Розв’язування трикутників

Приклад 

Розв’яжіть прямокутний трикутник АВС (∠С = 90о) за відомими елементами:

1) АВ = 18 см, ∠А = 44о;

2) АС = 12 см, ∠А = 57о;

3) ВС = 11 см, ∠А = 68о;

4) АВ = 14 см, АС = 8 см;

5) АС = 14 см, ВС = 8 см.

♦ Розв’язати трикутник означає знайти всі його невідомі елементи.

1) Розв'язування трикутниківНевідомими елементами в даному випадку є катети ВС та АС і ∠В.

Оскільки сума всіх кутів трикутника дорівнює 180о, то ∠В = 180о – ∠С – ∠А = 180о – 90о – 44о = 46о.

sin ∠А = ВС : АВ ⇒ ВС = sin ∠А· АВ = sin 44o · 8 ≈ 0,69 · 8 = 5,52 (см).

sin ∠В = АС : АВ ⇒ АС = sin ∠В· АВ = sin 46o · 8 ≈ 0,72 · 8 = 5,76 (см).

2) Розв'язування трикутниківАналогічно до попереднього випадку, визначаємо невідомі елементи трикутника. 

∠В = 180о – ∠С – ∠А = 180о – 90о – 57о = 33о.

cos ∠А = AС : АВ ⇒ АВ = AС : cos ∠А = 12 : cos 57o  ≈ 12 : 0,5 = 24 (см).

cos ∠В = BС : АВ ⇒ BС = cos ∠В· АВ = cos 33o · 24 ≈ 0,84 · 24 = 20,16 (см).

3) Розв'язування трикутників ∠В = 180о – ∠С – ∠А = 180о – 90о – 68о = 22о

sin ∠А = ВС : АВ ⇒ АВ = ВС : sin ∠А = 11 : sin 68o  ≈ 11 : 0,93 ≈ 11,8 (см). 

sin ∠В = АС : АВ ⇒ АС = sin ∠В· АВ = sin 22o · 11,8 ≈ 0,37 · 11,8 = 4,4 (см).

4) Розв'язування трикутників 

cos ∠A = АС : АВ = 8 : 14 ≈ 0,5714 ⇒ ∠A ≈ 55о.  

∠В = 180о – ∠С – ∠А = 180о – 90о – 55о = 35о

tg ∠В = АС : ВС ⇒ ВС = АС : tg ∠В = 8 : tg 35o ≈ 8 : 0,7 ≈ 11,4 (см).

5) Розв'язування трикутниківsin ∠ A = BC : AB ⇒ sin ∠ A = 8 : 14 ≈ 0,5714 ⇒ ∠ A ≈ 35о

∠ В = 55о, АС = 11, 4 см. ♦

Приклад 

У трикутнику MNK знайдіть сторону МК, якщо NK = 7 дм,  NM = 2√2 дм, ∠ N = 45о.

♦ Розв'язування трикутниківЗа теоремою косинусів МК2 = MN2 + KN– 2 MN·KN·cos ∠N ⇒ МК2 = 72 + (2√2)2 – 2·7·2√2 · cos 45o = 49 + 8 – 28 = 29 ⇒ MK = √29 дм.♦

Приклад 

Визначте вид трикутника АВС, якщо ∠А = 60о, АВ = 5 м, ВС = 7 м. 

♦ Розв'язування трикутників

Щоб визначити вид трикутника, потрібно знайти всі його кути. Використаємо теорему синусів.  \frac{BC}{sin A} = \frac{AB}{sin C}  

 \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{sinC}

sinC=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}\approx \frac{5\cdot 1,7}{14}\approx 0,6   ⇒ ∠ C = 37o.

Тоді ∠ В = 180о – ∠ А – ∠ С = 180о – 60о – 37о = 83о.

Оскільки всі кути трикутника гострі, то такий трикутник є гострокутним.♦

Приклад 

У рівнобедерному трикутнику АВС кут В дорівнює 120о. Радіус кола, описаного навколо цього трикутника, дорівнює 2√3 см. Знайдіть сторону АС.

♦ Розв'язування трикутниківРозв’язання:

За властивістю кутів при основі рівнобедереного трикутника та за теоремою при суму кутів трикутника: ∠А = ∠С = (180о -120о) : 2 = 30о.

За наслідком з теореми синусів:

  \frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=2R ,

 \frac{AB}{sin30^{o}}=2\cdot 2\sqrt{3} ,

AB=4\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{3}  ,

 BC=AB=2\sqrt{3} .

За теоремою косинусів: 

 AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot cosB ,

 AC^{2}=\left(2\sqrt{3} \right)^{2}+\left(2\sqrt{3} \right)^{2}-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\cdot cos120^{o} ,

 AC^{2}=4\cdot 3+4\cdot 3-8\cdot 3\cdot \left(-\frac{1}{2} \right) ,

 AC^{2}=24+12 ,

 AC^{2}=36 ,

 AC=6 см.♦

Приклад 

Знайдіть кути паралелограма АВСD, якщо його сторона АВ дорівнює 5√2 см, а діагональ АС, що дорівнює 5√3 см, утворює з основою AD кут 45о.

♦ Розв'язування трикутниківРозв’язання:

За властивістю кутів паралелограма: ∠В = ∠D, ∠А = ∠С = 180о – ∠В.

Розглянемо Δ АСD. За теоремою синусів: 

 \frac{CD}{sinA}=\frac{AC}{sinD}  

 \frac{5\sqrt{2}}{sin45^{o}}=\frac{5\sqrt{3}}{sinD}  

 sinD=\frac{5\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}

 ∠ D = 60o.

Тоді ∠B = ∠D = 60o, ∠A = ∠C = 180o – 60= 120o.♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *