Поверхневі інтеграли

Приклад

Обчислити інтеграл  I = \int _{S}\int (x-2z)dS   по частині площини x + y + z = 1, розміщеної у першому октанті.

♦ Поверхню S задано рівнянням z = 1 – x – y, де функція z та її частинні похідні z’x = – 1, z’y = -1 є неперервними в обмеженій замкненій області D – проекції S на площину ХОY.  Тому заданий інтеграл існує. Обчислимо його за формулою  \int _{S}\int  f(x,y,z)dS=\int _{D}\int f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_{x}'^{2}+z_{y}'^{2}}dxdy

 I=\int _{D}\int (x-2(1-x-y))\sqrt{1+(-1)^{2}+(-1)^{2}}dxdy=

 =\sqrt{3}\int _{D}\int (-2+3x+2y)dxdy=

=\sqrt{3}\int_{0}^{1}{dx}\int_{0}^{1-x}{(-2+3x+2y)dy}=-\frac{\sqrt{3}}{6} . ♦

Приклад

Обчислити координати центра маси півсфери, якщо в кожній її точці поверхнева густина чисельно дорівнює відстані цієї точки від радіуса, перпендикулярного до основи півсфери.

♦ Розмістимо початок прямокутної системи координат у центрі основи півсфери, а вісь OZ направимо перпендикулярно до цієї основи. Тоді рівняння півсфери матиме вигляд  z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}, де R – радіус півсфери, а поверхнева густина в точці (x; y; z)  \gamma =\sqrt{R^{2}-z^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} . Користуючись формулою  m=\int _{S}\int \gamma (x,y,z)dS та переходячи до полярних координат, дістаємо  m=R\int _{D_{xy}}\int \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}dxdy}}{\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}}=R\int_{0}^{2\pi }{\frac{\rho ^{2}d\rho }{\sqrt{R^{2}-\rho ^{2}}}}=\frac{\pi ^{2}R^{3}}{2} (внутрішній інтеграл обчислено за допомогою підстановки ρ = R sin t).

Оскільки поверхня симетрична відносно осі OZ, то  \bar{x}=\bar{y}=0 . Враховуючи неоднорідність поверхні, знаходимо

 \bar{z}=\frac{1}{m}\int _{S}\int z\gamma dS=\frac{2}{\pi ^{2}R^{3}}R\int _{D_{xy}}\int \sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy=

 =\frac{2}{\pi ^{2}R^{3}}\int_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int_{0}^{R}{\rho ^{2}d\rho }=\frac{4R}{3\pi } .♦

Приклад

Обчислити потік векторного поля  \vec{f}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}  крізь частину сфери x2 + y2 + z2 = 1, розміщеної у першому октанті, в напрямі зовнішньої нормалі.

♦ Оскільки потік векторного поля крізь задану поверхню виражається поверхневим інтегралом   \int _{S}\int=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy , де P = x, Q = y і R = z, то потрібно обчислити інтеграл  \int _{S}\int =xdydz+ydzdx+zdxdy . Розглянемо його як суму трьох інтегралів I = I1 + I2 + I3. Для обчислення I1 спроектуємо задану поверхню на площину YOZ. Дістанемо чверть круга Dyz: y2 + z≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. Рівняння сфери розв’яжемо відносно змінної х:  x=\sqrt{1-y^{2}-z^{2}} . Тоді 

 I_{1}=\int _{S}\int xdydz=\int _{D_{yz}}\int \sqrt{1-y^{2}-z^{2}}dydz=

 =\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{d\varphi }\int_{0}^{1}{\sqrt{1-\rho ^{2}}\rho d\rho }=\frac{\pi }{6} .

Аналогічно обчислюємо інтеграли I2 та І3, проектуючи спочатку поверхню на площину XOZ і розв’язуючи рівняння поверхні відносно y, а потім на площину XOY та розв’язуючи її рівняння відносно z. Аналогічно попередньому дістанемо  I_{2}=I_{3}=\frac{\pi }{6} . Отже,  \prod{}=I_{1}+I_{2}+I_{3}=3\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2} .♦

Приклад

Користуючись формулою Остроградського – Гаусса, обчислити потік векторного поля  \vec{f}= x^{2}\vec{i}+y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k} крізь повну поверхню конуса  z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}},\; z=0 ю

♦ Знайдемо дивергенцію векторного поля 

 div\vec{f}=\frac{\partial }{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial }{\partial y}(y^{2})+\frac{\partial }{\partial z}(z^{2})=2(x+y+z) .

Тоді за формулою  \prod{}=\int \int _{T}\int div\vec{f}dxdydz , яка випливає з формули Остроградського – Гаусса, обчислюємо потік заданого поля: 

 \prod{}=\int \int _{T}\int div\vec{f}dxdydz=2\int \int _{T}\int (x+y+z)dxdydz=

 =2\int_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int_{0}^{1}{\rho d\rho }\int_{0}^{1-\rho }{(\rho cos\varphi +\rho sin\varphi +z)dz}=\frac{\pi }{3} .♦