Елементи комбінаторики

Приклад

Знайти член розкладу  \left(x+\frac{1}{x^{4}} \right)^{10} , який не містить х.

♦ Запишемо k-ий член розкладу:

 T_{k+1}=C_{10}^{k}\cdot x^{10-k}\left(\frac{1}{x^{4}} \right)^{k}=C_{10}^{k}\cdot x^{10-k-4k} . Оскільки член не повинен містити х, то це значить, що х входить до даного члена розкладу в нульовому степені, тобто: 10 – k – 4k = 0; -5k = -10; k = 2. Значить третій член розкладу не містить х і він дорівнює 

 T_{2+1}=T_{3}=C_{10}^{2}=\frac{10!}{2!\cdot 8!}=\frac{8!\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 8!}=9\cdot 5=45 . ♦

Приклад

Скількома спосабами можна вишикувати 7 учнів на уроці фізкультури в колону по одному?

♦ Для обчислення кількості способів потрібно знайти кількість перестановок з семи елементів: Р7 = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040. Отже, існує 5040 способів вишикувати сім учнів на уроці фізкультури в колону по одному.♦

Приклад

З 21 учня в класі потрібно обрати шість для виступу на спортивних змаганнях. Скількома способами це можна зробити?

♦ Оскільки порядок вибору ролі не відіграє, то кількість способів обчислимо за формулою комбінацій з 21 по 6:  C_{21}^{6}=\frac{21!}{6!(21-6)!}=\frac{21!}{6!\cdot 15!}=\frac{16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20\cdot 21}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=8\cdot 17\cdot 21=2856 . Отже, вибір можна зробити 2856 способами.♦

Приклад

Знайти кількість трицифрових чисел, які можна скласти з цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9, якщо цифри в числі не повторюються.

♦ Оскільки порядок цифр в числі має значення (при різному розміщенні цифр утворюються різні числа), то використаємо формулу розміщень з 6 елементів по 3 (цифр всього 6, а число має бути трицифрове):  A_{5}^{2}=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{3!}=4\cdot 5\cdot 6=120 . Отже, з цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9 можна скласти 120 трицифрових чисел.♦

Приклад

В урні лежить  7 синіх та 5 червоних кульок. Скількома способами можна обрати або 2 сині, або 2 червоні кульки?

♦ Спочатку визначимо скількома способами можна обрати 2 сині кульки із 7. Оскільки порядок не має значення, то  C_{7}^{2}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7!}{2!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7}{1\cdot 2}=21 . Аналогічно визначаємо скількома способами можна витягнути 2 червоні кульки з 5:  C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{4\cdot 5}{1\cdot 2}=10 . За правилом суми, отримуємо: 21 + 10 = 31. Отже, всього 31 способом можна витягти з урни 2 сині або 2 червоні кульки.♦

Приклад

В урні лежить  7 синіх та 5 червоних кульок. Скількома способами можна обрати  2 сині та 2 червоні кульки?

♦ Спочатку визначимо скількома способами можна обрати 2 сині кульки із 7. Оскільки порядок не має значення, то  C_{7}^{2}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7!}{2!\cdot 5!}=\frac{6\cdot 7}{1\cdot 2}=21 . Аналогічно визначаємо скількома способами можна витягнути 2 червоні кульки з 5:  C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{4\cdot 5}{1\cdot 2}=10 . За правилом добутку, отримуємо: 21 · 10 = 210. Отже, всього 210 способами можна витягти з урни 2 сині та 2 червоні кульки.♦