Тіла обертання

Приклад

Трикутник, одна сторона якого дорівнює с, а прилеглі кути α і β, обертається навколо даної сторони. Знайти об’єм і площу поверхні тіла обертання. 

♦ Тіла обертанняНехай V1 i S1 – об’єм і площа бічної поверхні верхнього конуса; 

V2 i S2 – об’єм і площа бічної поверхні нижнього конуса. 

 V_{1}=\frac{1}{3}\pi \cdot CO^{2}\cdot AO ;

 V_{2}=\frac{1}{3}\pi \cdot CO^{2}\cdot BO ;

 V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\pi CO^{2}(AO+BO)=\frac{1}{3}\pi CO^{2}\cdot AB ;

 S_{1}=\pi CO\cdot AC ;

 S_{2}=\pi CO\cdot BC ;

 S=S_{1}+S_{2}=\pi CO(AC+BC) .

За теоремою синусів маємо:  \frac{AC}{sin\beta }=\frac{BC}{sin\alpha }=\frac{AB}{sin(180^{0}-(\alpha +\beta ))};

 \frac{AC}{sin\beta } = \frac{BC}{sin\alpha }= \frac{AB}{sin (\alpha +\beta )} ;

 AC=\frac{c\cdot sin\beta }{sin(\alpha +\beta )}; BC=\frac{c\cdot sin\alpha }{sin(\alpha +\beta )} .

Із Δ АОС (∠О = 90о):  CO=AC\cdot sin\alpha =\frac{c\cdot sin\beta \cdot sin\alpha }{sin(\alpha +\beta )} .

Отже,  V=\frac{1}{3}\pi \frac{c^{2}sin^{2}\beta \cdot sin^{2}\alpha }{sin^{2}(\alpha +\beta )}=\frac{1}{3}\pi \frac{c^{3}sin^{2}\beta sin^{2}\alpha }{sin^{2}(\alpha +\beta )} ;

 S=\pi \frac{c^{3}sin\beta sin\alpha }{sin(\alpha +\beta )}\left(\frac{csin\beta }{sin(\alpha +\beta )} +\frac{csin\alpha }{sin(\alpha +\beta )}\right)=

 =\pi \frac{csin\beta sin\alpha }{sin(\alpha +\beta )}\cdot \frac{c(sin\alpha +sin\beta )}{sin(\alpha +\beta )}=

 =\pi \frac{c^{2}sin\alpha sin\beta }{sin^{2}(\alpha +\beta )}(sin\alpha +sin\beta ) .♦

Приклад

Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють R і r (R > r), а твірна утворює з площиною основи кут α. Знайти площу бічної поверхні зрізаного конуса.

♦ Тіла обертанняНехай АО = r, ВО1 = R. Побудуємо АМ || ОО1.

Оскільки ОО1 перпендикулярний до площини основи зрізаного конуса, то відрізок АМ також перпендикулярний до площини основи зрізаного конуса. Отже, ВМ – проекція похилої АВ на площину основи. 

∠АВМ – кут між твірною АВ і площиною основи. За умовою задачі ∠АВМ = α. ВМ = ВО1 – АО = R – r.

Із ΔАВМ (∠М = 90о):  AB = \frac{BM}{cos\alpha }=\frac{R-r}{cos\alpha } .

 S=\pi \cdot AB(BO_{1}+AO)=\pi \frac{R-r}{cos\alpha }(R+r)=\pi \frac{R^{2}-r^{2}}{cos\alpha } .♦

Приклад

У циліндрі площа перерізу, перпендикулярного твірній, дорівнює S, а площа осьового перерізу дорівнює Q. Знайти площу повної поверхні і об’єм даного циліндра.

♦ Тіла обертанняABCD – осьовий переріз даного циліндра, АО = R, АВ = Н .

Переріз циліндра площиною, перпендикулярною твірній, є круг, площина якого паралельна основам циліндра. Отже, площа цього перерізу дорівнює площі основ циліндра.

За умовою задачі:  \left\{\begin{matrix} \pi R^{2}=S,\\ 2RH=Q; \end{matrix}\right.

 R^{2}=\frac{S}{\pi },\; R=\sqrt{\frac{S}{\pi }},\; 2\sqrt{\frac{S}{\pi }}\cdot H=Q;\; H=\frac{Q}{2}\cdot \sqrt{\frac{\pi }{S}}

Sп.п. = Sб.п. + 2Sосн. = 2πRH + 2πR2 = 2πR (H + R) = 

=  2\pi \sqrt{\frac{S}{\pi }}\left(\frac{Q}{2}\sqrt{\frac{\pi }{S}}+\sqrt{\frac{S}{\pi }} \right)=\pi Q+2S

 V=\pi R^{2}\cdot H=\pi \cdot \frac{S}{\pi }\cdot \frac{Q}{2}\cdot \sqrt{\frac{\pi }{S}}=\frac{Q}{2}\sqrt{\pi S} .♦

Приклад

Обчисліть площу осьового перерізу конуса, висота якого 6√3 см, а радіус основи – 2 см.

♦ Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник, висота якого дорівнює висоті конуса, а основа – діаметру основи конуса. Тіла обертанняТому площу осьового перерізу знайдемо за формулою площі трикутника через основу та висоту:  S = \frac{1}{2}\cdot 2R\cdot H=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} см2.♦

Приклад

Обчисліть об’єм циліндра, якщо радіус його основи 3 см, а висота 4 см.

 ♦ Формула для обчислення об’єму циліндра V  = Sосн.· h = πr2h. Тому V = π·32·4 = 36π ≈ 113,04 см3

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *