Границя

Приклад

Послідовність задано формулою n-го члена:

  a_{n}=\frac{n+1}{n+2} . Для заданого числа ε укажіть такий номер no, що для всіх n > no виконується нерівність: |an – 1| < ε:

1) ε = 1/7; 2) ε = 0,02; 3) ε = 2/11. 

♦ a)  \left| \frac{n+1}{n+2}\right|<\frac{1}{7};

 \left| \frac{n+1-n-2}{n+2}\right|<\frac{1}{7};

 \left| \frac{-1}{n+2}\right|<\frac{1}{7};

  \frac{1}{n+2}<\frac{1}{7};

 n+2>7;

 n>5;

 n=6.

б)   \left| \frac{n+1}{n+2}\right|<0,02;

 \left| \frac{n+1-n-2}{n+2}\right|<0,02;

 \left| \frac{-1}{n+2}\right|<0,02;

  \frac{1}{n+2}<\frac{2}{100};

  \frac{1}{n+2}<\frac{1}{50};

 n+2>50;

 n>48;

 n=49.

в)  \left| \frac{n+1}{n+2}\right|<\frac{2}{11};

 \left| \frac{n+1-n-2}{n+2}\right|<\frac{2}{11};

 \left| \frac{-1}{n+2}\right|<\frac{2}{11};

  \frac{1}{n+2}<\frac{2}{11};

 n+2>\frac{11}{2}; ;

 n+2>5,5;

 n>3,5;

 n=4.

Приклад

Довести, що: 

  \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n^{2}+4n-3}{5n^{2}-7n+1}=0,6 .

♦ Поділимо чисельник і знаменник дробу на n2. Отримаємо: 

 \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n^{2}+4n-3}{5n^{2}-7n+1}= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^{2}(3+\frac{4}{n}-\frac{3}{n^{2}})}{n^{2}(5-\frac{7}{n}+\frac{1}{n^{2}})}=  

 =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3}{5}=0,6 (оскільки  \frac{4}{n}\rightarrow 0,\; \frac{3}{n^{2}}\rightarrow 0,\; \frac{7}{n}\rightarrow 0,\; \frac{1}{n^{2}}\rightarrow 0 ), що і треба було довести.♦

Приклад

Обчислити границі:

а)  \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{16n+15}{-8n+9} ;

б)  \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(3n-2)(n+1)}{(n-1)(5n+4)} .

♦ а)  \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{16n+15}{-8n+9}= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n(16+\frac{15}{n})}{n(-8+\frac{9}{n})}=

 =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{16}{-8}=-2 (оскільки  \frac{15}{n}\rightarrow 0,\; \frac{9}{n}\rightarrow 0 ).

б)  \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(3n-2)(n+1)}{(n-1)(5n+4)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3n^{2}+n-2}{5n^{2}-n-4}=  

 =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^{2}(3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^{2}})}{n^{2}(5-\frac{1}{n}-\frac{4}{n^{2}})}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3}{5}=\frac{3}{5}

(оскільки  \frac{1}{n}\rightarrow 0,\; \frac{2}{n^{2}}\rightarrow 0,\; \frac{4}{n^{2}}\rightarrow 0 ).♦

Приклад

Обчислити границі:

а)   \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{7n}}{\frac{1}{7n}} ;

б)   \lim_{n\rightarrow 0}\frac{sinn^{2}}{\frac{n^{2}}{16}} ;

в)   \lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{10n+4} ;

г)   \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{2n}}{n} .

♦ а) Оскільки  \frac{1}{7n}\rightarrow 0 , то границя є першою чудовою. Тому  \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{7n}}{\frac{1}{7n}}=1 .

б)  \lim_{n\rightarrow 0}\frac{sinn^{2}}{\frac{n^{2}}{16}}=\lim_{n\rightarrow 0}\frac{16sinn^{2}}{n^{2}}=16\lim_{n\rightarrow 0}\frac{sinn^{2}}{n^{2}}=

= 16·1=16 .

в) Винесемо в чисельнику 2 за дужки. Отримаємо:

 \lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{10n+4}=\lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{2(5n+2)}=

 =\frac{1}{2}lim_{n\rightarrow -0,4}\frac{sin(5n+2)}{5n+2}=\frac{1}{2} .

г) Доділимо і домножимо знаменник дробу на 2n, отримаємо: 

 \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{2n}}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{sin\frac{1}{2n}}{2n^{2}\frac{1}{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2n^{2}}\cdot 1=0 .♦

Приклад

Обчислити границі функцій:

а)  \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+3x-2}{x+4} ;

б)  \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-6} ;

в)  \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{3}-2x^{2}+3x-6}{5x^{3}+3x^{2}-4x+2} ;

г)  \lim_{x\rightarrow 4}\frac{4-x}{2-\sqrt{x}} .

♦ а) Підставимо число -1 замість х та обчислимо значення границі:

 \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{2}+3x-2}{x+4} = \frac{(-1)^{2}+3\cdot (-1)-2}{-1+4}=

 =\frac{1-3-2}{3}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3} ;

б) При підстановці числа 2 замість х отримуємо невизначеність виду 0/0. Тому розкладемо на множники чисельник та знаменник дробу і скоротимо дріб.

 \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+x-6}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)}=

=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x+2}{x+3}=\frac{2+2}{2+3}=\frac{4}{5}  ;

в) Маємо невизначеність ∞/∞ . Винесемо найстарші степені чисельника та знаменника за дужки і скоротимо їх. Отримаємо:

  \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{3}-2x^{2}+3x-6}{5x^{3}+3x^{2}-4x+2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^{3}(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}-\frac{6}{x^{3}})}{x^{3}(5+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}})}=

 =\frac{1-0+0-0}{5+0-0+0}=\frac{1}{5} ;

г) Маємо невизначеність 0/0. Позбудемось ірраціональності в знаменнику дробу – домножимо чисельник і знаменник на спряжений вираз до знаменника:

 \lim_{x\rightarrow 4}\frac{4-x}{2-\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left( 4-x\right)\left(2+\sqrt{x} \right)}{\left( 2-\sqrt{x}\right)\left(2+\sqrt{x} \right)}=

 =\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\left( 4-x\right)\left(2+\sqrt{x} \right)}{4-x}=\lim_{x\rightarrow 4}(2+\sqrt{x})=2+\sqrt{4}=2+2=4 .♦

Приклад

Обчислити границю

  \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{2x}{2x+1} \right)^{5x} .

♦  \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{2x}{2x+1} \right)^{5x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{2x+1-1}{2x+1} \right)^{5x}=

 =\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{-2x-1} \right)^{5x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\left( 1+\frac{1}{-2x-1}\right)^{-2x-1}\right)^{\frac{5x}{-2x-1}}= .

Враховуючи, що  \lim_{x\rightarrow \infty}\left( 1+\frac{1}{-2x-1}\right)^{-2x-1}=e (друга важлива границя) та  \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x}{-2x-1}=

 =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x}{x\left(-2-\frac{1}{x} \right)}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5}{-2-\frac{1}{x}}=-\frac{5}{2}

 =e^{-\frac{5}{2}}=\frac{1}{e\frac{5}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e^{5}}} .♦

Приклад

Перевірити функцію на неперервність в заданій точці:

  f(x)=\left\{\begin{matrix} 2^{\frac{1}{x}}, -\infty<x<0,\\ x^{2},0\leq x<\infty. \end{matrix}\right. , х = 0. 

♦ Функція визначена в заданій точці:  f(0)=0^{2}=0

  \lim_{x\rightarrow 0-0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0-0}2^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0-0}2^{\infty}=\infty

  \lim_{x\rightarrow 0+0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0+0}x^{2}=\lim_{x\rightarrow 0+0}0^{2}=0 .

Оскільки, ліва границя дорівнює  \infty , то це значить, що точка х=0 є точкою розриву другого роду.

Отже, функція не є неперервною в точці х = 0. ♦

Приклад

Обчислити границю

 \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x-7}{x+1} \right)^{4x-2} .

 \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x-7}{x+1} \right)^{4x-2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x+1-8}{x+1} \right)^{4x-2}=

 =\lim_{x\rightarrow \infty}\left( \left(1-\frac{8}{x+1} \right)^{-\frac{x+1}{8}}\right)^{-\frac{8}{x+1}\cdot \left(4x-2 \right)}=\lim_{x\rightarrow \infty}e^{-\frac{16\left(2x-1 \right)}{x+1}}=

 =e^{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-16x(2-\frac{1}{x})}{x(1+\frac{1}{x})}}=e^{\lim_{x\rightarrow \infty}-16\cdot 2}=e^{-32}

Приклад

Обчислити границю функції

 \lim_{x\rightarrow -1}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{5+3x}}{3x^{2}+4x+1} .

 \lim_{x\rightarrow -1}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{5+3x}}{3x^{2}+4x+1}=\left(\frac{0}{0} \right)=

 =\lim_{x\rightarrow -1}\frac{\left( \sqrt{x+3}-\sqrt{5+3x}\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5+3x} \right)}{\left( 3x^{2}+4x+1\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5+3x} \right)}=

 =\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x+3-5-3x}{\left( 3x^{2}+4x+1\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5+3x} \right)}=

 =\lim_{x\rightarrow -1}\frac{-2(x+1)}{\left( 3x+1\right)\left(x+1 \right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5+3x} \right)}=

 =-2\lim_{x\rightarrow -1}\frac{1}{\left( 3x+1\right)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5+3x} \right)}=

 =-2\lim_{x\rightarrow -1}\frac{1}{-2\left(\sqrt{2}+\sqrt{2} \right)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}

Приклад

Обчислити границю

 \lim_{x\rightarrow\infty }\left(\frac{x-7}{x+1} \right)^{4x-2} .

♦ Щоб обчислити дану границю, потрібно привести її до вигляду другої важливої (чудової) границі:

 \lim_{x\rightarrow\infty }\left(\frac{x-7}{x+1} \right)^{4x-2}=\lim_{x\rightarrow\infty }\left(\frac{x+1-8}{x+1} \right)^{4x-2}=

 =\lim_{x\rightarrow\infty }\left[ \left(1-\frac{8}{x+1} \right)^{-\frac{x+1}{8}}\right]^{-\frac{8}{x+1}\cdot (4x-2)}=\lim_{x\rightarrow\infty }e^{\frac{-16\left(2x-1 \right)}{x+1}}= (в квадратних дужках маємо ІІ важливу границю   )

 =e^{\lim_{x\rightarrow\infty }\frac{-16\cdot x(2-\frac{1}{x}}{x\left(1+\frac{1}{x} \right)}}=e^{\lim_{x\rightarrow\infty }-16\cdot 2}=e^{-32} .♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *