Квадратична функція

Приклад 

Побудувати графік функції, використовуючи геометричні перетворення: 

 y = 2\sqrt{-4-x}+3 .

♦ Побудуємо графік функції, виконуючи геометричні перетворення над графіком функції  y = \sqrt{x} .

1)  y = \sqrt{x} ;

2)  y = \sqrt{-x} ; (відображаємо графік (1) симетрично осі Ох)

3)  y = \sqrt{-4-x} ; (графік (2) переносимо на 4 одиниці вправо вздовж осі Ох)

4)  y = 2\sqrt{-4-x} ; (розтягуємо графік (3) вздовж осі Оу в 2 рази)

5)  y = 2\sqrt{-4-x}+3 . (графік (4) переносимо вгору вздовж осі Оу на 3 одиниці). 

Квадратична функція

Приклад 

Побудувати графіки функцій використовуючи геометричні перетворення:

 y=x^{2}-7x+10 .

♦ Для побудови графіка заданої функції виділимо повний квадрат:  y=x^{2}-2\cdot x\cdot 3,5+3,5^{2}-3,5^{2}+10 ,

 y=(x-3,5)^{2}-2,25 .

Маємо квадратичну функцію. А отже,  почнемо з побудови графіка  y=x^{2} .

Це буде парабола з вершиною в початку координат, вітки якої напрямлені вгору.

Побудований графік перенесемо паралельно осі Ох вправо на 3,5 одиниць. Отримаємо графік функції  y=(x-3,5)^{2} .  

Шляхом перенесення отриманого графіка вздовж осі Оу на 2,25 одиниць вниз отримаємо графік функції  y=(x-3,5)^{2}-2,25 .

Квадратична функція

 

Приклад 

Побудувати графік функції за допомогою геометричних перетворень

 y=x^{2}+3x-10

♦ Маємо квадратичну функцію.

Для використання геометричних перетворень перепишемо її в іншому вигляді. Для цього виділимо повний квадрат:  y=x^{2}+2\cdot x\cdot 1,5+1,5^{2}-1,5^{2}-10; y=\left(x+1,5 \right)^{2}-12,25 .

Почнемо побудову з графіка функції  y=x^{2} – параболи, яка проходить через початок координат, вітки якої напрямлені вгору.

Далі цей графік перенесемо на 1,5 одиниці вліво паралельно осі Ох. Отримаємо графік функції  y=\left(x+1,5 \right)^{2} .

Для отримання графіка функції  y=\left(x+1,5 \right)^{2}-12,25 останній графік перенесемо вздовж осі Оу на 12,25 одиниць вниз.

Квадратична функція

Приклад 

Побудувати графіки функцій, використовуючи геометричні перетворення

 y = \frac{1}{x}, y = \frac{8}{x}, y = \frac{8}{x+2}, y = \frac{8}{x}+2 .

♦ Усі функції відображають оберенену залежність. Тому їх графіками будуть гіперболи.

1)  y = \frac{8}{x} – гіпербола, розміщена в І і ІІІ координатних кутах;

2)  y = \frac{8}{x} – отримуємо з графіка 1 шляхом розтягнення у 8 разів вздовж осі Оу;

3)  y = \frac{8}{x+2} – отримуємо з графіка 2 шляхом паралельного перенесення вліво вздовж осі Ох на 2 одиниці;

4)  y = \frac{8}{x}+2 – отримуємо з графіка 2 шляхом паралельного перенесення вздовж осі Оу на 2 одиниці вгору.

Квадратична функція

Приклад 

Побудувати графік функції за допомогою геометричних перетворень

 y=x^{2}-7x+10 .

♦ Щоб побудувати графік даної функції за допомогою геометричних перетворень спочатку виділимо повний квадрат:

 y=x^{2}-2\cdot x\cdot 3,5+3,5^{2}-3,5^{2}+10

 y=\left(x-3,5 \right)^{2}-2,25

Детально про те, як виділити повний квадрат читай тут.

Тепер виконаємо побудову графіка функції:

1.  y=x^{2} – парабола з центром у початку координат, вітки якої напрямлені вгору;

2.  y=\left(x-3,5 \right)^{2} – отримуємо з попереднього графіка шляхом паралельного перенесення вправо на 3б5 одиниць;

3.  y=\left(x-3,5 \right)^{2}-2,25 – отримуємо з попереднього графіка шляхом паралельного перенесення вниз на 2,25 одиниць.

Зображення до задачі
Покрокова побудова графіків функцій

Приклад 

Побудувати графік функції за допомогою геометричних перетворень

 y=x^{2}+3x-10

♦ Маємо квадратичну функцію. Графіком такої функції буде парабола.

Спочатку потрібно виділити повний квадрат тричлена.

 y=x^{2}+3x-10

 y=x^{2}+2\cdot x\cdot 1,5+1,5^{2}-1,5^{2}-10

 y=(x+1,5)^{2}-12,25 .

1) Будуємо графік функції  y=x^{2} – параболу з центром в початку координат, вітки якої напрямлені вгору;

2)  y=(x+1,5)^{2} – отримуємо з графіка (1) шляхом паралельного перенесення на 1,5 одиниці вліво;

3)  y=(x+1,5)^{2}-12,25 – отримуємо з графіка (2) шляхом паралельного перенесення на 12,25 одиниці вниз.

Малюнок до задачі
Покрокова побудова графіка функції.

♦ 

Приклад 

Побудувати графіки функцій за допомогою геометричних перетворень:

 y=\frac{8}{x}; y=\frac{8}{x+2}; y=\frac{8}{x}+2

♦ Маємо обернену пропорційну залежність. Графіком такої функції буде гіпербола.

1)  y=\frac{1}{x} – гіпербола, розміщена в І і ІІІ координатних кутах;

2) y=\frac{8}{x} – отримуємо з графіка (1) шляхом розтягнення у 8 разів вздовж осі Оу; 

3)  y=\frac{8}{x+2} – отримуємо з графіка (2) шляхом паралельного перенесення вліво на 2 одиниці;

4)  y=\frac{8}{x}+2 – отримуємо з графіка (2) шляхом паралельного перенесення вгору на 2 одиниці.

Рисунок до задачі
Геометричні перетворення графіка функції.

♦