Границя функції в точці

Приклад

Обчислити границю функції  \lim_{x\rightarrow 0}\left(x+e^{x} \right)^{\frac{1}{x}}

 \lim_{x\rightarrow 0}\left(x+e^{x} \right)^{\frac{1}{x}}=\left(1^{\infty} \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(e^{x}+x \right)^{\frac{1}{x}}=

 =\lim_{x\rightarrow 0}e^{x\cdot \frac{1}{x}}\left(1+\frac{x}{e^{x}} \right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}e\left(1+\frac{x}{e^{x}} \right)^{\frac{1}{x}}=

 =\begin{vmatrix} \frac{x}{e^{x}}\rightarrow 0,\: x\rightarrow \infty,\ \frac{1}{x}\rightarrow \infty,\: x\rightarrow 0 \end{vmatrix}=e\lim_{x\rightarrow 0}\left(\left(1+\frac{x}{e^{x}} \right)^{\frac{e^{x}}{x}} \right)^{\frac{1}{e^{x}}}=

 =e\cdot \lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{1}{e^{x}}}=e\cdot \lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{1}{e^{0}}}=e\cdot e=e^{2}

Приклад

Обчислити границю:

  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1-7x)}{sin(\pi x+7\pi }

 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1-7x)}{sin(\pi x+7\pi }=\left(\frac{0}{0} \right)=

 = \begin{vmatrix} ln(1-7x)\sim -7x,\; x\rightarrow 0\ sin(\pi x+7\pi )\sim \pi x+7\pi ,\; x\rightarrow 0 \end{vmatrix}=

 =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-7x}{\pi x+7\pi }=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-7\cdot 0}{\pi \cdot 0+7\pi }=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{7\pi }=\frac{1}{7\pi }

Приклад

Обчислити границю  \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{3x^{2}+2x-1}-\sqrt{3x^{2}-x} \right)  

♦  \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{3x^{2}+2x-1}-\sqrt{3x^{2}-x} \right) =

 =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{3x^{2}+2x-1-3x^{2}+x}{\sqrt{3x^{2}+2x-1}+\sqrt{3x^{2}-x}}=

 =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{3x-1}{x\left(\sqrt{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{3-\frac{1}{x}} \right)}=

 =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{3x-1}{x\left(\sqrt{3} \sqrt{3}\right)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{3x-1}{2\sqrt{3}x}=

 =\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{3}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{3}x} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2} .♦

Приклад

Обчислити границю  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x^{2}}{1-cos3x}

♦  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x^{2}}{1-cos3x}=\left(\frac{0}{0} \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left(5x^{2} \right)'}{\left(1-cos3x \right)'}=

 =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{10x}{0-\left(-sin3x\right)\cdot 3 }=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{10x}{3sin3x}=\left(\frac{0}{0} \right)=

 =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left(10x \right)'}{\left(3sin3x \right)'}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{10}{3\cdot cos3x\cdot 3}=

 =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{10}{9cos0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{10}{9}=\frac{10}{9} .♦

Приклад

Перевірити чи має функція  f(x;y)=\frac{x-y}{x+y} границю в точці (0; 0).

♦ Нехай точка (х; у) наближається до точки (0; 0) уздовж прямої у = k x. Якщо k ≠ -1, то   f(x;y)=\frac{x-kx}{x+kx}=\frac{1-k}{1+k}. Помічаємо, що в досить малому околі точки (0; 0) є точки, в яких значення функції дорівнює нулю (при k=1), і точки, в яких значення функції дорівнює одиниці (при k=0). Отже, границя функції f(x;y)=\frac{x-y}{x+y}  в точці (0; 0) не існує.♦

Приклад

Визначити праву та ліву границі функції f в точці хо:

а)  f(x)=\begin{cases} x, & \text{ } -3\leq x \leq 4 \\ 7x+10, & \text{ } 4<x\leq 7 \end{cases},\; x_{0}=4;

б) f(x) = \frac{\left|2x+3 \right|}{2x+3}, \; x_{0}=-\frac{3}{2} ;

в) f(x)=\frac{2x}{x-4},\; x_{0}=4 ;

♦а)  Функція визначена на відрізку [-3; 7]. Для обчислення правої границі в точці 4 треба розглядати ті значення аргументу, де х > 4. Тоді   f(x) = 7x+10  і   \lim_{x\rightarrow 4+0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 4+0}(7x+10)=38 . Для обчислення лівої границі розглядаємо х < 4, і тоді  f(x) = x  . Отже,  \lim_{x\rightarrow 4-0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 4-0}x=4 .

б) Враховуючи, що  \left|2x+3 \right|=2x+3  при  x>-\frac{3}{2}  і  \left|2x+3 \right|=-2x-3  при  [latexx<-\frac{3}{2}] [/latex] , дістаємо

 \lim_{x\rightarrow -\frac{3}{2}+0}\frac{\left|2x+3 \right|}{2x+3}=\lim_{x\rightarrow -\frac{3}{2}+0}\frac{2x+3 }{2x+3}=1 ,

 \lim_{x\rightarrow -\frac{3}{2}-0}\frac{\left|2x+3 \right|}{2x+3}=\lim_{x\rightarrow -\frac{3}{2}-0}\frac{-2x-3 }{2x+3}=-1 .

в) Маємо  \lim_{x\rightarrow 4+0}\frac{2x}{x-4}=+\propto  , оскільки чисельник дробу прямує до 8, а знаменник є нескінченно малою додатною функцією;   \lim_{x\rightarrow 4-0}\frac{2x}{x-4}=-\propto  , тому, що в цьому випадку знаменник дробу є нескінченно малою від’ємною функцією.♦

Приклад

Обчислити наближене значення функції   f(x) = \frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{2x^{2}+5x-3} в точці  x=0.5008 .

Для x, близьких до xo, за значення функції в точці можна прийняти число с, яке є границею даної функції в точці. Тобто: c=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\; (c\approx f(x_{0})) . Тому потрібно обчислити 

\lim_{x\rightarrow 0.5}\frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{2x^{2}+5x-3} , (оскільки 0,5008 ≈  0,5). Тобто:

f(0.5008) \approx \lim_{x\rightarrow 0.5}\frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{2x^{2}+5x-3}=\lim_{x\rightarrow 0.5}\frac{\left(2x-1 \right)\left(x+3 \right)\left(x+1 \right)}{\left(2x-1 \right)\left(x+3 \right)}=

 =\lim_{x\rightarrow 0.5}(x+1)=1.5

При такому обчисленні значення функції допущено похибку  \beta =\left|x+1-1.5\righ|=\left|0.5008-0.5 \right|=0.008 .

Якщо x = 0.5008, то β = 0,008. ♦

Приклад

Обчислити наближене значення функції   f(x) = \frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{2x^{2}+5x-3} в точці  x=0.5008 .

Для x, близьких до xo, за значення функції в точці можна прийняти число с, яке є границею даної функції в точці. Тобто: c=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\; (c\approx f(x_{0})) . Тому потрібно обчислити 

\lim_{x\rightarrow 0.5}\frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{2x^{2}+5x-3} , (оскільки 0,5008 ≈  0,5). Тобто:

f(0.5008) \approx \lim_{x\rightarrow 0.5}\frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{2x^{2}+5x-3}=\lim_{x\rightarrow 0.5}\frac{\left(2x-1 \right)\left(x+3 \right)\left(x+1 \right)}{\left(2x-1 \right)\left(x+3 \right)}=

 =\lim_{x\rightarrow 0.5}(x+1)=1.5

При такому обчисленні значення функції допущено похибку  \beta =\left|x+1-1.5\righ|=\left|0.5008-0.5 \right|=0.008 .

Якщо x = 0.5008, то β = 0,008. ♦

Приклад

Обчислити границі функції:

а)  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+4x}{x} ;

б) \lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{3-x^{2}}{\sqrt{3}-x} ;

в) \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(7x)}{7x} ;

г) \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{10x} .

♦ а)  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+4x}{x}

Винесемо в чисельнику спільний множник х за дужки та скоротимо його зі знаменником. Таким чином, ми позбудемося невизначеності:

  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+4x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(3x+4)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}(3x+4)=3\cdot 0+4=4.

б) \lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{9-x^{2}}{\sqrt{3}-x}

Розкладемо чисельник на множники та скоротимо його зі знаменником, в результаті чого позбудемося невизначеності. 

 \lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{3-x^{2}}{\sqrt{3}-x}=\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)}{\sqrt{3}-x}=

=\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}(\sqrt{3}+x)=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3} .

в)  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(7x)}{7x}

Користуючись першою чудовою границею, маємо:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(7x)}{7x}=1 .

г)  \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{10x}

Користуючись другою чудовою границею, отримаємо:

  \lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{10x}=\lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{\frac{5x}{12}\cdot 24}=1^{24}=1 .♦