\alpha }{\pi }  . ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *