Похідні та диференціали вищих порядків

Приклад

Знайти похідні другого порядку наступних функцій:

а) $y=5x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-x+6$ ;

б) $y=lnx$ ;

в) $y=sinx^{2}$ .

♦ a) $y'=20x^{3}+9x^{2}-4x-1$ ,

$y''=60x^{2}+18x-4$ ;

б) $y'=\frac{1}{x}$ ,

$y''=(x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}$ ;

в) $y'=2sinx\cdot cosx=sin 2x$ ,

$y''=2cos2x$ .♦

Приклад

Знайти похідну другого порядку від функції $y=e^{ctg^{2}x}$

♦ $y'=e^{ctg^{2}x}\cdot 2ctgx\cdot \left ( -\frac{1}{sin^{2}x} \right )=-2e^{ctg^{2}x\cdot \frac{ctgx}{sin^{2}x}}$

$y''=-2((e^{ctg^{2}x})'\cdot \frac{ctgx}{sin^{2}x}+e^{ctg^{2}x}\cdot \left ( \frac{ctgx}{sin^{2}x} \right )')=$

$=-2\left ( e^{ctg^{2}x}\cdot 2\cdot ctgx\cdot \left ( -\frac{2}{sin^{2}x} \right )\cdot \frac{ctgx}{sin^{2}x} +e^{ctg^{2}x}\cdot \frac{-\frac{1}{sin^{2}x}\cdot sin^{2}x-ctgx\cdot 2sinx\cdot cosx}{sin^{4}x}\right )=$

$=-2\left ( \frac{-4e^{ctg^{2}x}\cdot ctg^{2}x-e^{ctg^{2}x}-e^{ctg^{2}x}ctgx\cdot sin2x }{sin^{4}x} \right )=$

$= \frac{2e^{ctg^{2}x}}{sin^{4}x} \left ( 4ctg^{2}x+1+ctgx\cdot sin2x \right )$ ♦

Приклад

Знайти похідну другого порядку від функції заданої параметрично: $x=-2sin^{2}t, \; y=2cos^{2}t$

♦ Похідну другого порядку від параметрично заданої функції будемо обчислювати за формулою $y''_{xx}=\frac{y''_{tt}x'_{t}-x''_{tt}y'_{t}}{(x'_{t})^{3}}$ . Знайдемо всі похідні, що входять до складу формули.

$y'_{t}=4cost\cdot (-sint)=-2sin(2t),$

$y''_{tt}=-4cos(2t)$ ,

$x'_{t}=-4sint\cdot cost=-2sin(2t)$ ,

$x''_{tt}=-4cos(2t)$ .

Отже, маємо $y''_{xx}=\frac{-4cos(2t)\cdot (-2sin(2t))-(-4cos(2t))\cdot(-2sin(2t)) }{(-2sin(2t))^{3}}=$

$=\frac{4sin(4t)-4sin(4t)}{-8sin^{3}(2t)}=0$ .♦

Приклад

Знайти похідну другого порядку від функції заданої параметрично: $\left\{\begin{matrix} x=sh^{2}t,\\ y=\frac{1}{ch^{2}t} \end{matrix}\right.$

♦ Формулу, яка була використана у попередньому прикладі для обчислення похідної параметрично заданої функції, можна записати у вигляді ${y}_{xx}''=\frac{\left ( {y_{x}}' \right )'_{t}}{{x}_{t}'}$ , де ${y_{x}}'=\frac{{y(t)}'}{{x(t)}'}$ . Скористаємося нею для обчислення похідної.

${y(t)}'=(ch^{-2}t)'=-2ch^{-3}t\cdot sht=-\frac{2sht}{ch^{3}t}$

${x(t)}'=2sht\cdot cht$

${y_{x}}'=\frac{-2sht}{ch^{3}t\cdot 2sht\cdot cht}=-\frac{1}{ch^{4}t}$

${\left ({y_{x}}' \right )_{t}}'=(-ch^{-4}t)'=-(-4)ch^{-5}t\cdot sht=\frac{4sht}{ch^{5}t}$

${y_{xx}}''=\frac{4sht}{ch^{5}t\cdot 2sht\cdot cht}=\frac{2}{ch^{6}t}$

Отже, маємо ${y_{xx}}''=\frac{2}{ch^{6}t}$ ♦

Приклад

Швидкість прямолінійного руху тіла пропорційна квадратному кореню з пройденого шляху s. Довести, що тіло рухається під дією сталої сили.

♦ За умовою маємо $v=s'=k\sqrt{s},\; k=const$ . Оскільки $a=s''$ (механічний зміст другої похідної), то

$a = v' = (k \sqrt{s})' = k \frac{1}{2 \sqrt{s}}\cdot s' = k \frac{1}{2 \sqrt{s}}\cdot k \sqrt{s} =\frac{k^{2}}{2}$ .

За законом Ньютона сила $F=ma$ . Отже, $F=\frac{mk^{2}}{2}=const$ .♦

Приклад

Нехай задано функцію $z=5x^{2}y-2xy^{3}+4x^{3}+3y^{2}$ . Визначити $z'''_{x^{2}y}\; i\; z'''_{xyx}$ та порівняти їх.

♦ $z'_{x}= 10xy-2y^{3}+12x^{2}$ ;

$z''_{x^2} = 10y+24x$ ;

$z'''_{x^{2}y}=10$ ;

$z''_{xy} =10x-6y^{2}$ ;

$z'''_{xyx} =10$ .

Бачимо, що $z'''_{x^{2}y}\; i\; z'''_{xyx}$ рівні.♦

Приклад

Для заданої функції $f(x;y)=x^{2}y^{3}+x-y$ визначити $d^{3}f$ .

♦ Диференціал третього порядку для заданої функції будемо визначати за формулою $d^{3}f=f'''_{x^{3}}dx^{3}+3f'''_{x^{2}y}dx^{2}dy+3f'''_{xy^{2}}dxdy^{2}+f'''_{y^{3}}dy^{3}$ . Обчислимо всі похідні та диференціали, що входять до запису формули:

$f'_{x}=2xy^{3}+1$ , $f'_{y}=3x^{2}y^{2}-1$ ,

$f''_{x^{2}}=2y^{3}$ , $f''_{y^{2}}=6x^{2}y$ ,

$f'''_{x^{3}}=0$ , $f'''_{x^{3}}=6x^{2}$ ,

$f'''_{x^{2}y}=6y^{2}$ , $f'''_{xy^{2}}=12xy$ .

Отже, маємо: $d^{3}f=18y^{2}dx^{2}dy+36xydxdy^{2}+6x^{2}dy^{3}$ .♦