Інтеграл і його застосування

Приклад

Обчислити невизначені інтеграли:

а) $\int \frac{dx}{\left(7-3x \right)^{8}}$ ;

б) $\int \left(\frac{5}{7x-9}-\frac{4}{cos^{2}3x} +2\right)dx$ ;

в) $\int \frac{x-2\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx$ ;

г) $\int 4cos\frac{x}{2}cosxsin\frac{x}{2}dx$ ;

д) $\int cos^{2}xdx$ .

♦ а) Запишемо дріб у вигляді степеня. Інтеграл добудемо за правилом інтегрування складеної функції, де зовнішня функція степенева, а внутрішня – лінійна.

$\int \frac{dx}{\left(7-3x \right)^{8}}=\int \left(7-3x \right)^{-8}dx=-\frac{1}{3}\cdot \frac{\left(7-3x \right)^{-8+1}}{-8+1}+C =$

$=-\frac{1}{3}\cdot \frac{\left(7-3x \right)^{-7}}{-7}+C=\frac{1}{21\left(7-3x \right)^{7}}+C$ .

б) Інтеграл суми добуватимемо як суму інтегралів кожного з доданків:

$\int \left(\frac{5}{7x-9}-\frac{4}{cos^{2}3x} +2\right)dx=5\cdot \frac{1}{7}\cdot ln\left|7x-9 \right| -$

$-4\cdot \frac{1}{3}tg3x+2x+C=\frac{5}{7}ln\left|7x-9 \right|-\frac{4}{3}tg3x+2x+C$ .

в) Спростимо підінтегральний вираз та запишемо радикали у вигляді степенів. Візьмемо інтеграл від степеневої функції:

$\int \frac{x-2\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx=\int \left(\frac{x}{\sqrt[3]{x}} -\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}\right)dx=$

$= \int \left(x^{1-\frac{1}{3}}-2x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} \right)dx=\int \left(x^\frac{2}{3}-2x^\frac{1}{6} \right)dx =$

$= \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}-\frac{2x^{\frac{1}{6}+1}}{\frac{1}{6}+1}+C=\frac{3x\frac{5}{3}}{5}-\frac{12x\frac{7}{6}}{7}+C =$

$= \frac{3}{5}\sqrt[3]{x^{5}}-\frac{12}{7}\sqrt[6]{x^{7}}+C=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^{2}}-\frac{12}{7}x\sqrt[6]{x}+C$ .

г) Виконаємо перетворення тригонометричних виразів (двічі скористаємося формулою подвійного аргументу). Отримаємо табличний інтеграл:

$\int 4cos\frac{x}{2}cosxsin\frac{x}{2}dx=\int 2sinxcosxdx=$

$= \int sin2xdx=-\frac{1}{2}cos2x+C$ .

д) Використаємо формулу пониження степеня для косинуса, розкладемо дріб на доданки. Отримаємо табличні інтеграли:

$\int cos^{2}xdx=\int \frac{1+cos2x}{2}dx=$

$= \int \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos 2x \right)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}sinx+C =$

$= \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sinx+C$ .♦

Приклад

Обчислити визначені інтеграли:

а) $\int_{1}^{4}{\left(4x^{3}-3x\sqrt{x} \right)dx}$ ;

б) $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{cosxsinxdx}$ ;

в) $\int_{1}^{2}{\frac{e^{x}-x^{3}}{x^{3}e^{x}}dx}$ ;

г) $\int_{1}^{4}{\left(2\sqrt{x}-x \right)^{2}dx}$ ;

д) $\int_{1}^{4}{\left(\frac{3}{x} +x \right)dx}$ .

♦ а) $\int_{1}^{4}{\left(4x^{3}-3x\sqrt{x} \right)dx}=\int_{1}^{4}{4x^{3}-3x^{\frac{3}{2}}dx}=$

$= \left(4\cdot \frac{x^{4}}{4}-3\cdot \frac{^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} \right)|_{1}^{4}=$

$= \left(x^{4}-\frac{6}{5}\sqrt{x^{5}} \right)|_{1}^{4}=4^{4}-\frac{6}{5}\left(\sqrt{4} \right)^{2}-\left(1^{4}-\frac{6}{5}\sqrt{1^{5}} \right)=$

$= 256-\frac{6}{5}\cdot 32-1+\frac{6}{5}=255-31\cdot \frac{6}{5}=$

$= 255-37\frac{1}{5}=217\frac{4}{5}=217,8$ ;

б) $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{cosxsinxdx}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2cosxsinxdx}=$

$= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sin2xdx}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}cos2x|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=$

$= -\frac{1}{4}cos2x|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=-\frac{1}{4}cos\pi -(-\frac{1}{4}cos0)= -\frac{1}{4}(-1)+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ;

в) $\int_{1}^{2}{\frac{e^{x}-x^{3}}{x^{3}e^{x}}dx}=\int_{1}^{2}{\left(\frac{e^{x}}{x^{3}e^{x}}-\frac{x^{3}}{x^{3}e^{x}} \right)dx}=$

$= \int_{1}^{2}{(x^{-3}-e^{-x})dx}=\left(\frac{x^{-2}}{-2}+e^{-x} \right)|_{1}^{2}=\left(-\frac{1}{2x^{2}}+e^{-x} \right)|_{1}^{2}=$

$= -\frac{1}{2\cdot 2^{2}}+e^{-2}-\left(-\frac{1}{2\cdot 1^{2}} +e^{-1} \right)=-\frac{1}{8}+e^{-2}+\frac{1}{2}-e^{-1}=$

$= \frac{3}{8}+\frac{1}{e^{2}}-\frac{1}{e}=\frac{3e^{2}-8e+8}{8e^{2}}$ ;

г) $\int_{1}^{4}{\left(2\sqrt{x}-x \right)^{2}dx}=\int_{1}^{4}{\left(4x-4x\sqrt{x}+x^{2} \right)dx}=$

$= \int_{1}^{4}{\left(4x-4x^{\frac{3}{2}}+x^{2} \right)dx}=\left(4\cdot \frac{x^{2}}{2}-4\cdot \frac{x\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}+\frac{x^{3}}{3} \right)|_{1}^{4}=$

$= \left(2x^{2}-\frac{8}{5}\left(\sqrt{x} \right)^{5}+\frac{1}{3}x^{3} \right)|_{1}^{4}=2\cdot 4^{2}-\frac{8}{5}\left(\sqrt{4} \right)^{5}+\frac{1}{3}\cdot 4^{3}-$

$- \left(2\cdot 1^{2}-\frac{8}{5}\left(\sqrt{1} \right)^{5}+\frac{1}{3}\cdot 1^{3} \right)=32-\frac{8}{5}\cdot 32+\frac{64}{3}-2+\frac{8}{5}-\frac{1}{3}=$

$= -\frac{3}{5}\cdot 32+21-\frac{2}{5}=-\frac{98}{5}+21=\frac{7}{5}=1,4$ ;

д) $\int_{1}^{4}{\left(\frac{3}{x} +x \right)dx}=\left(3ln\left|x \right|+\frac{x^{2}}{2} \right)|_{1}^{4}=$

$= 3ln4+\frac{4^{2}}{2}-\left(3ln1+\frac{1}{2} \right)=$

$= 3ln4+8-3ln1=3ln2^{2}+8-0-\frac{1}{2}=6ln2+7,5$ .♦

Приклад

Визначити площу фігури, обмеженої лініями у = 3 + 2х – х², у = 0, х + у – 5 = 0.

♦ На координатній площині зображуємо задані лінії.

Інтеграл і його застосування

Графіком функції у = 3 + 2х – х²є парабола, вітки напрямлені вниз. Знайдемо нулі даної функції:

– х²+ 2х + 3 = 0;

х²– 2х – 3 = 0 ⇒ х = 3 або х = -1.

у(0) = 3.

Знайдемо координати (m; n) вершини параболи:

$m=-\frac{b}{2a}=\frac{-2}{-2}=1$ ;

n = y(m) = y(1) = -1² + 2·1 + 3 = 4.

Графіком функції у = 5 – х є пряма, яка проходить через точки (5;0) і (0;5).

Визначимо координати точок перетину параболи

у = 3 + 2х – х²з прямою у = 5 – х.

5 – х = 3 + 2х – х²;

х² – 3х + 2 = 0;

х₁ = 1; х₂ = 2;

у₁ = 5 – 1 = 4; у₂ = 5 – 2 = 3.

Отже, В (1; 4), К (2; 3) – точки перетину параболи у = 3 + 2х – х²з прямою у = 5 – х. S_ABKD= S_ABC + S_ΔBCD;

$S_{ABC}=\int_{-1}^{1}{(3+2x-x^{2}}dx=\left(3x+2\cdot \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3} \right)|_{-1}^{1}=$

$= \left(3x+x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right)|_{-1}^{1}=$

$= 3\cdot 1+1^{2}-\frac{1}{3}\cdot 1^{3}-\left(3\cdot (-1)+(-1)^{2}- \frac{1}{3}\cdot (-1)^{3} \right)$

$= 3+1-\frac{1}{3}+3-1-\frac{1}{3}=6-\frac{2}{3}=5\frac{1}{3}$ ;

$S_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8;\; S_{ABKD}=5\frac{1}{3}+8=13\frac{1}{3}$ .♦

Приклад

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями у = 1 – х² і у = 0.

♦ Зобразимо фігуру, обмежену заданими лініями, на координатній площині:

Інтеграл і його застосування

Тоді $V=\int_{-1}^{1}{\pi \left(1-x^{2} \right)^{2}dx}=\pi \int_{-1}^{1}{\left(1-2x^{2}+x^{4} \right)dx}=$

$= \left(x-2\cdot \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5} \right)|_{-1}^{1}=\pi \left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}-\left(-1+\frac{2}{3}-\frac{1}{5} \right) \right)=$

$= \pi \left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}+1 -\frac{2}{3}+\frac{1}{5} \right)=\pi \left(2-\frac{4}{3}+\frac{2}{5} \right)=\frac{16}{15}\pi =1\frac{1}{15}\pi$ .♦