Тригонометричні рівняння та нерівності

Приклад

Розв’язати нерівність: tg 2x ≤ -1. 

♦ Нанесемо на лінію тангенсів точку -1 і точки, що лежать нижче цієї точки. Цим точкам лінії тангенсів відповідає дуга Pα Pβ (α < β) одиничного кола.

Оскільки  \alpha =-\frac{\pi }{2} , а  \beta = arctg (-1)=-arctg1=-\frac{\pi }{4} ,

то -\frac{\pi }{2}+\pi n<2x<\beta +\pi n,\; n\in Z  ;

 -\frac{\pi }{2}+\pi n<2x<-\frac{\pi }{4} +\pi n,\; n\in Z ;

 -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi}{2} n<2x<-\frac{\pi }{8} +\frac{\pi}{2} n,\; n\in Z .

Отже,  x\in \left(-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi}{2} n;-\frac{\pi }{8} +\frac{\pi}{2} n \right),n\in Z .♦

Приклад

Розв’язати систему рівнянь: 

 \left\{\begin{matrix} siny=5sinx,\\ 3cosx+cosy=2. \end{matrix}\right.

♦  \left\{\begin{matrix} siny=5sinx,\\ cosy=2 - 3cosx; \end{matrix}\right.

  \left\{\begin{matrix} sin^{2}y=25sin^{2}x,\\ cos^{2}y=4 - 12cosx+9cos^{2}x. \end{matrix}\right.

Додавши почленно рівняння системи, одержимо: 

 1=25sin^{2}x+4-12cosx+9cos^{2}x

 25(1-cos^{2}x)-12cosx+9cos^{2}x+3=0

 16cos^{2}x+12cosx-28=0  .

Нехай cos x = t, тоді 

 16t^{2}+12t-28=0

 4t^{2}+3t-7=0 ;

D=9+112=121

 t_{1}=\frac{-3+11}{8}=1;\; t_{2}=\frac{-3-11}{8}=-\frac{14}{8}=-\frac{7}{4}

Тригонометричні рівняння та нерівності

Тригонометричні рівняння та нерівності

(2πn; π(2k+1)), n, k ∈ Z – розв’язок заданої системи рівнянь.♦

Приклад

Розв’язати рівняння:

а)  arcsin(x^{2}-4x+4)=\frac{\pi }{2} ;

б)  12arctg^{2}x-\pi arctgx-\pi ^{2}=0 ;

в)  arcsin^{2}x-2arcsinx-3=0 ;

г)  arccos^{2}x-arccosx-2=0 ;

д)  arccosx=arctgx ;

е)  arcsinx=2arctgx ;

є)  sin(3arccosx)=\frac{1}{2} ; ж)  arcsin^{2}x+arccos^{2}x=\frac{5\pi ^{2}}{36} .

а)  arcsin(x^{2}-4x+4)=\frac{\pi }{2} ;

Таке рівняння розв’язується безпосередньо за означенням арксинуса. Тобто потрібно знайти таке значення виразу, що виступає як аргумент арксинуса, для якого арксинус дорівнює  \frac{\pi }{2} .

А саме:  x^{2}-4x+4 = 1\Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0\Leftrightarrow x_{1}=1,x_{2}=3.

Відповідь: 1; 3.  

б)  12arctg^{2}x-\pi arctgx-\pi ^{2}=0 ;

Рівняння такого типу розв’язуються через заміну змінної. Ввівши заміну  arctgx=t , отримаємо квадратне рівняння відносно t:

 12t^{2}-\pi t-\pi ^{2}=0\Leftrightarrow t_{1}=\frac{\pi }{3},\: t_{2}=-\frac{\pi }{4}. .

Повертаючись до заміни, отримаємо:

 arctgx=\frac{\pi }{3}, \: arctgx=-\frac{\pi }{4}\Leftrightarrow x=\sqrt{3},\; x=-1. .

Відповідь:  \sqrt{3},\; -1.  

в)  arcsin^{2}x-2arcsinx-3=0 ;

Рівняння розв’язується аналогічно до попереднього випадку.

Введемо заміну:  arcsinx=t .

Отримаємо рівнняння:  t^{2}-2t-3=0\Leftrightarrow t_{1}=3,\: t_{2}=-1 .

Але на змінну t потрібно накласти обмеження  -\frac{\pi }{2}\leq t\leq \frac{\pi }{2} , оскільки множина значень арксинуса це проміжок  \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right] .

Тому маємо:  t_{1}=3 – не задовольняє умову заміни;  t_{2}=-1\Leftrightarrow x=sin(-1)=-sin1 .

Відповідь: – sin 1.

г)  arccos^{2}x-arccosx-2=0 ;

Розв’язуємо рівняння як і у попередньому випадку. Введемо заміну  arccosx=t . Отримаємо квадратне рівняння:

 t^{2}-t-2=0 .

На змінну t накладемо обмеження   0\leq t\leq \pi , оскільки множина значень аркосинуса – це проміжок  \left[0;\pi \right] . Тому  t_{1}=2 \Leftrightarrow arccosx=2\Rightarrow x=cos2, а  t_{2}=-1 – не задовольняє заміну.

Відповідь: cos 2.

д)  arccosx=arctgx ;

Візьмемо косинуси лівої та правої частини рівняння:  cos(arccosx)=cos(arctgx) .

В правій частині рівняння виразимо косинус через тангенс:  x= \pm \sqrt{\frac{1}{1+tg^{2}(arctgx)}} . Областю визначення можуть бути числа із множини [-1; 1]. Враховуючи, що областю значень аркосинуса є множина  \left[0;\pi \right] , а арктангенса –  \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) , то їх рівнясть можлива лише при  [0;\frac{\pi }{2})  . На цьому проміжку косинус додатній, тому візьмемо додатнє значення кореня. Отримаємо рівняння:

 x= \sqrt{\frac{1}{1+tg^{2}(arctgx)}} ,  x=\sqrt{\frac{1}{1+x^{2}}} . Враховуючи, що  x\geq 0 , можемо піднести обидві частини цього рівняння до квадрату і отримаємо:

 x^{2}=\frac{1}{1+x^{2}},

 x^{2}+x^{4}=1,

 x^{4}+x^{2}-1=0,

 D=1-4\cdot (-1)=5

 x^{2}_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},

 x^{2}_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},

 x=\pm \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}

Враховуючи, що  x\geq 0 , отримаємо

 x=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} .

Відповідь:  x=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}} .

е)  arcsinx=2arctgx ,

Областю визначення можуть бути числа із множини [-1; 1].

Аналогічно до попереднього прикладу, розглянемо області значень функцій.

Функція арксинус набуває значень  \left[ -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right] , а функція арктангенс  \left[-\frac{\pi }{4}; \frac{\pi }{4} \right] .

Отже, обидві частини рівності можуть набувати значень  \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right] .

Візьмемо синуси лівої та правої частини  sin(arcsinx)=sin(2arctgx) .

В лівій частині маємо  sin(arcsinx)=x .

В правій частині виразимо синус через тангенс половинного кута  sin(2arctgx)=\frac{2tg(arctgx)}{1+tg^{2}(arctgx)}=\frac{2x}{1+x^{2}} .

Отже, перейдемо до рівняння:

x=\frac{2x}{1+x^{2}} ,

 x+x^{3}=2x ,

 x^{3}-x=0 ,

 x(x^{2}-1)=0 ,

 x_{1}=-1, \: x_{2}=0,\: x_{3}=1 .

Відповідь: -1; 0; 1.

є)  sin(3arccosx)=\frac{1}{2}

За формулою розв’язування рівняння sin x= a, отримаємо сукупність:

 \begin{matrix} 3arccosx=\frac{\pi }{6}+2\pi n,\\ 3arccosx=\frac{5\pi }{6}+2\pi n \end{matrix}\Leftrightarrow ,

 \begin{matrix} arccosx=\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}=\frac{\pi \left(1+12n \right)}{18},\\ arccosx=\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}=\frac{\pi \left(5+12n \right)}{18}\: (n\in Z). \end{matrix}\Leftrightarrow  ,

З урахуванням того, що  0\leq arccosx\leq \pi  , із першої сукупності підходять лише  \frac{\pi }{18}  та  \frac{13\pi }{18}  , а із другої підходять лише  \frac{5\pi }{18} та  \frac{17\pi }{18} .

Відповідно отримуємо розв’язок нашого рівняння  \begin{matrix} arccosx=\frac{\pi }{18},\\ arccosx=\frac{13\pi }{18},\\ arccosx=\frac{5\pi }{18},\\ arccosx=\frac{17\pi }{18}. \end{matrix} .

Об’єднавши розв’язки, запишемо:

 \pm cos\frac{\pi }{18},\: \pm cos\frac{5\pi }{18} .

Відповідь:  \pm cos\frac{\pi }{18},\: \pm cos\frac{5\pi }{18} .  

ж)  arcsin^{2}x+arccos^{2}x=\frac{5\pi ^{2}}{36}

Нехай  t=arcsinx, , тоді  arccosx=\frac{\pi }{2}-t .

Маємо:  t^{2}+\left(\frac{\pi }{2}-t \right)^{2}=\frac{5\pi ^{2}}{36}\Leftrightarrow 2t^{2}-\pi t+\frac{\pi ^{2}}{9}=0 .

Розв’язуємо квадратне рівняння:

 t^{2}-\frac{\pi }{2}t+\frac{\pi ^{2}}{18}=0, ,

 t_{1}\cdot t_{2}=\frac{\pi ^{2}}{18} ,

 t_{1}+ t_{2}=\frac{\pi }{2} ,

 t_{1}=\frac{\pi }{3},\; t_{2}=\frac{\pi }{6} .

Звідки  x_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},\; x_{2}=\frac{1}{2} .

Відповідь:  \frac{\sqrt{3}}{2},\: \frac{1}{2} .