Вектори

Приклад

Знайдіть координати вектора

 \vec{AB} , якщо А(-5;6), В(2;-3)

♦ Для того, щоб знайти координати вектора, потрібно від координат його кінці відняти координати його початку, тобто:  \vec{AB}=(2-(-5);-3-6)=(7;-9) .♦

Приклад

Знайдіть координати векторів

 \vec{c}=2\vec{a}+3\vec{b} ,

 \vec{d}=-5\vec{a} ,

 \vec{e}=9\vec{b} ,

 \vec{f}=4\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{a} ,

якщо  \vec{a}=(5;-4) і  \vec{b}=(0;6)  .

♦   \vec{c}=2\vec{a}+3\vec{b}=2(5;-4)+3(0;6)=

 =(10;-8)+(0;18)=(10;10) ,

 \vec{d}=-5\vec{a}=-5(5;-4)=(-25;20) ,

 \vec{e}=9\vec{b}=9(0;6)=(0;54) ,

 \vec{f}=4\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{a}=4(0;6)-\frac{1}{3}(5;-4)=

 = (0;24)-(\frac{5}{3};-\frac{4}{3})=(-\frac{5}{3};24\frac{4}{3})=

 = (-1\frac{2}{3};25\frac{1}{3})  .♦

Приклад

Знайти модуль вектора

 \vec{MN}  , якщо M(2;4), N(-3;-6).

♦ Модуль вектора обчислюється за формулою 

 \left| \vec{MN}\right|=\sqrt{\left(x_{N}-x_{M} \right)^{2}+\left(y_{N}-y_{M} \right)^{2}} , тому  \left| \vec{MN}\right|=\sqrt{\left(-3-2\right)^{2}+\left(-6-4 \right)^{2}}= ,  =\sqrt{25+100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5} .♦

Приклад

Знайдіть вектор, що перпендикулярний заданому вектору 

 \vec{a}(2;-5) .

♦ Вектори є перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. Тому  \vec{b}=(5;2) є перпендикулярним до заданого, оскільки:  \vec{a}\cdot \vec{b}=(2;-5)\cdot (5;2)=10-10=0 .♦ 

Приклад

Знайти кут між векторами 

 \vec{a} і  \vec{b} , якщо  \left|\vec{a} \right|=\left|\vec{b} \right|=1 ,  (\vec{a}+2\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=-\frac{1}{2} .

♦ Кут між векторами обчислюється за формулою  cos\alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|} . Оскільки модулі векторів задані, то залишилось знайти скалярний добуток векторів. Визначимо його з другої умови 

 \vec{a}\cdot \vec{a}+2\vec{a}\vec{b}-\vec{a}\vec{b}-2\vec{b}\vec{b}=-\frac{1}{2} . Оскільки скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює 1, то

 1+\vec{a}\vec{b}-2=-\frac{1}{2}  

 \vec{a}\vec{b}-1=-\frac{1}{2}

 \vec{a}\vec{b}=-\frac{1}{2}+1

 \vec{a}\vec{b}=\frac{1}{2} .

Тому  cos\alpha =\frac{\frac{1}{2}}{1\cdot 1 }=\frac{1}{2} , а значить  \alpha =arccos\frac{1}{2}=60^{0} .♦

Приклад

Знайти

 |\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]| , якщо  \vec{a}\perp \vec{b} та  |\vec{a}|=1,\; |\vec{b}|=2 .

♦ Нехай  \vec{a}(a_{x};a_{y};a_{z}) ,  \vec{b}(b_{x};b_{y};b_{z}) .

Тоді:  2\vec{a}(2a_{x};2a_{y};2a_{z}) ,  3\vec{a}(3a_{x};3a_{y};3a_{z}) ,  2\vec{b}(2b_{x};2b_{y};2b_{z}) ,

 2\vec{a}-\vec{b}=(2a_{x}-b_{x};2a_{y}-b_{y};2a_{z}-b_{z})  3\vec{a}+2\vec{b}=(3a_{x}+2b_{x};3a_{y}+2b_{y};3a_{z}+2b_{z})

 |\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|=|\left(2a_{x}-b_{x} \right)\left(3a_{x}+2b_{x} \right)+  +\left(2a_{y}-b_{y} \right)\left(3a_{y}+2b_{y} \right)+\left(2a_{z}-b_{z} \right)\left(3a_{z}+2b_{z} \right)|=  =|6a_{x}^{2}-3a_{x}b_{x}+4a_{x}b_{x}-2b_{x}^{2}+6a_{y}^{2}-3a_{y}b_{y}+4a_{y}b_{y}-  -2b_{y}^{2}+6a_{z}^{2}-3a_{z}b_{z}+4a_{z}b_{z}-2b_{z}^{2}|=  =|6\left( a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}\right)+\left(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z} \right)-2\left(b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2} \right)| (*)

 |\vec{a}|=\sqrt{ a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}\Rightarrow a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}=|\vec{a}|^{2};  |\vec{b}|=\sqrt{ b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}\Rightarrow b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}=|\vec{b}|^{2};  \vec{a}\cdot \vec{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z};  \vec{a}\perp \vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0\Rightarrow a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0;

Підставимо отримані значення в рівність (*) і отримаємо:  |\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|=|6\cdot 1^{2}+0-2\cdot 2^{2}|=  =|6+0-8|=|-2|=2

Приклад

У трикутнику АВС задано координати вершини А (-1; -3)  та векторів 

 \vec{AB}(-3;2)   і  \vec{AC}(-1;1) . Знайти:

а) координати вершин В і С;

б) кут при вершині А;

в) рівняння висоти, проведеної з вершини В;

г) рівняння медіани, проведеної з вершини В;

Зробити рисунок.

♦ а)  x_{\vec{AB}}=x_{B}-x_{A},\; y_{\vec{AB}}=y_{B}-y_{A},\;

 x_{B}=x_{\vec{AB}}+x_{A},\;y_{B}=y_{\vec{AB}}+y_{A},\;

 x_{B}=-3-1=-4,\; y_{B}=2-3=-1\Rightarrow B(-4;-1)

 x_{\vec{AC}}=x_{C}-x_{A},\; y_{\vec{AC}}=y_{C}-y_{A},\;

 x_{C}=x_{\vec{AC}}+x_{A},\;y_{C}=y_{\vec{AC}}+y_{A},\;

 x_{C}=-1-1=-2,\; y_{C}=1-3=-2\Rightarrow C(-2;-2) .

б) Кут при вершині А – це кут між векторами  \vec{AB} та  \vec{AC} .

 cosA=\frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{\left| \vec{AB}\right|\cdot \left|\vec{AC} \right|}=\frac{-3\cdot (-1)+2\cdot 1}{\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}\cdot \sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}}=

 =\frac{3+2}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{26}}\approx \frac{5}{5,09}\approx 1\Rightarrow < A\approx 1^{0} .

в) Рівняння сторони АС – рівняння прямої, що проходить через точки А та С.

 \frac{x-x_{A}}{x_{C}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{C}-y_{A}}\Rightarrow

 \Rightarrow \frac{x+1}{-2+1}=\frac{y+3}{-2+3}\Rightarrow

 \Rightarrow x+1=-y-3,

 x+y+4=0. .

Отже, АС: х + у + 4 = 0.

Вектор нормалі цієї прямої  \vec{n}(1;1) можна взяти за напрямний вектор  \vec{u} висоти, проведеної з вершини В (-4;-1):

 \frac{x+4}{1}=\frac{y+1}{1},

 x+4=y+1,

 h:x-y+3=0. .

г) Знайдемо координати точки М – середини сторони АС.

 x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-1-2}{2}=-1,5;

 y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{-3-2}{2}=-2,5; .

Тобто М(-1,5; -2,5).

Запишемо рівняння медіани – рівняння прямої, що проходить через т. М та т. В.

 \frac{x-x_{B}}{x_{M}-x_{B}}=\frac{y-y_{B}}{y_{M}-y_{B}}; ;

 \frac{x+4}{-1,5+4}=\frac{y+1}{-2,5+1}; ;

 -1,5x-6=2,5y+2,5; ;

 -1,5x+2,5y-8,5=0,\; /:\left(-\frac{1}{2} \right) ;

 3x+5y+17=0. .

Отже, ВМ: 3х + 5у +17=0.

Зробимо малюнок.♦Вектори

Приклад

Задано точки їхніми координатами А(2; 4; 5), В(1; -2; 3), С(-1; -2; 4). Знайти:

а) координати вектора  \vec{a} , його напрямні косинуси та орт-вектор;

б) скалярний добуток  \vec{a}\cdot \vec{b} ;

в) проекцію вектора  \vec{c} на вектор  \vec{d} ;

г) кординати точки, що поділяє відрізок ВС у відношенні α:β,

якщо  \vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC},  \vec{b}=\vec{BC} ,  \vec{c}=\vec{BC} ,  \vec{d}=\vec{BA} , α:β = 1:1/

♦ a)  \vec{AC}=\left(x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A};z_{C}-z_{A} \right)=

 =\left(-1-2;-2-4;4-5 \right)=\left(-3;-6;-1 \right) ;

 \vec{AB}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A} \right)=

 =\left(1-2;-2-4;3-5 \right)=\left(-1;-6;-2 \right) ;

 3\vec{AB}=\left(-3;-18;-6 \right) ;

 4\vec{AC}=\left(-12;-24;-4 \right)

 \vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC}=\left(x_{3\vec{AB}}-x_{4\vec{AC}}; y_{3\vec{AB}}-y_{4\vec{AC}}; z_{3\vec{AB}}-z_{4\vec{AC}}\right)=

 =\left(-3+12;-18+24;-6+4 \right)=\left(9;6;-2 \right)

 \left|\vec{a} \right|=\sqrt{x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}=\sqrt{9^{2}+6^{2}+\left(-2 \right)^{2}}=

 =\sqrt{81+36+4}=\sqrt{121}=11

 \left|\vec{a} \right|=11 – модуль вектора  \vec{a}. Як обчислити модуль вектора можна переглянути тут.

Напрямні косинуси:  cos\alpha =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{9}{11} ;  cos\beta =\frac{y_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{6}{11} ;  cos\gamma =\frac{z_{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\frac{-2}{11} .

Як обчислювати скалярний добуток векторів можна переглянути тут.

Значить  \vec{a_{0}}=\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\left(\frac{9}{11};\frac{6}{11};-\frac{2}{11} \right) – орт вектора  \vec{a} .

б)  \vec{a}\cdot \vec{b}=?

 \vec{a}\left(9;6;-2 \right);

 \vec{b}=\vec{BC}=\left(x_{C}-x_{B};y_{C}-y_{B};z_{C}-z_{B} \right)=

 =\left(-1-1;-2+2;4-3 \right)=\left(-2;0;1 \right)

 \vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}=

 =9\cdot (-2)+6\cdot 0+(-2)\cdot 1=

 =-18+0-2=-20

 cos\varphi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|}=

 =\frac{-20}{11\cdot \sqrt{(-2)^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{5}}=-\frac{4\sqrt{5}}{11}\approx -0,81 ;

 \varphi =arccos\left(-0,81 \right)=\pi -arccos0,81=180^{0}-36^{0}=144^{0} .

в)  \vec{c}=\vec{BC}=\left(-2;0;1 \right) ;

 \vec{d}=\vec{BA}=\left(x_{A}-x_{B};y_{A}-y_{B};z_{A}-z_{B} \right)=

 =\left(2-1;4+2;5-3 \right)=\left(1;6;2 \right) ;

пр \frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\left|\vec{d} \right|}=\frac{\left(-2;0;1 \right)\left(1;6;2 \right)}{\sqrt{1^{2}+6^{2}+2^{2}}}=

 =\frac{-2+0+2}{\sqrt{1+36+4}}=\frac{0}{\sqrt{41}}=0 .

г)  x_{M}=\frac{x_{B}+\lambda x_{C}}{1+\lambda };

 y_{M}=\frac{y_{B}+\lambda y_{C}}{1+\lambda };  z_{M}=\frac{z_{B}+\lambda z_{C}}{1+\lambda };  x_{M}=\frac{1+1\cdot \left(-1 \right)}{1+1}=\frac{3}{2}=0;

 y_{M}=\frac{-2+1\cdot \left(-2 \right)}{1+1}=\frac{-4}{2}=-2;

 z_{M}=\frac{3+1\cdot 4}{1+1}=\frac{7}{2}=3,5

Отже, т. М (0; -2; 3,5).♦

Приклад

Знайти координати вершин трикутника В і С, якщо задано вершину А (-1; -3) та координати сторін

  \vec{AB}(-3;2), \vec{AC}(-1;1) .

♦ Використаємо формули координат вектора:  x_{\vec{AB}}=x_{B}-x_{A},  y_{\vec{AB}}=y_{B}-y_{A};  x_{\vec{AC}}=x_{C}-x_{A} ,  y_{\vec{AC}}=y_{C}-y_{A} . Підставивши значення,  які задані в умові, виразимо координати шуканих точок:  x_{B}=x_{\vec{AB}}+x_{A} ,  y_{B}=y_{\vec{AB}}+y_{A} ;  x_{B}=-3-1=-4 ,  y_{B}=2-3=-1 ⇒ В (-4; -1);   x_{C}=x_{\vec{AC}}+x_{A}  ,  y_{C}=y_{\vec{AC}}+y_{A} ;  x_{C}=-1-1=-2 ,  y_{C}=1-3=-2 ⇒ С (-2; -2). В і С – шукані точки.

Приклад

Знайти кут при веришині А трикутника АВС, якщо задано координати сторін

  \vec{AB}(-3;2), \vec{AC}(-1;1) .

Кут при вершині А – це кут між векторами  \vec{AB}(-3;2) та  \vec{AC}(-1;1) . Обчислюємо за формулою:

 cos A=\frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{\left|\vec{AB} \right|\cdot \left|\vec{AC} \right|}=

 =\frac{-3\cdot (-1)}{\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}\cdot \sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}}=

 =\frac{3+2}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{26}}\approx

 \approx \frac{5}{5,09}\approx 1 ⇒ ∠A ≈ 1o.

Як обчислити скалярний добуток векторів, можна переглянути тут

Приклад

Знайти скалярний добуток векторів, заданих своїми координатами

 \vec{a}=(-3;1), \vec{b}=(5;-4)

♦ Для обчислення скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами, використаємо формулу:

 \vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b} .

Підставивши задані координати векторів, отримаємо

 \vec{a}\cdot \vec{b}=-3\cdot 5+(-1)\cdot 4=-15-4=-19   ♦

 

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *