Початки теорії ймовірностей

Приклад

У класі навчається 24 учні, 18 з них відвідують театральний гурток. Яка ймовірність того, що навмання обраний учень виявиться членом театрального гуртка? 

♦ Подія А полягає в тому, що навмання вибраний учень буде членом театрального гуртка. Всього можливих способів – 24, а сприятливих для виконання події А – 18. Тобто m = 15, n = 24.  Тому ймовірність події А обчислимо за формулою   P(A)=\frac{m}{n}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4} .♦

Приклад

В колективі артистів 14 учасників. З них 8 співаків та 6 танцівників. Навмання обирають 4 учасників. Яка ймовірність того, що серед них буде 2 співаки та 2 танцівники?

♦ Подія А полягає в тому, що в навмання вибраній групі артистів з 4 чоловік буде 2 співаки та 2 танцівники. Всього існує  n= C_{14}^{4}=\frac{14!}{4!\cdot (14-4)!}=\frac{14!}{4!\cdot 10!}=\frac{11\cdot 12\cdot 13\cdot 14}{2\cdot 3\cdot 4}=1001  спосіб обрати 4 людини з 14. Визначимо скільки існує способів обрати 2 співаків з 8:   C_{8}^{2}=\frac{8!}{2!\cdot (8-2)!}=\frac{8!}{2!\cdot 6!}=\frac{8\cdot 9}{2}=36  та 2 танцівників з 6:  C_{6}^{2}=\frac{6!}{2!\cdot (6-2)!}=\frac{6!}{2!\cdot 4!}=\frac{5\cdot 6}{2}=15 . Отже, всього сприятливих варіантів для вибору  n=C_{8}^{2}\cdot C_{6}^{2}=36\cdot 15=540 . Тому  P(A)=\frac{m}{n}=\frac{540}{1001} .♦

Приклад

У корзині лежить 11 яблук та 7 груш. Навмання один за одним витягують два фрукти, причому витягнутий фрукт до корзини не повертають. Яка ймовірність того, що з корзини витягнуть одне яблуко та одну грушу?

♦ Нехай подія А полягає в тому, що перший витягнутий фрукт – яблуко, подія В – другий витягнутий фрукт – груша. Тоді подія АВ – витягли одне яблуко та одну грушу. Всього в корзині 11 + 7 = 18 плодів. Тому n = 18. Оскільки з них 11 яблук, то n = 11. Визначимо ймовірність події А:  P(A)=\frac{m}{n}=\frac{11}{18} . Після того, як з корзинки витягнули одне яблуко в ній залишилось всього 17 плодів. З них 7 груш. Тому n = 17, а m = 7. Визначимо ймовірність події В:  P(B)=\frac{m}{n}=\frac{7}{17} . Оскільки  події незалежні, то ймовірність події АВ обчислимо за формулою  P(AB)=P(A)\cdot P_{A}(B)=\frac{11}{18}\cdot \frac{7}{17}=\frac{77}{306} . ♦

Приклад

Два лучники стріляють по мішені незалежно один від одного. Ймовірність попадання в ціль першим лучником 0,6, а другим – 0,9. Яка ймовірність того, що хоча б один лучник пападе в мішень?

♦ Нехай подія А – в мішень попаде перший лучник, В – в мішень попаде другий лучник. Оскільки ці події не залежні, то ймовірність події С, що полягає в попаданні в мішень хоча б одним лучником, обчислимо за формулою: P(C) = 1 – (1 – P(A))(1 – P(B)) = 1 – (1 – 0,6)(1 – 0,9) = 1 – 0,4·0,1 = 1 – 0,04 = 0,96.♦

Приклад

Знайти ймовірність того, що при 15-ти кратному підкиданні грального кубика чотири очка випаде рівно 6 разів.

 ♦ Нехай подія А полягає у випаданні 4 очок при підкиданні грального кубика. Оскільки всього можливих варіантів 6 (в кубика всього 6 граней), а сприятливих – 1 (лише одна грань з 4 очками), то ймовірність події А обчислюється:  P(A)=p=\frac{1}{6} . Тоді ймовірність того, що на кубику випаде будь-яке інше число  q=1-p=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} . Отже, за формулою Бернуллі, маємо:  P_{6,15}=C_{15}^{6}\left(\frac{1}{6} \right)^{6}\left(\frac{5}{6} \right)^{9}=\frac{15!\cdot 5^{9}}{6!(15-6)!\cdot 6^{6}\cdot 6^{9}}=   =\frac{15!\cdot 5^{9}}{6!\cdot 9!\cdot 6^{15}}=\frac{10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15 \cdot 5^{9}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 6^{15}}=\frac{77\cdot 5^{10}}{6^{15}} .♦

Приклад

Підкидають одночасно два гральних кубики. Знайти ймовірність події: “Сума очок, що випала на кубиках, дорівнює 8”

♦ Подія А полягає в тому, що при підкиданні двох гральних кубиків випадає сума очок, що дорівнює 8. Така умова буде виконуватися, якщо на кубиках випадуть грані:

“3” – “5”

“5” – “3”  

“2” – “6” 

“6” – “2” 

“4” – “4”.

Тобто, всього 5 сприятливих варіантів.

Всього можливо 6·6 = 36  різних варіантів падіння кубиків.

Тому, Р(А) = m/n = 5/36.♦

Приклад

На дев’ятьох однакових картках написані різні цифри від 1 до 9. Знайти ймовірність того, що навмання утворене за допомогою цих карток двозначне число – парне.

♦ Нехай подія А полягає в тому, що утворене навмання двозначне число парне.

  P(A)=\frac{m}{n} , де n – кількість усіх двозначних чисел, які можна утворити, з цифр 1-9; m – кількість парних чисел, які можна утворити з цифр 1-9.

Всього двозначних чисел 90. Але потрібно відкинути ті, для утворення яких використовується цифра 0, тобто 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Звідси n = 90 – 9 = 81.

Серед усіх двозначних чисел парних – половина, тобто 45. Але серед них є ті, для запису яких використовується цифра 0. Тому: m = 45 – 9 = 36.

Значить:  P(A)=\frac{36}{81}=\frac{4}{9} .♦

Приклад

Виконується три незалежні постріли по мішені. Ймовірність влучення в мішень при першому, другому, третьому пострілах відповідно дорівнюють 0,3; 0,9; 0,8. Знайти ймовірність того, що буде хоча б одне влучення в мішень.

♦ Нехай А1 – влучення в мішень при першому пострілі, А2 – влучення при другому пострілі, А3 – при третьому. Тоді,  \bar{A_{1}},\; \bar{A_{2}},\; \bar{A_{3}} – події, протилежні до А1, А2, та А3.

Подія  \bar{A_{1}}\cdot \bar{A_{2}}\cdot \bar{A_{3}} полягає в тому, що не відбулося жодного влучення при трьох пострілах.

Тоді, якщо А – влучення хоча б під час одного пострілу, то: 

 P(A)=1-P(\bar{A_{1}})\cdot P(\bar{A_{2}})\cdot P(\bar{A_{3}})

 P(A_{1})=0,3     P(\bar{A_{1}})=0,7

 P(A_{2})=0,9     P(\bar{A_{2}})=0,1

 P(A_{3})=0,8     P(\bar{A_{3}})=0,2

 P(A)=1-0,7\cdot 0,1\cdot 0,2=1-0,014=0,986 .

Приклад

Підкидають два гральних кубика. Яка ймовірність того, що на одному з них випаде шість очок, якщо на обох кубиках випали однакові грані.

♦ Оскільки на обох кубиках випали однакові грані, то це означає, що і на першому і на другому кубиках випали грані з шістьма очками.

Тому, говорячи іншими словами, потрібно знайти ймовірність того, що при підкиданні двох гральних кубиків на обох випаде по 6 очок.

Шукана подія А дорівнює добутку незалежних подій: А1 – на грані першого кубика випаде 6 очок; А2 – на грані другого кубика випаде 6 очок. 

 P(A)=P(A_{1}\cdot A_{2})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36} .♦

Приклад

На екзамені з математики припонують виконати 21 завдання. Учень вивчив тільки 19. Білет складається з трьох завдань. Яка ймовірність того, що учень складе іспит на 12 балів?

♦ Всього завдань – 21. Учень вивчив 19 з них. Нехай, подія А полягає в тому, що учень складе іспит на 12 балів, тобто розв’яже всі завдання вірно. Нехай подія А1 полягає в тому, що учень правильно відповів на перше завдання, А2 – на друге, А3 – на третє.

Тоді Р(А) = Р(А1)·Р(А2)·Р(А3), оскільки події незалежні та мають відбутися одночасно. Оскільки  P=\frac{m}{n} , то  P(A_{1})=\frac{19}{21} (всього 21 завдання, 19 з них учень підготував);  P(A_{2})=\frac{18}{20} (залишилося 20 завдань, 18 з яких учень підготував);  P(A_{3})=\frac{17}{19} (залишилося 19 завдань, 17 з яких учень підготував).

Тоді:  P(A)=\frac{19}{21}\cdot \frac{18}{20}\cdot \frac{17}{19}=\frac{18\cdot 17}{21\cdot 20}=\frac{51}{70} .

Отже, ймовірність того, що учень складе іспит на 12 балів становить  \frac{51}{70} .♦

Приклад

На регіональній конференції присутні 21 делегат: 5 – із Сум, 4 – з Харкова, решта – з Полтави. Потрібно обрати голову конференції. Яка ймовірність того, що оберуть:

а) сумчанина;

б) не полтавчанина?

♦ Всього 21 делегат. Із Сум – 5, з Харкова – 4, з Полтави – 21 – 5 – 4 = 12.

а) Нехай, подія А полягає в тому, що головою конференції вибрано сумчанина. Всього можливих варіантів вибору 21, тобто n = 21. Сприятливих – 5, тобто m=5. Значить,

 P(A)=\frac{m}{n}=\frac{5}{21}

б) Нехай, подія В полягає в тому, що головою конференції буде обрано не полтавчанина.  P(B)=\frac{m}{n} , де n = 21 (кількість усіх учасників конференції), m = 5 + 4 = 9 (кількість учасників не з Полтави). Тоді,  P(B)=\frac{9}{21}=\frac{3}{7} .♦ 

Приклад

На заводі з кожних 1000 виготовлених деталей 100 нестандартні. З’ясуйте ймовірність того, що з навмання взятих 6 деталей 2 деталі будуть нестандартними.

♦ Нехай подія А полягає в тому, що із навмання вибраних 6 деталей 2 буде нестандартними.

Кількість усіх можливих варіантів обрати 6 деталей із 1000: 

 n = C_{1000}^{6}=\frac{1000!}{6!(1000-6)!}=\frac{1000!}{6!\cdot 994!}=

 =\frac{995\cdot 996\cdot 997\cdot 998\cdot 999\cdot 1000}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=1368173298991500 .

Сприятливими для події А є випадки, коли із загальної кількості нестандартних деталей (тобто 100) взято 2 (це можна зробити  C_{100}^{2}  способами), а решта 6 – 2 = 4 деталі – стандартні взято із загальної кількості стандартних деталей (тобто 1000 – 100 = 900). Кількість таких способів дорівнює  C_{900}^{4} .

 C_{100}^{2}=\frac{100!}{2!(100-2)!}=\frac{100!}{2!\cdot 98!}=\frac{99\cdot 10}{1\cdot 2}=4950

 C_{900}^{4}=\frac{900!}{4!(900-4)!}=\frac{900!}{4!\cdot 896!}=

 =\frac{897\cdot 898\cdot 899\cdot 900}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=27155621025

Отже, шукана ймовірність: 

 P(A)=\frac{C_{100}^{2}\cdot C_{900}^{4}}{C_{1000}^{6}}=\frac{4950\cdot 2715521025}{1368173298091500}=0,0982 .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *