Приклад
Обчислити границю функції
♦
♦
Приклад
Обчислити границю:
♦
♦
Приклад
Обчислити границю
♦
.♦
Приклад
Обчислити границю
♦
.♦
Приклад
Перевірити чи має функція границю в точці (0; 0).
♦ Нехай точка (х; у) наближається до точки (0; 0) уздовж прямої у = k x. Якщо k ≠ -1, то . Помічаємо, що в досить малому околі точки (0; 0) є точки, в яких значення функції дорівнює нулю (при k=1), і точки, в яких значення функції дорівнює одиниці (при k=0). Отже, границя функції
в точці (0; 0) не існує.♦
Приклад
Визначити праву та ліву границі функції f в точці хо:
а) ;
б) ;
в) ;
♦а) Функція визначена на відрізку [-3; 7]. Для обчислення правої границі в точці 4 треба розглядати ті значення аргументу, де х > 4. Тоді і
. Для обчислення лівої границі розглядаємо х < 4, і тоді
. Отже,
.
б) Враховуючи, що при
і
при [latexx<-\frac{3}{2}] [/latex] , дістаємо
,
.
в) Маємо , оскільки чисельник дробу прямує до 8, а знаменник є нескінченно малою додатною функцією;
, тому, що в цьому випадку знаменник дробу є нескінченно малою від’ємною функцією.♦
Приклад
Обчислити наближене значення функції в точці
.
♦ Для x, близьких до xo, за значення функції в точці можна прийняти число с, яке є границею даної функції в точці. Тобто: . Тому потрібно обчислити
, (оскільки 0,5008 ≈ 0,5). Тобто:
При такому обчисленні значення функції допущено похибку .
Якщо x = 0.5008, то β = 0,008. ♦
Приклад
Обчислити наближене значення функції в точці
.
♦ Для x, близьких до xo, за значення функції в точці можна прийняти число с, яке є границею даної функції в точці. Тобто: . Тому потрібно обчислити
, (оскільки 0,5008 ≈ 0,5). Тобто:
При такому обчисленні значення функції допущено похибку .
Якщо x = 0.5008, то β = 0,008. ♦
Приклад
Обчислити границі функції:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
♦ а)
Винесемо в чисельнику спільний множник х за дужки та скоротимо його зі знаменником. Таким чином, ми позбудемося невизначеності:
.
б)
Розкладемо чисельник на множники та скоротимо його зі знаменником, в результаті чого позбудемося невизначеності.
.
в)
Користуючись першою чудовою границею, маємо:
.
г)
Користуючись другою чудовою границею, отримаємо:
.♦