Многогранники

Приклад

Знайдіть площу повної поверхні правильної чотирикутної призми, якщо:

1) діагональ призми дорівнює  \sqrt{34} м, а діагональ бічної грані – 5м; 2) сторона основи призми дорівнює 3 м, а діагональ бічної грані – 5 м.

призма, правильна чотирикутна призма, площа повної поверхні правильної чотирикутної призми
  1. Дано:  ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} – чотирикутна призма; ABCD – квадрат;  B_{1}D=\sqrt{34} м;  C_{1}D м. Знайти:  S_{n.n.} .
Розв’язання:  S_{n.n.}=S_{6.n.}+2S_{oc.} , де  S_{6.n.}=4S_{6.} ,  S_{oc.}=S_{ABCD} . Розглянемо  \Delta B_{1}C_{1}D\; (<C_{1}=90^{0}) :  B_{1}D^{2}=B_{1}C_{1}^{2}+C_{1}D^{2} ;  \sqrt{34}^{2}=B_{1}C_{1}^{2}+25 ;  B_{1}C_{1}^{2}=34-25 ;  B_{1}C_{1}^{2}=9 ;  B_{1}C_{1}=3 (м). Отже,  AB=B_{1}C_{1}=3 м, звідси  S_{ABCD}=AB^{2}=3^{2}=9 . Значить,  S_{oc.}=9 \; m^{2} . Розглянемо  \Delta CC_{1}D\: (<C=90^{0},\: C_{1}D=5\: m,\: CD=3\: m) .  C_{1}D^{2}=CD^{2}+CC_{1}^{2} ;  5^{2}=3^{2}+C_{1}C^{2} ;  C_{1}C^{2}=25-9 ;  C_{1}C^{2}=16 ;  C_{1}C=4 (м);  S_{6.}=S_{CDD_{1}C_{1}}=CD\cdot CC_{1} ;  S_{CDD_{1}C_{1}}=3\cdot 4=12\; (m^{2})\Rightarrow S_{6.}=12\: m^{2} . Отже,  S_{n.n.}=4\cdot 12+2\cdot 9=48+18=66\: (m^{2}) . Відповідь:  S_{n.n.}=66\: m^{2} .
призма, правильна, чотирикутна, площа поверхні, правильная, четырехугольная призма
2) Дано:  ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} – чотирикутна призма; АВСD – квадрат; АВ = 3 м;  A_{1}B = 5 м. Знайти:  S_{n.n.} . Розв’язання:  S_{n.n.}=4S_{6.}+2S_{oc.} ;  S_{6.}=S_{AA_{1}B_{1}B}=AB\cdot AA_{1} ;  S_{oc.}=S_{ABCD}=AB^{2} . Розглянемо  \Delta AA_{1}B\: (<A=90^{0}): :  A_{1}B^{2}=AB^{2}+AA_{1}^{2} ;  5^{2}=3^{2}+AA_{1}^{2} ;  25=9+AA_{1}^{2} ;  AA_{1}^{2}=16 ;  AA_{1}=4 (м). Отже,  S_{AA_{1}B_{1}B}=3\cdot 4=12\: (m^{2}) ;  S_{ABCD}=3^{2}=9\: (m^{2}) . Тобто,  S_{6.}=12\: m^{2} ,  S_{oc.}=9\: m^{2} , значить:  S_{n.n.}=4\cdot 12+2\cdot 9=48+18=66\: (m^{2}) . Відповідь:  S_{n.n.}=66\: m^{2} .

Приклад

Знайти площу повної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо:

1) бічне ребро дорівнює 12 см і утворює з висотою кут  30^{0} ; 2) апофема піраміди дорівнює 6 см і нахилена до площини основи під кутом  45^{0}  .

Многогранники
  1. Дано: піраміда ABCS;  \Delta ABC – рівносторінній; BS = 12 см;  < BSO = 30^{0} ; Знайти:  Sn.n.

Розв’язання:

 S_{n.n.}=S_{6.n.}+S_{oc.};  S_{6.n.}=3S_{\Delta ABS};  S_{oc.}=S_{\Delta ABC}. За формулою для обчислення площі правильного трикутника:  S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}\cdot AB^{2}}{4} . Точка О – це точка перетину медіан  \Delta ABC . Оскільки  \Delta ABC рівносторонній, то ВМ – висота, медіана та бісектриса. Значить:  MA=\frac{1}{2}AB ;  <BMA=90^{0} . Тоді з  \Delta ABM :  BM^{2}+AM^{2}=AB^{2} ;  BM^{2}+\frac{AB}{2}^{2}=AB^{2} ;  BM^{2}+\frac{AB^{2} }{4}=AB^{2} ;  BM^{2}=\frac{AB}{2}-\frac{AB^{2} }{4} ;  BM^{2}=\frac{3}{4}AB^{2}\Rightarrow BM=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\Rightarrow AB=\frac{2BM}{\sqrt{3}} . Знайдемо довжину ВМ. За властивістю медіан:  BO=\frac{2}{3}BM\Rightarrow BM=\frac{3}{2}BO . Відрізок ВО знайдемо з  \Delta BOS\; (<O=90^{0},\; <S=30^{0},\; BS = 12 cm) :  \frac{BO}{BS}=sin<S ;  \frac{BO}{12}=sin30^{0} ;  BO=12\cdot \frac{1}{2} ;  BO=6 (см). Тоді:  BM = \frac{3}{2}\cdot 6=9 (см), а значить   AB =\frac{2\cdot 9}{\sqrt{3}}=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}. Отже,  S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{4}=\frac{6\uplus 3}{4}=\frac{18}{4}=4,5(cm^{2}) . Тобто,  S_{oc.}=4,5(cm^{2}) . Знайдемо  S_{\Delta ABS} . Розглянемо  \Delta ABS:\; AS=BS=12 (см) (за умовою);  AB=6\sqrt{3} см. За формулою Герона:  S_{\Delta ABS}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-BS \right)\left(p-AS\right)} , де  p=\frac{AB+AS+BS}{2} .  p=\frac{6\sqrt{3}+12+12}{2}=3\sqrt{3}+6+6=12+3\sqrt{3} .  S_{\Delta ABS}= \sqrt{\left(12+3\sqrt{3} \right)\left(12+3\sqrt{3}-6\sqrt{3} \right)}\cdot \cdot \sqrt{\left(12+3\sqrt{3}-12 \right)\left(12+3\sqrt{3} -12\right)}=    =\sqrt{\left(12+3\sqrt{3} \right)\left(12-3\sqrt{3} \right)3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}}=  =\sqrt{\left(12^{2}-\left(3\sqrt{3} \right)^{2} \right)\cdot 27}=  =\sqrt{\left(144-27 \right)\cdot 27}=\sqrt{117\cdot 27}=  =\sqrt{9\cdot 13\cdot 3\cdot 9}=9\sqrt{39}\: (cm^{2}) . Отже,  S_{\Delta ABS}=9\sqrt{39}\; cm^{2} ;  S6.n.=3\cdot 9\sqrt{39}=27\sqrt{39}\; (cm^{2}) ;  S_{n.n.}=27\sqrt{39}+4,5\; cm^{2} .
Многогранники
2. Дано: ABCS – піраміда;  \Delta ABC – рівносторонній; SK – апофема; SK = 6 см;  <SKB=45^{0} . Знайти:  S_{n.n.} . Розв’язання:  S_{n.n.}=S_{6.n.}+S_{oc.} ;  S_{6.n.}=3S_{\Delta ABS} ;  S_{oc.}=S_{\Delta ABC} . Знайдемо сторону основи піраміди. Оскільки  \Delta ABC рівносторонній, то ВК – висота і медіана, а значить  AK=\frac{1}{2}AB . Тоді з  \Delta ABK :  BK^{2}+AK^{2}=AB^{2} ;  BK^{2}+\left(\frac{AB}{2} \right)^{2}=AB^{2} ;   BK^{2}=AB^{2}-\frac{AB^{2}}{4} ;  BK^{2}=\frac{3}{4}AB^{2}\Rightarrow BK=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\Rightarrow AB=\frac{2BK}{\sqrt{3}} Визначимо довжину ВК. Оскільки т. О – це точка перетину медіан, то за властивістю медіан:  OK=\frac{1}{3}BK\Rightarrow BK=3OK Розглянемо  \Delta OSK:<O=90^{0},<K=45^{0} , SK = 6 см.  \frac{OK}{SK}=cos<K;  \frac{OK}{6}=cos45^{0};  OK=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2};  OK=3\sqrt{2} Тоді:  BK=3\cdot 3\sqrt{2}=9\sqrt{2} (см). Звідси ,  AB=\frac{2\cdot 9\sqrt{2}}{3}=6\sqrt{2} (см).  S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^{2} (за формулою площі для рівностороннього трикутника)  S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \left(6\sqrt{2} \right)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36\cdot 2=18\sqrt{3} Тобто,  S_{oc.}=18\sqrt{3}\; cm^{2} . Знайдемо  S_{\Delta ACS} :  S_{\Delta ACS}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot SK\; \left(AC=AB \right); ;  S_{\Delta ACS}=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 6=18\sqrt{2}\; (cm^{2}). . Тобто,  S_{\Delta ACS}=18\sqrt{2}\; cm^{2}. , а значить  S_{6.n.}=3\cdot 18\sqrt{2}=54\sqrt{2}\; (cm^{2}) . Маємо:  S_{n.n.}=54\sqrt{2}+18\sqrt{3}=18\left(3\sqrt{2}+\sqrt{3} \right)\; \left(cm^{2} \right) .

Приклад

Обчисліть об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони його основи дорівнюють 3 см і 7 см, а діагональ однієї з бічних граней – 5 см.

♦ Многогранники Об’єм прямокутного паралелепіпеда обчислюється за формулою V = abc = AD·DC·DD1. Знайдемо ребро DD1 із трикутника ADD1 за теоремою Піфагора:  DD_{1}=\sqrt{AD_{1}^{2}-AD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25-9}=4 . А отже, об’єм паралелепіпеда V = 3·7·4 = 84 см3.♦

Приклад

Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом β. Кут між стороною основи та діагоналлю основи дорівнює α. Знайти об’єм паралелепіпеда.

♦ МногогранникиЗ прямокутного трикутника D1DB (∠D = 90o) знайдемо DD1 i DB: 

DD1 = d·sinα;

DB = d·cos β.

Оскільки діагоналі прямокутника рівні, то DB = AC = d·cos β.

Із прямокутного трикутника АВС (∠ В = 90о ) знайдемо АВ і ВС: АВ = АС·cosα = d·cosβ·cosα; BC = AC·sinα = d·cosβ·sinα. So = AB·BC = d cosβ cosα·d cosβ sinα = 0,5dcos2β sin2α.

V=So·H = So·DD1 = 0,5d2 cos2β sin2α·dsinβ = 0,25 dsin2α sin2β cosβ.♦

Приклад

Знайти висоту призми, якщо її об’єм дорівнює 150 см3, а площа основи 10 см2.

♦ Об’єм призми обчислюється за формулою V = Sосн.· h. Виразимо висоту через об’єм та площу основи: h  = V : Sосн.. Тому h = 150 : 10 = 15 см.♦

Приклад

Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює 48 см2, а площа повної поверхні – 66 см2. Знайти об’єм призми.

♦ Оскільки призма є правильною чотирикутною, то в її основі лежить квадрат.

Sп = Sб +2Sосн. = P·H + 2a2;

48 + 2a2 = 66;

2a2 = 66 – 48;

a2 = 9; a = 3.

P = 4a = 4·3 = 12 (см);  

12·Н = 48;

Н = 48 : 12 = 4 (см); V = So · H = a2 · H = 9 · 4 = 36 (cм3).♦

Приклад

Обчислити площу повної поверхні куба, якщо його ребро а = 5 см.

♦ Формула для обчислення площі повної поверхні куба S = 6a2, тому S = 6·52 = 6·25 = 150 см2

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *