Тригонометричні рівняння та нерівності

Приклад

Розв’язати нерівність: tg 2x ≤ -1.

_{♦ Нанесемо на лінію тангенсів точку -1 і точки, що лежать нижче цієї точки. Цим}точкам лінії тангенсів відповідає дуга P_αP_β(α < β) одиничного кола.

Оскільки $\alpha =-\frac{\pi }{2}$ , а $\beta = arctg (-1)=-arctg1=-\frac{\pi }{4}$ ,

то $-\frac{\pi }{2}+\pi n<2x<\beta +\pi n,\; n\in Z$ ;

$-\frac{\pi }{2}+\pi n<2x<-\frac{\pi }{4} +\pi n,\; n\in Z$ ;

$-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi}{2} n<2x<-\frac{\pi }{8} +\frac{\pi}{2} n,\; n\in Z$ .

Отже, $x\in \left(-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi}{2} n;-\frac{\pi }{8} +\frac{\pi}{2} n \right),n\in Z$ .♦

Приклад

Розв’язати систему рівнянь:

$\left\{\begin{matrix} siny=5sinx,\\ 3cosx+cosy=2. \end{matrix}\right.$

♦ $\left\{\begin{matrix} siny=5sinx,\\ cosy=2 - 3cosx; \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} sin^{2}y=25sin^{2}x,\\ cos^{2}y=4 - 12cosx+9cos^{2}x. \end{matrix}\right.$

Додавши почленно рівняння системи, одержимо:

$1=25sin^{2}x+4-12cosx+9cos^{2}x$ ;

$25(1-cos^{2}x)-12cosx+9cos^{2}x+3=0$ ;

$16cos^{2}x+12cosx-28=0$ .

Нехай cos x = t, тоді

$16t^{2}+12t-28=0$ ;

$4t^{2}+3t-7=0$ ;

$D=9+112=121$ ;

$t_{1}=\frac{-3+11}{8}=1;\; t_{2}=\frac{-3-11}{8}=-\frac{14}{8}=-\frac{7}{4}$ .

(2πn; π(2k+1)), n, k ∈ Z – розв’язок заданої системи рівнянь.♦

Приклад

Розв’язати рівняння:

а) $arcsin(x^{2}-4x+4)=\frac{\pi }{2}$ ;

б) $12arctg^{2}x-\pi arctgx-\pi ^{2}=0$ ;

в) $arcsin^{2}x-2arcsinx-3=0$ ;

г) $arccos^{2}x-arccosx-2=0$ ;

д) $arccosx=arctgx$ ;

е) $arcsinx=2arctgx$ ;

є) $sin(3arccosx)=\frac{1}{2}$ ; ж) $arcsin^{2}x+arccos^{2}x=\frac{5\pi ^{2}}{36}$ .

а) $arcsin(x^{2}-4x+4)=\frac{\pi }{2}$ ;

Таке рівняння розв’язується безпосередньо за означенням арксинуса. Тобто потрібно знайти таке значення виразу, що виступає як аргумент арксинуса, для якого арксинус дорівнює $\frac{\pi }{2}$ .

А саме: $x^{2}-4x+4 = 1\Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0\Leftrightarrow x_{1}=1,x_{2}=3.$

Відповідь: 1; 3.

б) $12arctg^{2}x-\pi arctgx-\pi ^{2}=0$ ;

Рівняння такого типу розв’язуються через заміну змінної. Ввівши заміну $arctgx=t$ , отримаємо квадратне рівняння відносно t:

$12t^{2}-\pi t-\pi ^{2}=0\Leftrightarrow t_{1}=\frac{\pi }{3},\: t_{2}=-\frac{\pi }{4}.$ .

Повертаючись до заміни, отримаємо:

$arctgx=\frac{\pi }{3}, \: arctgx=-\frac{\pi }{4}\Leftrightarrow x=\sqrt{3},\; x=-1.$ .

Відповідь: $\sqrt{3},\; -1.$

в) $arcsin^{2}x-2arcsinx-3=0$ ;

Рівняння розв’язується аналогічно до попереднього випадку.

Введемо заміну: $arcsinx=t$ .

Отримаємо рівнняння: $t^{2}-2t-3=0\Leftrightarrow t_{1}=3,\: t_{2}=-1$ .

Але на змінну t потрібно накласти обмеження $-\frac{\pi }{2}\leq t\leq \frac{\pi }{2}$ , оскільки множина значень арксинуса це проміжок $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]$ .

Тому маємо: $t_{1}=3$ – не задовольняє умову заміни; $t_{2}=-1\Leftrightarrow x=sin(-1)=-sin1$ .

Відповідь: – sin 1.

г) $arccos^{2}x-arccosx-2=0$ ;

Розв’язуємо рівняння як і у попередньому випадку. Введемо заміну $arccosx=t$ . Отримаємо квадратне рівняння:

$t^{2}-t-2=0$ .

На змінну t накладемо обмеження $0\leq t\leq \pi$ , оскільки множина значень аркосинуса – це проміжок $\left[0;\pi \right]$ . Тому $t_{1}=2 \Leftrightarrow arccosx=2\Rightarrow x=cos2$ , а $t_{2}=-1$ – не задовольняє заміну.

Відповідь: cos 2.

д) $arccosx=arctgx$ ;

Візьмемо косинуси лівої та правої частини рівняння: $cos(arccosx)=cos(arctgx)$ .

В правій частині рівняння виразимо косинус через тангенс: $x= \pm \sqrt{\frac{1}{1+tg^{2}(arctgx)}}$ . Областю визначення можуть бути числа із множини [-1; 1]. Враховуючи, що областю значень аркосинуса є множина $\left[0;\pi \right]$ , а арктангенса – $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$ , то їх рівнясть можлива лише при $[0;\frac{\pi }{2})$ . На цьому проміжку косинус додатній, тому візьмемо додатнє значення кореня. Отримаємо рівняння:

$x= \sqrt{\frac{1}{1+tg^{2}(arctgx)}}$ , $x=\sqrt{\frac{1}{1+x^{2}}}$ . Враховуючи, що $x\geq 0$ , можемо піднести обидві частини цього рівняння до квадрату і отримаємо:

$x^{2}=\frac{1}{1+x^{2}},$

$x^{2}+x^{4}=1,$

$x^{4}+x^{2}-1=0,$

$D=1-4\cdot (-1)=5$

$x^{2}_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},$

$x^{2}_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},$

$x=\pm \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

Враховуючи, що $x\geq 0$ , отримаємо

$x=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$ .

Відповідь: $x=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$ .

е) $arcsinx=2arctgx$ ,

Областю визначення можуть бути числа із множини [-1; 1].

Аналогічно до попереднього прикладу, розглянемо області значень функцій.

Функція арксинус набуває значень $\left[ -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right]$ , а функція арктангенс $\left[-\frac{\pi }{4}; \frac{\pi }{4} \right]$ .

Отже, обидві частини рівності можуть набувати значень $\left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]$ .

Візьмемо синуси лівої та правої частини $sin(arcsinx)=sin(2arctgx)$ .

В лівій частині маємо $sin(arcsinx)=x$ .

В правій частині виразимо синус через тангенс половинного кута $sin(2arctgx)=\frac{2tg(arctgx)}{1+tg^{2}(arctgx)}=\frac{2x}{1+x^{2}}$ .

Отже, перейдемо до рівняння:

$x=\frac{2x}{1+x^{2}}$ ,

$x+x^{3}=2x$ ,

$x^{3}-x=0$ ,

$x(x^{2}-1)=0$ ,

$x_{1}=-1, \: x_{2}=0,\: x_{3}=1$ .

Відповідь: -1; 0; 1.

є) $sin(3arccosx)=\frac{1}{2}$

За формулою розв’язування рівняння sin x= a, отримаємо сукупність:

$\begin{matrix} 3arccosx=\frac{\pi }{6}+2\pi n,\\ 3arccosx=\frac{5\pi }{6}+2\pi n \end{matrix}\Leftrightarrow$ ,

$\begin{matrix} arccosx=\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}=\frac{\pi \left(1+12n \right)}{18},\\ arccosx=\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi n}{3}=\frac{\pi \left(5+12n \right)}{18}\: (n\in Z). \end{matrix}\Leftrightarrow$ ,

З урахуванням того, що $0\leq arccosx\leq \pi$ , із першої сукупності підходять лише $\frac{\pi }{18}$ та $\frac{13\pi }{18}$ , а із другої підходять лише $\frac{5\pi }{18}$ та $\frac{17\pi }{18}$ .

Відповідно отримуємо розв’язок нашого рівняння $\begin{matrix} arccosx=\frac{\pi }{18},\\ arccosx=\frac{13\pi }{18},\\ arccosx=\frac{5\pi }{18},\\ arccosx=\frac{17\pi }{18}. \end{matrix}$ .