Приклад
Знайти похідні другого порядку наступних функцій:
а) ;
б) ;
в) .
♦ a) ,
;
б) ,
;
в) ,
.♦
Приклад
Знайти похідну другого порядку від функції заданої параметрично:
♦ Похідну другого порядку від параметрично заданої функції будемо обчислювати за формулою . Знайдемо всі похідні, що входять до складу формули.
,
,
.
Отже, маємо
.♦
Приклад
Швидкість прямолінійного руху тіла пропорційна квадратному кореню з пройденого шляху s. Довести, що тіло рухається під дією сталої сили.
♦ За умовою маємо . Оскільки
(механічний зміст другої похідної), то
.
За законом Ньютона сила . Отже,
.♦
Приклад
Нехай задано функцію . Визначити
та порівняти їх.
♦ ;
;
;
;
.
Бачимо, що рівні.♦
Приклад
Для заданої функції визначити
.
♦ Диференціал третього порядку для заданої функції будемо визначати за формулою . Обчислимо всі похідні та диференціали, що входять до запису формули:
,
,
,
,
,
,
,
.
Отже, маємо: .♦
Приклад
Дослідити функцію на екстремум в точці
за допомогою похідних вищих порядків.
♦
Оскільки, в т. х = 1 y” = 0, то визначатимемо екстремум функції за у’.
Візьмемо
Візьмемо
Отже, при переході через т. х = 1 перша похідна не змінює знак, а, отже, т. х = 1 не є точкою екстремуму заданої функції.♦