Геометричні перетворення

Приклад 

Задано коло з діаметром АВ, де А (-3; 4), В (2; 1). Побудуйте коло, симетричне заданому відносно осі ординат.

♦ Знайдемо координати центра кола як середину відрізка АВ. 

 x_{O}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-3+2}{2}=-\frac{1}{2}=-0,5,

 y_{O}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}=2,5 .

Отже, точка О(-0,5; 2,5). Побудуємо задане коло в системі координат.  

Геометричні перетворення

Через точки точки А, В і О проведемо прямі перпендикулярні до осі Оу.

Геометричні перетворення

Відкладемо на них відрізки, що дорівнюють відповідно відстані від точок А, В та О до осі ординат. Отримаємо точки А1, В1 та О1

Геометричні перетворення

Через точки А1 та В1 проведемо коло з центром О1 та радіусом О1А= О1В1.

Симетрія відносно осі Оу
Симетрія кола відносно осі ординат

Це і буде коло, симетричне даному відносно осі ординат.♦

Приклад 

У яку фігуру може перейти при гомотетії:

а) рівносторонній трикутник;

б) квадрат ?

♦ а) Оскільки гомотетія зберігає градусну міру кутів, то рівносторонній трикутник може перейти лише у рівносторонній трикутник (оскільки в будь-якому рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють по 60о);

б) Оскільки гомотетія є перетворенням подібності, то вона зберігає всі його властивості. А саме відстані між будь-якими точками фігури є пропорційними, а також зберігає кути між променями. Тому при гомотетії квадаратможе пейти лише у квадрат (всі сторони зміняться в k разів, а кути залишаться по 90о).♦

Приклад 

У яку точку переходить точка:

а) А(2; -8) при паралельному перенесенні, що переводить точку В(2;0) у точку D(-3;6);

б) С(-3;4) при паралельному перенесенні, що переводить точку А(0;5) у точку В(3;-1)?

♦  Запишемо формулу паралельного перенесення в загальному випадку:

х1 = х + а, у1 = у + b.

а) Підставимо координати точок В і D у записані формули та знайдемо значення а та b: xD = xB + a ⇒ -3 = 2 + a ⇒ a = -5,

yD = yB + a ⇒  6 = 0 + b ⇒ b = 6.

Підставимо знайдені значення у формули паралельного перенесення для визначення координат точки, в яку переходить задана точка А(2; -8):

х = хА + а ⇒ х = 2 + (-5) = -3,

у = уА + b ⇒ у = -8 + 6 = -2.

Отже, точка А(2; -8) при заданому паралельному перенесенні переходить в точку (-3; -2).

б) Аналогічно до попереднього випадку:

хВ = хА + а ⇒ 3 = 0 + а ⇒ а = 3,

уВ = уА + b ⇒ -1 = 5 + b ⇒ b = -6.

Тоді:

x = x+ a ⇒ x = -3 + 3 = 0,

y = yC + b ⇒ y = 4 – 6 = -2.

Отже, задана точка С(-3; 4) при заданому паралельному перенесенні переходить в точку (0;-2). ♦

Приклад 

Знайти координати точки, в яку переходить точка М (-3; 1) при:

а) симетрії відносно прямої Ох;

б) симетрії відносно прямої Оу;

в) симетрії відносно початку координат;

г) симетрії відносно прямої у = – х.

♦ а) Симетрія відносно осі Ох задається формулами: х1 = х,  у1 = – у ⇒ х1 = -3, у1 = -1. Отже, А1 (-3; -1);

б)  Симетрія відносно осі Оу задається формулами: х1 = – х,  у1 = у ⇒ х1 = 3, у1 = 1. Отже, А1 (3; 1);

в)  Симетрія відносно початку координат задається формулами: х1 = – х,  у1 = – у ⇒ х1 = 3, у1 = -1. Отже, А1 (3; -1);

г)  Симетрія відносно прямої у = – х задається формулами: х1 = – у,  у1 = – х ⇒ х1 = – 1, у1 = 3. Отже, А1 (-1; 3).♦

Приклад 

Побудуйте паралелограм ABCD. На стороні АВ оберіть точку К. Побудуйте паралелограм, симетричний даному відносно точки К. 

♦ Побудуємо паралелограм ABCD та оберемо точку K на стороні АВ.

Геометричні перетворення

Через кожну вершину та точку К проведемо прямі відповідно АК, ВК, СК та DK.

Геометричні перетворення

На кожній з прямих відкладемо відстані А1К, В1К, С1К та D1K, що відповідно дорівнюють відрізкам АК, ВК, СК та DK.

Геометричні перетворення

Сполучимо точки А1, В1, С1 та D1

Геометричні перетворення

А1В1С1D– паралелограм симетричний даному відносно точки К.♦