Приклад
Визначити яку поверхню задає рівняння:
а) ;
б) .
♦ a) ,
,
,
.
Рівняння задає конус (конічну поверхню), що насаджений на вісь Ох, для якого а = √8, b = 1, c = 1.
б) ,
,
.
Рівняння задає однопорожнинний гіперболоїд, насаджений на вісь Oz, для якого а = 3, b = √6, c = √18 = 3√2.♦
Приклад
Визначити тип поверхні, що задана рівнянням
. Знайти головні перерізи цієї поверхні.
♦ Для того, щоб визначити тип поверхні, спочатку запишемо її рівняння у канонічному вигляді. Для цього виділимо повні квадрати відносно змінних х, у та z:
Поділимо обидві частини отриманої рівності на 24:
Введемо заміну:
Отримаємо канонічне рівняння , яке задає двопорожнинний гіперболоїд з центром у точці О′(3; -1; 2).
Тепер знайдемо головні перерізи цієї поверхні в новій системі координат.
У перерізі поверхні площиною отримаємо порожню множину. У перерізі площиною
отримаємо гіперболу
, а площиною
– гіперболу
.
Якщо ж говорити про переріз поверхні площиною , то отримаємо:
а) порожню множину, якщо ;
б) точку , якщо
;
в) еліпс , якщо
.♦
Приклад
Скласти рівняння конічної поверхні, вершиною якої є точка К (0; 1; 2), а напрямною є крива
♦ Знаючи вершину конуса К (0; 1; 2), можемо скласти рівняння довільної його твірної – прямої, що проходить через точку К: де l i m – змінні параметри, залежність між якими знайдемо із системи рівнянь (умови перетину твірної та напрямної):
Виключимо із системи змінні x, y, z, розглянувши друге і третє рівняння системи:
Підставивши значення х та у у перше рівняння системи, дістанемо
або
.
Нехай М (х; у; z) – біжуча точка конічної поверхні. Тоді, ця точка лежить на деякій твірній. Виразимо l i m через біжучі координати поверхні x, y, z:
Підставимо ці значення в рівняння і отримаємо:
звідки і отримаємо рівняння конічної поверхні:
.♦
Приклад
Записати рівняння поверхні, утвореної при обертанні навколо осі Oz гіперболи, що лежить у площині xOz, має центр у початку координат, дійсну вісь a = 6, e = 5/2. Визначити тип поверхні.
♦ Визначимо рівняння гіперболи.
Оскільки а = 6, то е = с/а = ⇒ с = 6·5/2 = 15 ⇒
b2 = c2 – a2 = 152 – 62 = 225 – 36 = 289.
Отже, рівняння гіперболи має вигляд
Оскільки шукану поверхню дістаємо обертанням гіперболи навколо уявної осі Оz, то вона є однопорожнинним гіперболоїдом обертання, рівняння якого має вигляд: . ♦
Приклад
Дано поверхню
. Знайти перерізи заданої поверхні площинами
та точки її перетину з прямою
.
♦ Задана поверхня є гіперболічним параболоїдом. Знайдемо переріз цієї поверхні площиною :
Останнє рівняння визначає параболу, яка лежить у площині у = 4. Вершиною параболи є точка О’( 0; 4; -2), а параметр р=3.
Тепер знайдемо криву перетину даної поверхні площиною :
. Виділимо повні квадрати:
.
Отже, в перерізі отримали гіперболу: .
Центром цієї гіперболи є точка О’(3; 0; 3), півосі , а її вершини знаходяться у точках А1 (0; 0; 0) та А2 (6; 0; 6).
Для визначення точок перетину даної поверхні з прямою запишемо рівняння прямої в параметричному вигляді : x = 2t +1, y = 4t – 2, z = t.
Підставивши ці значення у рівняння поверхні, отримаємо:
.
.
.
Підставивши ці значення у рівняння прямої, отримаємо дві точки перетину прямої з поверхнею:
.♦
Приклад
Визначити тип поверхні, яку задає кожне з рівнянь:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
♦а) – сфера з центром у точці М (1; -2; 3) та радіусом R=4.
б) – еліпсоїд, утворений обертанням навколо осі Оу еліпса
.
в) – однопорожнинний гіперболоїд обертання, що утворюється обертанням гіперболи
, що лежить у площині xOz, навколо осі Oz.
г) – двопорожнинний гіперболоїд, насаджений на вісь Oz.
д) – еліптичний параболоїд, насаджений на вісь Ох.
е) – гіперболічний параболоїд, насаджений на вісь Оу.♦
Приклад
Знайти об’єм тіла, обмеженого заданою поверхнею за відомою площею паралельного перерізу.
.
♦
Маємо рівняння еліптичного параболоїда.

В перерізі його площиною z=2 утворюється еліпс:
або
, тобто
.
Значить, площа цього перерізу дорівнює
.
Межами інтегрування є проміжок [0;2].
Тому: .♦