Основні поняття стереометрії

Приклад

Довести, що якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої площини. 

♦ Основні поняття стереометрії

Нехай  a\perp \alpha . Тоді а перпендикулярна до будь-якої прямої, що належить площині α. Нехай b∈α,  a\perp b  та c∈α,  a\perp c .

За теоремою про паралельність площин, існує така пряма b1|| b, b1∈β та с1||c, c1∈β, де b1 i c1 перетинається.

За теоремою про перпендикулярність прямої до двох паралельних прямих:

якщо  a\perp b , b1|| b ⇒  a\perp b_{1} ;

якщо  a\perp c , с1||c ⇒  a\perp c_{1} .

Тому пряма а перпендикулярна двом прямим b1 та с1, що перетинаються і належать площині β.

За теоремою про перпендикулярність прямої і площини  a\perp \beta , що і треба було довести. ♦

Приклад

Дано куб ABCDA1B1C1D1 з ребром √2 см. Знайти відстань між прямими АС1 та ВВ1.


Основні поняття стереометрії
Розв’язання

♦ АС1 та ВВ1 – мимобіжні прямі (лежать в різних площинах і не перетинаються).

Відстанню між мимобіжними прямими є їх спільний перпендикуляр.

АС1 – похила, АА1 – проекція АС1 на (АА1В). АА⊥ АВ (оск. це ребра куба) ⇒ АС1 ⊥ АВ (за теоремою про три перпендикуляри) АВ ⊥ ВВ1 (як ребра куба).

Оскільки АВ⊥ВВ1, АВ ⊥ АС1, то АВ – спільний перпендикуляр до АС1 та ВВ1, а значить відстань між цими прямими.

Тому АВ = √2 см. ♦

Приклад

Дано дві перпендикулярні площини. З точки А, що не належить площинам, проведено перпендикуляри до кожної з них, довжина яких дорівнює 1см і √3 см. Знайти відстань від точки А до прямої перетину площин.


Основні поняття стереометрії

 

Розв’язання

♦  Відстанню від точки до прямої є перпендикуляр, опущений з цієї точки на задану пряму.

АD – похила, СD – проекція AD на α.

СD ⊥ l ⇒ AD ⊥ l (за теоремою про три перпендикуляри). Тому, АD – шукана відстань.

З Δ ACD: AD2 = AC2 + CD2 (CD = AB)

AD2 = √32 + 12 = 4

AD = 2 (cм)♦

Приклад

Дано правильний трикутник ABC. З точки S проведено перпендикуляр в центр трикутника – точку О. Знайти відстань від точки S до сторони трикутника, якщо SO = √3 см, АО = 2 см.

Основні поняття стереометрії
♦ Відстанню від точки S до сторони АВ трикутника АВС є перпендикуляр, проведений з т. S до сторони АВ, тобто відрізок SK (Оскільки ΔАВС правильний, то SK – медіана і висота; SK – похила, ОК – проекція SK на (АВС); за теоремою про три перпендикуляри ОК перпендикуляр до АВ ⇒ SK – перпендикуляр до АВ).

Оскільки ΔАВС правильний, то АМ = СК.  OK=\frac{1}{3}CK=\frac{1}{3}AM  (за властивістю медіан).

АО = 2 см ⇒ АМ = 3 см. Тобто ОК = 1 см.

З ΔOSK:  SK^{2}=OS^{2}+OK^{2}=\sqrt{3}^{2}+1^{1}=3+1=4 , SK = 2 см. ♦

Приклад

Дано куб ABCDA1B1C1D1 з ребром 10 см. Знайти відстань між прямими AD і СС1.

♦ AD i CC1 – мимобіжні прямі (лежать в різних площинах і не перетинаються). Відстанню між мимобіжними прямими є довжина їх спільного перпендикуляра.

Оскільки ABCDA1B1C1D1 – куб, то CD перпендикуляр до AD і СС1 (як ребра куба).

Значить CD – відстань між AD i CC1. Тому CD = 10 см. ♦

Приклад

Задано прямокутний паралелепіпед АВСDA1B1C1D1.

Основні поняття стереометрії

Вказати взаємне розміщення прямих:

а) АВ і C1D1;         б) АD і СC1;

в) ВВ1 і BC;              г) АС і B1D1

♦ а) АВ і C1D1 – паралельні (протилежні сторони прямокутника АВС1D1) ;        

 б) АD і СC1 – мимобіжні;

в) ВВ1 і BC – перпендикулярні (суміжні сторони грані ВСС1В1);            

г) АС і B1D– мимобіжні (діагоналі протилежних граней). ♦

Приклад

На рисунку зображено куб з ребром а. Знайдіть відстань між прямими MN i PK.

Основні поняття стереометрії♦ Відстань між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.

а) Спільним перпендикуляром прямих MN і PK є відрізок KN. Тому відстань між прямими MN і PK дорівнює a.

б) Основні поняття стереометріїСпільним перпендикуляром прямих MN і PK є відрізок NO. NO – половина сторони квадрата, тому відстань між прямими MN і PK дорівнює 0,5а.♦

Приклад

Основа й висота рівнобедреного трикутника дорівнюють 4 см. Дана точка розміщена на висоті 6 см від площини трикутника і на однаковій відстані від його вершин. Знайти цю відстань.

♦ Основні поняття стереометріїDO – перпендикуляр до (АВС), DO = 6 см, AD = BD = CD. Оскільки DO перпендикулярний до (АВС), то трикутники AOD, BOD і COD – прямокутні. У них рівні гіпотенузи і спільний катет DO. Тому: Δ AOD = Δ BOD = Δ COD (за катетом і гіпотенузою).

Отже, АО = ОВ = ОС (як відповідні сторони рівних трикутників). Звідси точка О – центр кола описаного навколо трикутника АВС.

Оскільки центр описаного кола є точкою перетину серединних перпендикулярів, то О ∈ СК.

З прямокутного Δ СКА за теоремою Піфагора АС2 = СК2 + АК2;

АС2 = 42 + 2= 16 + 4 = 20, АС = √20 = 2√5.

  sinA=\frac{CK}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}} .

За наслідком із теореми синусів  \frac{BC}{sinA}=2R;\; \frac{2\sqrt{5}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=2R

 \frac{10}{2}=2R;\; 5=2\sqrt{R};\; R=\frac{5}{2}=2,5 .

Отже, АО = ВО = СО = 2,5. Із прямокутного трикутника АОD (∠ О = 90о ) за теоремою Піфагора AD= AO2 + DO2; AD2 = 2,52 + 62; AD2 = 42,25; AD = √42,25 = 6,5 (см).♦

Приклад

Один із катетів прямокутного трикутника АВС дорівнює а, а гострий кут прилеглий до цього катета, дорівнює α. Через вершину прямого кута С проведено пряму СD, перпендикулярну до площини трикутника, СD = b. Знайдіть відстань від точки D до прямої АВ.

♦ Основні поняття стереометріїОскільки CD – перпендикуляр до (ABC), то CK – проекція похилої DK на площину (ABC). Так як АВ перпендикулярний до похилої DK, то за теоремою про три перпендикуляри АВ також перпендикулярний і СК.

Розглянемо трикутник СВК: ∠ К = 90о, СК = а· sin α.

Оскільки СD – перпендикулярний до (АВС), то він перпендикулярний до будь-якої прямої, що належить цій площині, а отже, CD – перпендикуляр до СК. Звідси, Δ DCK – прямокутний. За теоремою Піфагора: DK2 = CD2 + CK2; DK2 = b2 + a2sin2α;   DK= \sqrt{b^{2}+a^{2}sin^{2}\alpha }.♦

Приклад

Із точки , взятої поза площиною, проведено дві похилі, що дорівнюють 37 см і 13 см. Довжини проекцій цих похилих відносяться як 7:1. Знайти відстань від даної точки до даної площини. 

♦ Основні поняття стереометріїЗа умовою АО:ВО = 7:1, тому АО = 7х, ВО = х. Оскільки, МО – відстань від точки до площини, то МО – перпендикуляр до α, а значить Δ АОМ і Δ ВОМ – прямокутні. За наслідком із теореми Піфагора:

МО2 = АМ2 – АО2 (з Δ АОМ), 

МО2 = МВ2 – ОВ2 (з Δ ВОМ).

Звідси:  АМ2 – АО= МВ2 – ОВ2 ⇒ 372 – 49х2 = 132 – х2 ⇒ 48х2 = 1200 ⇒ х2 = 25 ⇒ х1 = 5, х2 = -5 (не задовольняє умову задачі, оскільки довжина відрізка не може бути від’ємним числом). Тому: МО2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144; МО = 12 (см).♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *