Границя функції в точці

    Задача (Обчислення границі функції в точці)

    Обчислити границю функції [latex] \lim_{x\rightarrow 0}\left(x+e^{x} \right)^{\frac{1}{x}} [/latex]

    [latex] \lim_{x\rightarrow 0}\left(x+e^{x} \right)^{\frac{1}{x}}=\left(1^{\infty} \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\left(e^{x}+x \right)^{\frac{1}{x}}= [/latex]

    [latex] =\lim_{x\rightarrow 0}e^{x\cdot \frac{1}{x}}\left(1+\frac{x}{e^{x}} \right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}e\left(1+\frac{x}{e^{x}} \right)^{\frac{1}{x}}= [/latex]

    [latex] =\begin{vmatrix}
    \frac{x}{e^{x}}\rightarrow 0,\: x\rightarrow \infty,\
    \frac{1}{x}\rightarrow \infty,\: x\rightarrow 0
    \end{vmatrix}=e\lim_{x\rightarrow 0}\left(\left(1+\frac{x}{e^{x}} \right)^{\frac{e^{x}}{x}} \right)^{\frac{1}{e^{x}}}=[/latex]

    [latex] =e\cdot \lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{1}{e^{x}}}=e\cdot \lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{1}{e^{0}}}=e\cdot e=e^{2} [/latex] 

    Читати

    Задача (Обчислення границі функції в точці)

    Обчислити границю: [latex] 
    \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1-7x)}{sin(\pi x+7\pi } [/latex]

    [latex] \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1-7x)}{sin(\pi x+7\pi }=\left(\frac{0}{0} \right)= [/latex]

    [latex] = \begin{vmatrix}
    ln(1-7x)\sim -7x,\; x\rightarrow 0\
    sin(\pi x+7\pi )\sim \pi x+7\pi ,\; x\rightarrow 0
    \end{vmatrix}= [/latex]

    [latex] =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-7x}{\pi x+7\pi }=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-7\cdot 0}{\pi \cdot 0+7\pi }=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{7\pi }=\frac{1}{7\pi } [/latex]

    Читати

    Задача (Границя ірраціональної функції)

    Обчислити границю [latex] \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{3x^{2}+2x-1}-\sqrt{3x^{2}-x} \right) [/latex] 

    ♦ [latex] \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{3x^{2}+2x-1}-\sqrt{3x^{2}-x} \right) = [/latex]

    [latex] =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{3x^{2}+2x-1-3x^{2}+x}{\sqrt{3x^{2}+2x-1}+\sqrt{3x^{2}-x}}= [/latex]

    [latex] =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{3x-1}{x\left(\sqrt{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{3-\frac{1}{x}} \right)}= [/latex]

    [latex] =\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{3x-1}{x\left(\sqrt{3} \sqrt{3}\right)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{3x-1}{2\sqrt{3}x}= [/latex]

    [latex] =\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{3}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{3}x} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2} [/latex] .♦

    Читати

    Задача (Правило Лопіталя)

    Обчислити границю [latex] \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x^{2}}{1-cos3x} [/latex]

    ♦ [latex] \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x^{2}}{1-cos3x}=\left(\frac{0}{0} \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left(5x^{2} \right)'}{\left(1-cos3x \right)'}= [/latex]

    [latex] =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{10x}{0-\left(-sin3x\right)\cdot 3 }=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{10x}{3sin3x}=\left(\frac{0}{0} \right)= [/latex]

    [latex] =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left(10x \right)'}{\left(3sin3x \right)'}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{10}{3\cdot cos3x\cdot 3}= [/latex]

    [latex] =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{10}{9cos0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{10}{9}=\frac{10}{9} [/latex].♦

    Читати

    Задача (Існування границі)

    Перевірити чи має функція  [latex]f(x;y)=\frac{x-y}{x+y} [/latex] границю в точці (0; 0).

    ♦ Нехай точка (х; у) наближається до точки (0; 0) уздовж прямої у = k x. Якщо k ≠ -1, то  [latex] f(x;y)=\frac{x-kx}{x+kx}=\frac{1-k}{1+k}[/latex]. Помічаємо, що в досить малому околі точки (0; 0) є точки, в яких значення функції дорівнює нулю (при k=1), і точки, в яких значення функції дорівнює одиниці (при k=0). Отже, границя функції [latex]f(x;y)=\frac{x-y}{x+y} [/latex]  в точці (0; 0) не існує.♦

    Читати

    Задача (Границя функції кількох змінних)

    Обчислити границю функції двох  змінних  [latex]\lim_{\begin{matrix}
    x\rightarrow 3\\
    y\rightarrow 3
    \end{matrix}}\frac{x^{2}-2y^{2}+xy}{x^{2}-y^{2}+x^{2}y-xy^{2}+x-y}= [/latex]

    ♦  [latex]\lim_{\begin{matrix}
    x\rightarrow 3\\
    y\rightarrow 3
    \end{matrix}}\frac{x^{2}-2y^{2}+xy}{x^{2}-y^{2}+x^{2}y-xy^{2}+x-y}= [/latex]

    [latex]=\lim_{\begin{matrix}
    x\rightarrow 3\\
    y\rightarrow 3
    \end{matrix}}\frac{x^{2}-xy-2y^{2}+2xy}{(x-y)(x+y)+xy(x-y)+(x-y)}= [/latex]

    [latex]=\lim_{\begin{matrix}
    x\rightarrow 3\\
    y\rightarrow 3
    \end{matrix}}\frac{x(x-y)+2y(x-y)}{(x-y)(x+y+xy+1)}=[/latex]

    [latex]=\lim_{\begin{matrix}
    x\rightarrow 3\\
    y\rightarrow 3
    \end{matrix}}\frac{(x-y)(x+2y)}{(x-y)(x(1+y) +(1+y))}= [/latex]

    [latex] =\lim_{\begin{matrix}
    x\rightarrow 3\\
    y\rightarrow 3
    \end{matrix}}\frac{(x-y)(x+2y)}{(x-y)(1+y)(x +1)}=[/latex]

    [latex]=\lim_{\begin{matrix}
    x\rightarrow 3\\
    y\rightarrow 3
    \end{matrix}}\frac{x+2y}{(1+y)(x +1)}=\frac{3+2\cdot 3}{(1+3)(1+3)}=\frac{9}{16} [/latex]♦

    Читати

    Задача (Права і ліва границі функції)

    Визначити праву та ліву границі функції f в точці хо:

    а) [latex] f(x)=\begin{cases}
    x, & \text{ } -3\leq x \leq 4 \\
    7x+10, & \text{ } 4<x\leq 7
    \end{cases},\; x_{0}=4[/latex];

    б) [latex]f(x) = \frac{\left|2x+3 \right|}{2x+3}, \; x_{0}=-\frac{3}{2} [/latex];

    в) [latex]f(x)=\frac{2x}{x-4},\; x_{0}=4 [/latex];

    ♦а)  Функція визначена на відрізку [-3; 7]. Для обчислення правої границі в точці 4 треба розглядати ті значення аргументу, де х > 4. Тоді  [latex] f(x) = 7x+10 [/latex]  і  [latex] \lim_{x\rightarrow 4+0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 4+0}(7x+10)=38 [/latex] . Для обчислення лівої границі розглядаємо х < 4, і тоді  [latex]f(x) = x  [/latex] . Отже,  [latex]\lim_{x\rightarrow 4-0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 4-0}x=4 [/latex] .

    б) Враховуючи, що  [latex]\left|2x+3 \right|=2x+3 [/latex]  при  [latex]x>-\frac{3}{2} [/latex]  і  [latex]\left|2x+3 \right|=-2x-3 [/latex]  при  [latexx<-\frac{3}{2}] [/latex] , дістаємо

     [latex]\lim_{x\rightarrow -\frac{3}{2}+0}\frac{\left|2x+3 \right|}{2x+3}=\lim_{x\rightarrow -\frac{3}{2}+0}\frac{2x+3 }{2x+3}=1 [/latex],

     [latex]\lim_{x\rightarrow -\frac{3}{2}-0}\frac{\left|2x+3 \right|}{2x+3}=\lim_{x\rightarrow -\frac{3}{2}-0}\frac{-2x-3 }{2x+3}=-1 [/latex].

    в) Маємо  [latex]\lim_{x\rightarrow 4+0}\frac{2x}{x-4}=+\propto [/latex]  , оскільки чисельник дробу прямує до 8, а знаменник є нескінченно малою додатною функцією;  [latex] \lim_{x\rightarrow 4-0}\frac{2x}{x-4}=-\propto  [/latex] , тому, що в цьому випадку знаменник дробу є нескінченно малою від'ємною функцією.♦

    Читати

    Задача (Обчислення наближеного значення функції)

    Обчислити наближене значення функції  [latex] f(x) = \frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{2x^{2}+5x-3} [/latex] в точці  [latex]x=0.5008 [/latex] .

    Для x, близьких до xo, за значення функції в точці можна прийняти число с, яке є границею даної функції в точці. Тобто: [latex]c=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\; (c\approx f(x_{0})) [/latex]. Тому потрібно обчислити 

    [latex]\lim_{x\rightarrow 0.5}\frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{2x^{2}+5x-3} [/latex], (оскільки 0,5008 ≈  0,5). Тобто:

    [latex]f(0.5008) \approx \lim_{x\rightarrow 0.5}\frac{2x^{3}+7x^{2}+2x-3}{2x^{2}+5x-3}=\lim_{x\rightarrow 0.5}\frac{\left(2x-1 \right)\left(x+3 \right)\left(x+1 \right)}{\left(2x-1 \right)\left(x+3 \right)}=
    [/latex]

    [latex] =\lim_{x\rightarrow 0.5}(x+1)=1.5[/latex]

    При такому обчисленні значення функції допущено похибку  [latex]\beta =\left|x+1-1.5\righ|=\left|0.5008-0.5 \right|=0.008 [/latex] .

    Якщо x = 0.5008, то β = 0,008. ♦

    Читати

    Задача (Обчислення границь)

    Обчислити границі функції:

    а)  [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+4x}{x} [/latex] ;

    б) [latex]\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{3-x^{2}}{\sqrt{3}-x} [/latex] ;

    в) [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(7x)}{7x} [/latex] ;

    г) [latex]\lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{10x} [/latex] .

    ♦ а)  [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+4x}{x} [/latex]

    Винесемо в чисельнику спільний множник х за дужки та скоротимо його зі знаменником. Таким чином, ми позбудемося невизначеності:

    [latex]  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+4x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(3x+4)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}(3x+4)=3\cdot 0+4=4[/latex].

    б) [latex]\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{9-x^{2}}{\sqrt{3}-x} [/latex]

    Розкладемо чисельник на множники та скоротимо його зі знаменником, в результаті чого позбудемося невизначеності. 

    [latex] \lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{3-x^{2}}{\sqrt{3}-x}=\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}\frac{(\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)}{\sqrt{3}-x}=[/latex]

    [latex]=\lim_{x\rightarrow \sqrt{3}}(\sqrt{3}+x)=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3} [/latex].

    в)  [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(7x)}{7x} [/latex]

    Користуючись першою чудовою границею, маємо:

    [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(7x)}{7x}=1 [/latex].

    г)  [latex]\lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{10x} [/latex]

    Користуючись другою чудовою границею, отримаємо:

      [latex]\lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{10x}=\lim_{x\rightarrow 0}(1+\frac{12}{5x})^{\frac{5x}{12}\cdot 24}=1^{24}=1 [/latex].♦

    Читати