Похідні та диференціали вищих порядків

Приклад

Знайти похідні другого порядку наступних функцій:

а)  y=5x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-x+6;

б) y=lnx ;

в) y=sinx^{2} .

♦ a)  y'=20x^{3}+9x^{2}-4x-1,

y''=60x^{2}+18x-4 ;

б) y'=\frac{1}{x} ,

y''=(x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}} ;

в) y'=2sinx\cdot cosx=sin 2x,

y''=2cos2x .♦

Приклад

Знайти похідну другого порядку від функції заданої параметрично: x=-2sin^{2}t, \; y=2cos^{2}t

♦ Похідну другого порядку від параметрично заданої функції будемо обчислювати за формулою  y''_{xx}=\frac{y''_{tt}x'_{t}-x''_{tt}y'_{t}}{(x'_{t})^{3}} . Знайдемо всі похідні, що входять до складу формули.

y'_{t}=4cost\cdot (-sint)=-2sin(2t),

y''_{tt}=-4cos(2t) ,

 x'_{t}=-4sint\cdot cost=-2sin(2t),

x''_{tt}=-4cos(2t) .

Отже, маємо y''_{xx}=\frac{-4cos(2t)\cdot (-2sin(2t))-(-4cos(2t))\cdot(-2sin(2t)) }{(-2sin(2t))^{3}}=

 =\frac{4sin(4t)-4sin(4t)}{-8sin^{3}(2t)}=0.♦

Приклад

Швидкість прямолінійного руху тіла пропорційна квадратному кореню з пройденого шляху s. Довести, що тіло рухається під дією сталої сили.

За умовою маємо v=s'=k\sqrt{s},\; k=const . Оскільки a=s'' (механічний зміст другої похідної), то

 a = v' = (k \sqrt{s})' = k \frac{1}{2 \sqrt{s}}\cdot s' = k \frac{1}{2 \sqrt{s}}\cdot k \sqrt{s} =\frac{k^{2}}{2}.

За законом Ньютона сила F=ma . Отже,  F=\frac{mk^{2}}{2}=const.♦

Приклад

Нехай задано функцію  z=5x^{2}y-2xy^{3}+4x^{3}+3y^{2}. Визначити z'''_{x^{2}y}\; i\; z'''_{xyx} та порівняти їх. 

♦ z'_{x}= 10xy-2y^{3}+12x^{2} ;

z''_{x^2} = 10y+24x ;

 z'''_{x^{2}y}=10;

z''_{xy} =10x-6y^{2} ;

 z'''_{xyx} =10.

Бачимо, що z'''_{x^{2}y}\; i\; z'''_{xyx} рівні.♦

Приклад

Для заданої функції f(x;y)=x^{2}y^{3}+x-y визначитиd^{3}f .

Диференціал третього порядку для заданої функції будемо визначати за формулою d^{3}f=f'''_{x^{3}}dx^{3}+3f'''_{x^{2}y}dx^{2}dy+3f'''_{xy^{2}}dxdy^{2}+f'''_{y^{3}}dy^{3} . Обчислимо всі похідні та диференціали, що входять до запису формули:

 f'_{x}=2xy^{3}+1,                      f'_{y}=3x^{2}y^{2}-1 ,

f''_{x^{2}}=2y^{3} ,                                f''_{y^{2}}=6x^{2}y  ,

f'''_{x^{3}}=0 ,                                     f'''_{x^{3}}=6x^{2} ,

 f'''_{x^{2}y}=6y^{2},                            f'''_{xy^{2}}=12xy.

Отже, маємо:  d^{3}f=18y^{2}dx^{2}dy+36xydxdy^{2}+6x^{2}dy^{3}.♦

Приклад

Дослідити функцію  y=x^{2}-2e^{x-1} на екстремум в точці
 x_{0}=1 за допомогою похідних вищих порядків.

 y'=\left(x^{2}-2e^{x-1} \right)'=\left(x^{2} \right)'-\left(2e^{x-1} \right)'=

 =2x-2\left(e^{x-1} \right)'=2x-2e^{x-1} (x-1)'=

 =2x-2e^{x-1} \cdot 1 =2x-2e^{x-1}

 y''=\left(2x-2e^{x-1} \right)'=(2x)'-\left(2e^{x-1} \right)'=

 =2-2\left(e^{x-1} \right)'=2-2e^{x-1}(x-1)'=

 =2-2e^{x-1}\cdot 1=2-2e^{x-1}

 y''(x_{0})=y''(1)=2-2\cdot e^{1-1}=2-2\cdot e^{0}=0

Оскільки, в т. х = 1 y” = 0, то визначатимемо екстремум функції за у’.

 y'=2x-2e^{x-1}

Візьмемо  y(0)=2\cdot 0-2\cdot e^{0-1}=0-2e^{-1}=-\frac{2}{e}<0,

Візьмемо  y(2)=2\cdot 2-2\cdot e^{2-1}=4-2\cdot e^{2-1}=

 = 4-2\cdot e=4-5,52=-1,52<0

Отже, при переході через т. х = 1 перша похідна не змінює знак, а, отже, т. х = 1 не є точкою екстремуму заданої функції.♦