Геометричні перетворення

Приклад 

Задано коло з діаметром АВ, де А (-3; 4), В (2; 1). Побудуйте коло, симетричне заданому відносно осі ординат.

♦ Знайдемо координати центра кола як середину відрізка АВ. 

.

Отже, точка О(-0,5; 2,5). Побудуємо задане коло в системі координат.  

Через точки точки А, В і О проведемо прямі перпендикулярні до осі Оу.

Відкладемо на них відрізки, що дорівнюють відповідно відстані від точок А, В та О до осі ординат. Отримаємо точки А₁, В₁ та О₁. 

Через точки А₁ та В₁ проведемо коло з центром О₁ та радіусом О₁А₁ = О₁В₁.

Це і буде коло, симетричне даному відносно осі ординат.♦

Приклад 

У яку фігуру може перейти при гомотетії:

а) рівносторонній трикутник;

б) квадрат ?

♦ а) Оскільки гомотетія зберігає градусну міру кутів, то рівносторонній трикутник може перейти лише у рівносторонній трикутник (оскільки в будь-якому рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють по 60^о);

б) Оскільки гомотетія є перетворенням подібності, то вона зберігає всі його властивості. А саме відстані між будь-якими точками фігури є пропорційними, а також зберігає кути між променями. Тому при гомотетії квадаратможе пейти лише у квадрат (всі сторони зміняться в k разів, а кути залишаться по 90^о).♦

Приклад 

У яку точку переходить точка:

а) А(2; -8) при паралельному перенесенні, що переводить точку В(2;0) у точку D(-3;6);

б) С(-3;4) при паралельному перенесенні, що переводить точку А(0;5) у точку В(3;-1)?

♦  Запишемо формулу паралельного перенесення в загальному випадку:

х₁ = х + а, у₁ = у + b.

а) Підставимо координати точок В і D у записані формули та знайдемо значення а та b: x_D = x_B + a ⇒ -3 = 2 + a ⇒ a = -5,

y_D = y_B + a ⇒  6 = 0 + b ⇒ b = 6.

Підставимо знайдені значення у формули паралельного перенесення для визначення координат точки, в яку переходить задана точка А(2; -8):

х = х_А + а ⇒ х = 2 + (-5) = -3,

у = у_А + b ⇒ у = -8 + 6 = -2.

Отже, точка А(2; -8) при заданому паралельному перенесенні переходить в точку (-3; -2).

б) Аналогічно до попереднього випадку:

х_В = х_А + а ⇒ 3 = 0 + а ⇒ а = 3,

у_В = у_А + b ⇒ -1 = 5 + b ⇒ b = -6.

Тоді:

x = x_C + a ⇒ x = -3 + 3 = 0,

y = y_C + b ⇒ y = 4 – 6 = -2.

Отже, задана точка С(-3; 4) при заданому паралельному перенесенні переходить в точку (0;-2). ♦

Приклад 

Знайти координати точки, в яку переходить точка М (-3; 1) при:

а) симетрії відносно прямої Ох;

б) симетрії відносно прямої Оу;

в) симетрії відносно початку координат;

г) симетрії відносно прямої у = – х.

♦ а) Симетрія відносно осі Ох задається формулами: х₁ = х,  у₁ = – у ⇒ х₁ = -3, у₁ = -1. Отже, А₁ (-3; -1);

б)  Симетрія відносно осі Оу задається формулами: х₁ = – х,  у₁ = у ⇒ х₁ = 3, у₁ = 1. Отже, А₁ (3; 1);

в)  Симетрія відносно початку координат задається формулами: х₁ = – х,  у₁ = – у ⇒ х₁ = 3, у₁ = -1. Отже, А₁ (3; -1);

г)  Симетрія відносно прямої у = – х задається формулами: х₁ = – у,  у₁ = – х ⇒ х₁ = – 1, у₁ = 3. Отже, А₁ (-1; 3).♦

Приклад 

Побудуйте паралелограм ABCD. На стороні АВ оберіть точку К. Побудуйте паралелограм, симетричний даному відносно точки К. 

♦ Побудуємо паралелограм ABCD та оберемо точку K на стороні АВ.

Через кожну вершину та точку К проведемо прямі відповідно АК, ВК, СК та DK.

На кожній з прямих відкладемо відстані А₁К, В₁К, С₁К та D₁K, що відповідно дорівнюють відрізкам АК, ВК, СК та DK.

Сполучимо точки А₁, В₁, С₁ та D₁. 

А₁В₁С₁D₁ – паралелограм симетричний даному відносно точки К.♦