Квадратні корені. Дійсні числа

Приклад

Знайти значення арифметичного квадратного кореня: 

а)  \sqrt{25} ;    б)  \sqrt{4900} ;    в)  \sqrt{0,64} ;    г)  \sqrt{2\frac{7}{9}} .

♦ Арифметичний корінь – це додатнє значення кореня квадратного. Тому, знаходимо значення кореня квадратного для кожного числа і беремо лише його додатнє значення. 

а)  \sqrt{25}= 5 ;  

б)  \sqrt{4900}=70 ;    

в)  \sqrt{0,64}=0,8 ;    

г)  \sqrt{2\frac{7}{9}}=\sqrt{\frac{25}{9}} =\frac{5}{3}.♦

Приклад

Серед поданих чисел виписати ірраціональні: 12; π; 4,5; -8; 1/8; -3/13; е; √14.

♦ Ірраціональними числами є: π (яке дорівнює 3,14…), е (яке дорівнює 2,76…), √14 = 3,76…♦

Приклад

Серед чисел: 8; 0; -10; -12;  \frac{4}{27} ; 5,4; -612; -3,1; 2,91; -1001;  15\frac{6}{11}  ; 256 обрати:

а) натуральні;     б) цілі;     в) додатні;

г) недодатні;    д) цілі від’ємні;    е) дробові невід’ємні.

♦ а) Натуральні числа – це числа, які використовуються для лічби. Серед поданих це числа: 8; 256.

б) Цілі числа – це всі натуральні числа та протилежні їм, а також число 0. Серед поданих чисел це: 8; 0; -10; -12; -612; -1001; 256.

в) Додатні числа – це всі числа, які мають знак “+”. До таких належать: 8; 0;   \frac{4}{27} ; 5,4; 2,91;   15\frac{6}{11}  ; 256.

г) Недодатні числа – це всі числа, які мають знак “-” та число 0. Серед поданих до таких нацлежать: 0; -10; -12; -612; -3,1; -1001.

д) Цілі від’ємні числа – це всі числа, які протилежні натуральним. Серед поданих це: 8; -10; -12;  -612;  -1001.

е) Дробові невід’ємні числа – це всі числа, які не є цілими, що мають знак “+”. Серед поданих до таких належать:  \frac{4}{27} ; 5,4; 2,91;  15\frac{6}{11}  . ♦

Приклад

Записати числа, протилежні заданим натуральним:  1, 56, 89, 113, 5694. Визначити до якої множини вони належать.

♦ Протилежні числа – це ті які мають протилежний знак, тобто: -1, -56, -89, -113, -5694. Ці числа належать до множини цілих чисел. ♦

Приклад

Запишіть всі дроби зі знаменником 11, що задовольняють задану умову:

  \frac{3}{11}\leq \frac{m}{n}<\frac{7}{11}

♦   \frac{m}{n}: \frac{3}{11};\; \frac{4}{11};\; \frac{5}{11};\; \frac{6}{11};\;  . Ці числа належать до множини раціональних чисел.♦

Приклад

Чи вірно, що:

а)  сума будь-якого раціонального та будь-якого ірраціонального числа є числом раціональним;

б) сума будь-яких двох ірраціональних чисел є числом ірраціональним?

♦ а) Твердження невірне. Наведемо контрприклад:  \frac{3}{5}+\sqrt{3} є числом ірраціональним, при цьому перший доданок – число раціональне, а другий ірраціональне.

б) Твердження невірне. Наведемо контрприклад:  -\sqrt{5}+\sqrt{5}=0 , при цьому обидва доданки – ірраціональні числа, а сума (число 0) є числом раціональним. ♦

Приклад

Чи вірне твердження: 

Квадратні корені. Дійсні числа

♦ Число 8 є числом натуральним, а значить цілим, а значить раціональним, а значить і дійсним. Тому 1), 2), 4) твердження вірні. 3) твердження невірне.

Число -5,4 не є натуральним, але є раціональним і дійсним. Тому, твердження 5) не є вірним, 6) і 7) – вірне.

Число √3 є числом ірраціональним, тому воно не є раціональним, але є дійсним. Тому твердження 8) не є вірним, а 9) – вірне.

Число √25 є числом ірраціональним, тому не є раціональним і не є натуральним. А значить, твердження 10) – не вірне, а 11) – вірне.

Приклад

Знайдіть значення кореня: 

а)  \sqrt{64}\cdot \sqrt{81};    б) \sqrt{162\cdot 50}  ;    в) \sqrt{0,1}\cdot \sqrt{0,4}  ;

г)  \sqrt{3^{8}\cdot (-10)^{2}} ;    д)  \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}}

♦  \sqrt{64}\cdot \sqrt{81}=8\cdot 9=72

 \sqrt{162\cdot 50}=\sqrt{81\cdot 2\cdot 25\cdot 2}=9\cdot 5\cdot 2=90

 \sqrt{0,1}\cdot \sqrt{0,4}=\sqrt{0,1\cdot 0,4}=\sqrt{0,04}=0,2

 \sqrt{3^{8}\cdot (-10)^{2}}=3^{4}\cdot (-10)=81\cdot (-10)=-810

\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{108}{3}}=\sqrt{36}=6   . ♦

Приклад

Спростіть вираз:

  \left(9\sqrt{5}+7\sqrt{2} \right)\left(7\sqrt{2} -9\sqrt{5} \right)-\left( 6\sqrt{10}-2\sqrt{5}\right)^{2} .

♦  \left(9\sqrt{5}+7\sqrt{2} \right)\left(7\sqrt{2} -9\sqrt{5} \right)-\left( 6\sqrt{10}-2\sqrt{5}\right)^{2}=

 =\left(7\sqrt{2} \right)^{2}-\left(9\sqrt{5} \right)^{2}-\left( \left(6\sqrt{10} \right)^{2}-12\sqrt{50}+\left(4\sqrt{5} \right)^{2}\right)=

 =98-405-360+12\sqrt{50}-80=12\sqrt{50}-747 .♦

Приклад

Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

 \frac{x}{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+2x}} .

♦  \frac{x}{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+2x}}=\frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{(\sqrt{3-x}+\sqrt{3+2x})(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}= 

 =\frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{\left(\sqrt{3-x} \right)^{2}-\left(\sqrt{3+2x} \right)^{2}}= \frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{3-x-3-2x}= 

 =\frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{-3x}=\frac{\sqrt{3+2x}-\sqrt{3-x}}{3} .♦

Приклад 

Знайти область визначення функції:

а)   y=\frac{1}{\sqrt{2x-4}} ;

б)  y=\sqrt{(x+1)(x-7)} .

♦a)  y=\frac{1}{\sqrt{2x-4}}

 2x-4>0;
2x>4;
x>2;
D : x\in (2;\propto );

б)  y=\sqrt{(x+1)(x-7)}

(x+1)(x-7)\geq 0 ;

D: x\in(-\propto ;-1]\bigcup{} [7;+\propto ) .♦

Приклад

При якому значення а рівняння 1) х2 = а + 3; 2)  ах2 = 3

а) має два різних корені;   б) має один корінь;   в) не має коренів.

♦ 1)  Розв’язком даного рівняння буде   x=\sqrt{a+3}

а) Як відомо корінь може мати два значення лише в тому випадку, коли підкореневий вираз число додатне. Тому: а + 3 > 0 ⇒ а > – 3. Отже, при а ∈ (-3; +∞) рівняння має два розв’язки.

б) Корінь набуває одного значення, якщо його підкореневий вираз дорівнює нулю. Тобто, а + 3 = 0а = – 3. Отже, при а = – 3 рівняння має один розв’язок.

в) Корінь не існує, коли його підкореневий вираз від’ємний. Тобто, а + 3 < 0 ⇒ а < – 3. Отже, при а ∈ (-∞; -3) дане рівняння розв’язків не має.

2) Розв’язком даного рівняння є:  x^{2}=\frac{3}{a} \Rightarrow  x=\sqrt{\frac{3}{a}} .

а) Рівняння матиме два корені, коли підкореневий вираз буде більший нуля, тобто  \frac{3}{a} > 0  ⇒  a > 0 . Отже, при а ∈ (0; +∞) рівняння має два різних корені.

б) Для того, щоб рівняння мало один корінь, потрібно, щоб підкореневий вираз дорівнював нулю. Проте даний дріб не перетворюється в нуль при жодному значенні параметра а. Отже, дане рівняння не може мати одного кореня.

в) Рівняння не матиме коренів, якщо підкореневий вираз буде менший нуля. Тобто  \frac{3}{a} < 0  ⇒  a < 0 . Отже, при а ∈ (-∞; 0) рівняння не матиме коренів. ♦

Приклад

Знайти значення виразу  x^{2}-4x+4 при  x=2+\sqrt{10}

♦  Перш, ніж підставляти значення х у вираз, спростимо його, використовуючи формулу  “квадрат різниці”:  x^{2}-4x+4=x^{2}-2\cdot 2\cdot x+2^{2}=(x-2)^{2}

Отже, якщо  x=2+\sqrt{10} , то  (x-2)^{2}=(2+\sqrt{10}-2)^{2}=\sqrt{10}^{2}=10 .