Похідна, її зміст та обчислення

Приклад

Обчислити похідну функції, користуючись означенням похідної:

а) f\left(x \right)=e^{3x},\; x_{o}=1 ;

б)f(x)=sin2x .

а) Надамо змінній  х приросту Δх і обчислимо приріст функції Δf(х): f(1+\Delta x)=e^{3(1+\Delta x)},\; \; \Delta f(1)=e^{3(1+\Delta x)}-e^{3}=e^{3}(e^{3\Delta x}-1) .

Складемо відношення приросту функції до приросту аргумента:  \frac{\Delta f(1)}{\Delta x}=\frac{e^{3}(e^{3\Delta x}-1)}{\Delta x}.

Обчислимо границю отриманого відношення, а значить і саму похідну f'(1)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{e^{3}(e^{3\Delta x}-1)}{\Delta x}=3e^{3} .

б) Аналогічно до попереднього випадку:

 f(x+\Delta x)=sin 2(x+\Delta x),

\Delta f\left(x \right)=sin2(x+\Delta x)-sin2x=2sin(\Delta x)\cdot cos(2x+\Delta x);

\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=2\cdot \frac{sin\Delta x}{\Delta x}cos(2x+\Delta x);

 f'(x)=2\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin\Delta x}{\Delta x}\cdot \lim_{\Delta x\rightarrow 0}cos(2x+\Delta x)=2\cdot 1\cdot cos2x=2cos2x, оскільки cos2x – неперервна функція.

Отже, (sin 2x)’ = 2 cos 2x.♦

Приклад

Обчислити похідні заданих функцій, користуючись правилами диференціювання та таблицею похідних:

а) y=x^{3}-2x^{2}+4x-13 ;

б) y=lnx\cdot 8^{x} ;

в) y=5\sqrt[5]{x^{7}} ;

г)  y=\frac{sinx}{cosx-1}.

♦ а) y'=3x^{2}-4x+4 ;

б)  y'=(lnx)'\cdot 8^{x}+lnx\cdot (8^{x})'=\frac{1}{x}\cdot 8^{x} + lnx \cdot ln8\cdot8^{x};

в) y'=(5\sqrt[5]{x^{7}})'=(5x^{\frac{7}{5}})'=5\cdot \frac{7}{5}\cdot x^{\frac{7}{5}-1}=7x^{\frac{2}{5}}=7\sqrt[5]{x^{2}} ;

г)  y'=\frac{sin'x(cosx - 1)-sinx(cosx-1)'}{(cosx-1)^{2}}=\frac{cos^{2}x-cosx+sin^{2}x}{(cosx-1)^{2}}=

=\frac{1-cosx}{(cosx-1)^{2}}=\frac{1}{1-cosx} .♦

Приклад

Обчислити похідні складених функцій:

а) y=sin(x^{3}+2x) ;

б)  y=ln^{2}(cos(1-2x));

в) y=\sqrt{x^{2}-ln\;  tg (3x-5)} .

♦ а)  y'=cos(x^{3}+2x)\cdot (3x^{2}+2) ;

б)  y'=\frac{1}{cos(1-2x)}\cdot (-sin (1-2x))\cdot (-2)=\frac{2sin(1-2x)}{cos(1-2x)}=

=2tg(1-2x) ;

в) y'=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-ln\;  tg (3x-5)}}(2x-\frac{1}{tg(3x-5)}\cdot \frac{1}{cos^{2}(3x-5)}\cdot 3)=

=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-ln\;  tg (3x-5)}}(2x - \frac{3}{sin(3x-5)cos(3x-5)})=

=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-ln\;  tg (3x-5)}}(2x - \frac{3}{\frac{1}{2}sin(6x-10)})=

=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-ln\;  tg (3x-5)}}\frac{2xsin(6x-10)-6}{sin(6x-10)}=

=\frac{xsin(6x-10)-3}{sin(6x-10)\sqrt{x^{2}-ln\;  tg (3x-5)}} .♦

Приклад

Обчислити похідну функції  f(x)=e^{ctgx}  в точці  x_{o}=\frac{\pi }{4} .

Спочатку обчислимо похідну функції в загальному вигляді. 

f'(x)=e^{ctgx}(-\frac{1}{sin^{2}x}).

Підставимо значення хо у вираз похідної.

f'(\frac{\pi }{4})=e^{ctg\frac{\pi }{4}}(-\frac{1}{sin^{2}\frac{\pi }{4}})=e(-\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}})=-2e.

Приклад

Обчислити похідну степенево-показникової функції  y=x^{(1-cosx)} .

Використаємо логарифмічну похідну для заданої функції. Для цього прологарифмуємо обидві частини рівності.  lny=lnx^{(1-cosx)}.

Візьмемо похідні від обох частин рівності: \left( lny\right)'=\left( lnx^{(1-cosx)}\right)'

Оскільки, у – функція, залежна від х, то ліву в лівій частині беремо похідну від складеної функції:

 \frac{1}{y}\cdot y'=\left(1-cosx \right)'lnx+\left(1-cosx  \right)ln'x,

\frac{y'}{y}=sinx\cdot lnx+\left(1-cosx) \right)\frac{1}{x} ,

\frac{y'}{y}=sinx\cdot lnx+\frac{1}{x}-\frac{cosx}{x} .

Виразимо значення у’ з останньої рівності:

y'=y(sinx\cdot lnx+\frac{1}{x}-\frac{cosx}{x}) ,

y'=x^{(1-cosx)}(sinx\cdot lnx+\frac{1}{x}-\frac{cosx}{x}) .♦

Приклад

Знайти похідну функції, заданої неявно у2 + х2 = sin y.

♦ Функція задана неявно. Тому продиференціюємо праву і ліву частини по змінній х, враховуючи, що функція у залежить від х. 

 \left(y^{2}+x^{2} \right)'=\left(siny \right)',

 2y\cdot y'+2x=cosy\cdot y'

Перенесемо всі доданки, що містять у’ в одну частину, а решту – в іншу:

 2y\cdot y'-cosy\cdot y'=-2x,

 y'(2y-cosy)=-2x

Виразимо у’:

 y'=-\frac{2x}{2y-cosy}  – похідна заданої функції.♦

Приклад

Знайти похідну функції, заданої параметрично: 

 \left\{\begin{matrix} x=t^{4},\\ y=lnt. \end{matrix}\right. .

♦ За формулою  \frac{dy}{dx}=y_{x}'=\frac{y'(t)}{x'(t)}

 y'(t)=\frac{1}{t}

 x'(t)=4t^{3} .

Тоді:  y_{x}'=\frac{\frac{1}{t}}{4t^{3}}=\frac{1}{4t^{4}}  – похідна заданої функції.

Приклад

Обчислити похідну функції  y=e^{arctg\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}} .

♦  y'=e^{arctg\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}}\cdot \frac{1}{1+\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}^{2}}\times

  \times \frac{1}{2\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}}\cdot \frac{1}{2x+3}\cdot 2=

  =\frac{e^{arctg\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}}}{\left(2x+3 \right)\sqrt{1+ln\left(2x+3 \right)}\cdot \left(2+ln\left(2x+3 \right) \right)} .♦

Приклад

Обчислити похідну функції  y = arcsin\: e^{x}-\sqrt{1-e^{2x}}

 y' = (arcsin\: e^{x}-\sqrt{1-e^{2x}})'=

 =(arcsin\: e^{x})'-(\sqrt{1-e^{2x}})'=

 =\frac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot (e^{x})'-\frac{1}{2\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot \left(1-e^{2x} \right)=

 =\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}-\frac{1}{2\sqrt{1-e^{2x}}}\cdot \left(-2e^{2x} \right)=

 =\frac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}}\left(e^{x}+e^{2x} \right)=\frac{e^{x}+e^{2x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}

Приклад

Обчислити похідну степенево-показникової функції  y = \left(x^{3}+4 \right)^{tgx}

 y=U^{V},\; U=x^{3}+4,\; V=tgx

 \left(U^{V} \right)'=U^{V}\left(V'lnU+V\cdot \left(lnU \right)' \right)

 y'=\left(x^{3}+4 \right)^{tgx}\left(\left(tgx \right)'ln\left(x^{3}+4 \right)+tgx\left(ln(x^{3}+4) \right)'\right)=

 =\left(x^{3}+4 \right)^{tgx}\left(\frac{1}{cos^{2}x} \cdot ln\left(x^{3}+4 \right)+tgx\cdot \frac{1}{x^{3}+4}\cdot \left(x^{3}+4 \right)'\right)=

 =\left(x^{3}+4 \right)^{tgx}\left(\frac{ln\left(x^{3}+4 \right)}{cos^{2}x}+\frac{3x^{2}tgx}{x^{3}+4} \right)

Приклад

Обчислити похідну функції  y=x\cdot 2^{\sqrt{x}} .

 y'=\left(x\cdot 2^{\sqrt{x}} \right)'=x'\cdot 2^{\sqrt{x}}+x\cdot \left(2^{\sqrt{x}} \right)'=

 =1\cdot 2^{\sqrt{x}}+x\cdot 2^{\sqrt{x}}\cdot ln2\cdot \left(\sqrt{x} \right)'=

 =2^{\sqrt{x}}+x\cdot 2^{\sqrt{x}}\cdot ln2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=

 =2^{\sqrt{x}}+\frac{x\cdot ln2\cdot 2^{\sqrt{x}-1}}{\sqrt{x}}=2^{\sqrt{x}}+ln2\cdot \sqrt{x}\cdot 2^{\sqrt{x}-1}

Приклад

Обчислити похідну функції:
а)  y=\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}}+25 \right)^{3} ;
б)  y=\frac{21x-9}{5-x^{3}} .

♦а)  y'=\left(\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}} +25\right) ^{3}\right)'=

 =3\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}}+25 \right)^{2}\left(6x^{6}-5x^{-\frac{1}{4}}+25 \right)'=

 =3\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}}+25 \right)\left(36x^{5}-5\cdot \left(-\frac{1}{4} \right)x^{-\frac{1}{4}-1}+0 \right)=

 =\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}}+25 \right)\left(36x^{5}+\frac{5}{4\sqrt[4]{x^{5}}} \right)=

 =3\left(6x^{6}-\frac{5}{\sqrt[4]{x}}+25 \right)\left(36x^{5}+\frac{5}{4x\sqrt[4]{x}} \right) .

б)  y'=\left(\frac{21x-9}{5-x^{3}} \right)'=

 =\frac{\left(21x-9 \right)'\left(5-x^{3} \right)-\left(21x-9 \right)\left(5-x^{3} \right)'}{\left(5-x^{3} \right)^{2}}=

 =\frac{21\left(5-x^{3} \right)-\left(21x-9 \right)\left(5-3x^{2} \right)}{\left(5-x^{3} \right)^{2}}=

 =\frac{105-21x^{3}-105x+45+63x^{3}-27x^{2}}{\left(5-x^{3} \right)^{2}}=

 =\frac{42x^{3}-27x^{2}-105x+150}{\left(5-x^{3} \right)^{2}} .♦

Приклад

Обчислити похідну функції  y=\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}} .

 y=U^{V} , де  U=ctg2x,\; V=5-4x^{2} .

 y'=\left(\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}} \right)'=U^{V}\left(V'\cdot lnU+V\cdot \left(lnU \right)' \right)=

 =\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}}\left( \left(5-4x^{2} \right)'\cdot ln\left(ctg2x \right)+\left(5-4x^{2} \right)\cdot ln(ctg2x)' \right)=

 =\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}}\left(-8x\cdot ln(ctg2x)+(5-4x^{2})\cdot \frac{1}{ctg2x}\cdot \left(-\frac{1}{sin^{2}2x} \right)\cdot 2x \right)=

 =\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}}\left(-8x\cdot ln\left(ctg2x \right)-\frac{2x(5-4x^{2})}{\frac{cos2x}{sin2x}\cdot sin^{2}2x} \right)=

 =\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}}\left(-8x\cdot ln(ctg2x)-\frac{4x(5-4x^{2})}{sin4x} \right)=

 =\left(ctg2x \right)^{5-4x^{2}}\left(\frac{4x\left(4x^{2}-5 \right)}{sin4x}-8x\cdot ln(ctg2x) \right) .♦