Квадратні рівняння

Приклад

Виділити повний квадрат в тричлені

$4x^{2}+12x - 11$ .

♦ Виділити повний квадрат означає звести квадратний тричлен до вигляду $(a\pm b)^{2}\pm c$ . Це неважко зробити використовуючи формулу квадрата суми (різниці) двох виразів

$a^{2}\pm 2ab+b^{2}=\left(a\pm b \right)^{2}$ .

Розглянувши заданий вираз, бачимо, що першим членом є квадрат виразу 2х, другий член – це подвоїний добуток виразу 2х та числа 3 ( 12х = 2·2х·3). А значить, що отримати повний квадрат, то на місці третього члена повинен стояти квадрат числа 3, тобто число 9. Додамо його. Для того, щоб нічого не змінилося, віднімемо число 9.

Отримаємо:

$4x^{2}+12x - 11=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot 3+3^{2}-3^{2}-11=$

$=((2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot 3+3^{2})-9-11=(2x+9)^{2}-20$ – повний квадрат заданого тричлена.♦

Приклад

Розв’язати рівняння:

а) x²– 3x = 0;

б) 3x² – 27 = 0;

в) x²– 9x + 14 = 0.

♦ а) x²– 3x = 0 – це неповне квадратне рівняння, в якому відсутній вільний член. Такі рівняння розв’язуються мектодом винесення спільного множника за дужки.

х (х – 3) = 0;

х₁ = 0, х₂ = 3.

Відповідь: х₁ = 0, х₂ = 3.

б) 3x² – 27 = 0 – це неповне квадратне рівняння, в якому відсутній другий член. Такі рівняння розв’язуються методом розкладання на множники лівої частини:

3 (x² – 9) = 0;

x² – 9 = 0;

(х -3)(х + 3) =0;

х₁ = – 3, х₂ = 3.

Відповідь: х₁ = – 3, х₂ = 3.

в) x²– 9x + 14 = 0 – повне квадратне рівняння, яке можна розв’язати або за теоремою Вієта, або через дискримінант.

І спосіб (За теоремою Вієта)

х₁ · х₂ = 14,

х₁ + х₂ = 9 ⇒ х₁ = 2, х₂ = 7.

ІІ спосіб (через дискримінант)

$D = b^{2}-4ac=(-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 14=25\; \Rightarrow \; \sqrt{D} = \pm 5$ ;

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{9+5}{2}=7$ ;

$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{9-5}{2}=2$ .

Відповідь: х₁ = 2, х₂ = 7. ♦

Приклад

Розв’язати нерівність: -х² + 3х – 10 ≤ 0.

♦ Розглянемо функцію у = -х² + 3х – 10, D(y) = (-∞; +∞). Графіком даної функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз. Знайдемо нулі функції: -х² + 3х – 10 = 0;

-х² + 3х – 10 = 0.

D = (-3)² – 4·1·10 = -40 < 0.

Отже, функція у = -х² + 3х – 10 нулів не має. Побудуємо схематично графік цієї функції.

Дана функція набуває від’ємних значень на всій числовій прямій. Отже, -х² + 3х – 10 ≤ 0, якщо х ∈ (-∞; +∞).♦

Приклад

Розв’язати нерівність: (2х -1)(х + 2)(х – 1) < 0

♦ Розглянемо функцію у = (2х -1)(х + 2)(х – 1), D (y) = (-∞; +∞).

Знайдемо нулі функції: (2х -1)(х + 2)(х – 1) = 0 ⇒ 2х -1 =0 або х + 2 = 0, або х – 1 = 0 ⇒ х = 1/2 або х = -2, або х = 1.

Нанесемо на числову пряму область визначення та нулі функції.

Визначимо знак функції на кожному інтревалі (достатньо визначити тільки знак, значення виразу обчислювати не потрібно):

у (-3) = (2·(-3) – 1)(-3 + 2)(-3 – 1) = “-” · “-” · “-” < 0;

у (0) = (2·0 -1)(0+2)(0-1) = “-” · “+” · “-” > 0;

у (0,6) = (2·0,6 – 1)(0,6 + 2)(0,6 – 1) = “+” · “+” · “-” < 0;

у (2) = (2·2 – 1)(2 + 2)(2 – 1) > 0.

Отже, y < 0, при х ∈ (-∞; -2) ∪ (1/2; 1).

Зауваження: Не обов’язково визначати знаки на кожному проміжку. Достатньо “запустити змійку” з правого верхнього кутка, при умові, що перед усіма х стоїть знак “+”. В точках, що відповідають кореням непарного степеня “змійка” змінює знак, а непарного – відбивається (див. задачу 3)♦

Приклад

Розв’язати нерівність:

$\frac{(x+5)(3x-6)(14-2x)}{(12-6x)(\frac{x}{5}+1)^{2}}\geq 0$ .

♦ Розв’язання дробово-раціональних нерівностей зводиться до розв’язання лінійних нерівностей, оскільки в нерівностях типу $\frac{f(x)}{g(x)}\vee 0$ дію ділення можна замінити дією множення, при умові, що g(x) ≠ 0:

$(x+5)(3x-6)(14-2x)(12-6x)(\frac{x}{5}+1)^{2}\geq 0$ , при цьому пам’ятаємо, що х ≠ 2, х ≠ -5.

Повиносимо спільні множники за дужки в тих множниках, в яких це можливо та запишемо кожен множник у вигляді х – а.

$(x+5)\cdot 3(x-2)\cdot (-2)(x-7)\cdot (-6)(x-2)\cdot \frac{1}{25}(x+5)^{2}\geq 0$ .

Виконаємо множення: $\frac{36}{25}(x+5)^{3}(x-7)(x-2)^{2}\geq 0$ .

Множник $\frac{36}{25}$ на знак виразу не впливає, тому:

$(x+5)^{3}(x-7)(x-2)^{2}\geq 0$ . Запишемо функцію:

$y =(x+5)^{3}(x-7)(x-2)^{2}$ та знайдемо її нулі: х + 5 = 0 або х – 7 =0, або х – 2 = 0 ⇒ х = -5, х = 7, х = 2.

Позначимо їх на числовій прямій та проведемо “змійку” з верхнього правого кутка:

Отже, розв’язком даної нерівності є множина х ∈ (-∞; -5) ∪ [7; +∞).♦

Приклад

Розв’язати систему рівнянь:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+3xy-4y^{2}=-9,\\ 2x^{2}-5xy+3y^{2}=4. \end{matrix}\right.$

♦ Помножимо перше рівняння на 4, а друге – на 9, отримаємо:

$\left\{\begin{matrix} 4x^{2}+12xy-16y^{2}=-36,\\ 18x^{2}-45xy+27y^{2}=36. \end{matrix}\right.$

Додавши почленно рівняння системи, одержимо: $22x^{2}-33xy+11y^{2}=0;$ Поділимо рівняння на 11, матимемо: $2x^{2}-3xy+y^{2}=0.$

Поділимо обидві частини рівняння на у, при умові, що у ≠ 0. Тоді $2\left(\frac{x}{y} \right)^{2}-3\cdot \frac{x}{y}+1=0.$

Нехай $\frac{x}{y}=t$ , тоді $2t^{2}-3t+1=0;\; D=9-8=1;\;$

$t_{1}=\frac{3+1}{4}=1;\; t_{2}=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}.$ Отже,

(-1; -2), (1; 2) – розв’язок заданої системи рівнянь. ♦

Приклад

Розв’язати систему рівнянь:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=3,\\ x+y=5. \end{matrix}\right.$

♦ Нехай $\sqrt{x}=u;\; \sqrt{y}=v$ , тоді $\left\{\begin{matrix} u+v=3,\\ u^{2}+v^{2}=5. \end{matrix}\right.$

Розв’яжемо цю систему:

$\left\{\begin{matrix} u=3-v,\\ (3-v)^{2}+v^{2}=5; \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} u=3-v,\\ 9-6v+v^{2}+v^{2}=5; \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} u=3-v,\\ 2v^{2}-6v+4=0; \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} u=3-v,\\ v^{2}-3v+2=0; \end{matrix}\right.$

Тоді:

(4;1), (1;4) -розв’язок заданої системи.♦