Визначений інтеграл. Подвійні та потрійні інтеграли. Невласні інтеграли.

Приклад

Використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, обчислити такі інтеграли:

а)  \int_{1}^{2}{e^{x}dx}  ;

б)  \int_{2}^{4}{\frac{x^{3}+2x^2-x-1}{x^{2}-1}dx}  ;

в)  \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sin^{2}x\: cosx\: dx}  .

♦ а) Під знаком інтеграла маємо табличний інтеграл, тому  \int_{1}^{2}{e^{x}dx}=e^{x}|^{2}_{1}=e^{2}-e .

б) Під знаком інтеграла маємо неправильний дріб. Виділимо цілу частину, використавши наступний розклад:

 x^{3}+2x^2-x-2=x^2(x+2)-(x+2)=(x+2)(x^{2}-1),\;

\frac{x^{3}+2x^2-x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x^{2}-1} .

Отже, заданий інтеграл обчислимо: 

 \int_{2}^{4}{\frac{x^{3}+2x^2-x-1}{x^{2}-1}dx}=\int_{2}^{4}{(x+2)dx}+\int_{2}^{4}{\frac{dx}{x^{2}-1}}=


=(\frac{x^{2}}{2}+2x)|_{2}^{4}+\frac{1}{2}ln\left|\frac{x-1}{x+1} \right||_{2}^{4}=10+\frac{1}{2}ln\frac{9}{5} .

в) Бачимо, що даний інтеграл можна проінтегрувати за синусом, тому:

 \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sin^{2}x\: cosx\: dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sin^{2}d(sinx)}=\frac{sin^{3}x}{3}|^{\frac{\pi }{2}}_{0}=\frac{1}{3} .♦

Приклад

Електровоз через t годин після відправлення мав прискорення a(t) = 3t2 – 42t + 80 (км/год). Визначити швидкість і відстань, пройдену електровозом від станції через годину після відправлення, вважаючи v(0) = s (0) = 0.

Нехай функція s(t) описує рух електровоза, а v(t) – його швидкість. Тоді, користуючись механічним змістом похідної та означенням первісної, розглядатимемо s(t) як одну з первісних для v(t), а v(t) – для a(t) на деякому проміжкузміни часу t. Оскільки за умовою задачі шукані величини потрібно обчислити за час t= 0  до t2 = 1, то дістанемо:

v(t) = ∫ (3t2 – 42 t + 80) dt = t3 – 21t2 +80 t + C, де С = v (0) = 0.

Отже, v(t)= t3 – 21t2 +80 t,  v(1)= 13 – 21·12 +80 ·1=60 км/ год, а 

 s=\int_{0}^{1}{v(t)dt}=\int_{0}^{1}{(t^{3}-21t^{2}+80t)dt}=

=(\frac{t^{4}}{4}-7t^{3}+40t^{2})|_{0}^{1}=33,25  км. ♦

Приклад

Використовуючи метод заміни змінної, обчислити визначені інтеграли:

а)   \int_{0}^{\sqrt{3}}{x\sqrt{x^{2}+1}dx} ;

б)   \int_{1}^{e}{\frac{lnx}{x}dx} ;

в)  \int_{0}^{1}{\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}}} .

а) Введемо нову змінну, поклавши t  = x2 + 1. Звідси визначаємо dt = 2xdx, \frac{dt}{2}=xdx   і нові межі інтегрування α = 1 при х = 0 та β = 4 при x = √3. Тоді:

 \int_{0}^{\sqrt{3}}{x\sqrt{x^{2}+1}dx}=\frac{1}{2}\int_{1}^{4}{\sqrt{t}dt}=\frac{1}{2}\int_{1}^{4}{t^{\frac{1}{2}}dt}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}|_{1}^{4}=\frac{7}{3} .

б) Використаємо підстановку t = ln x, звідси  dt=\frac{dx}{x} , 

α = ln 1, β = ln e = 1. Тоді: 

 \int_{1}^{e}{\frac{lnx}{x}dx}=\int_{0}^{1}{tdt}=\frac{t^{2}}{2}|_{0}^{1}=\frac{1}{2} .

в) Покладемо t = ex. Звідси dt = exdx, α = 1, β = e. Отже: 

 \int_{0}^{1}{\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}}}=\int_{1}^{e}{\frac{dt}{1+t^{2}}}=arctg\:  t|_{1}^{e}=arctg\: e-\frac{\pi }{4} .♦

Приклад

Обчислити інтеграл  \int_{0}^{1}{dx}\int_{x}^{2x}{(3x+2y)dy} .

♦ Внутрішній інтеграл обчислюємо за змінною у, вважаючи, що х стала величина. Потім підставивши замість у значення верхньої та нижньої меж інтегрування, знайдемо зовнішній інтеграл за змінною х. Отже, 

 I=\int_{0}^{1}{dx}\int_{x}^{2x}{(3x+2y)dy}=\int_{0}^{1}{(3xy+y^{2})}|_{x}^{2x}dx=

 =\int_{0}^{1}{(6x^{2}+4x^{2}}-3x^{2}-x^{2})dx=6\int_{0}^{1}{x^{2}dx}=2x^{3}|_{0}^{1}=2.

Приклад

Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі  \int_{0}^{1}{dx}\int_{x^{2}}^{2-x}{f(x;y)dy} .

♦ Маємо повторний інтеграл, записаний за формулою

 \int _{D}\int f(x;y)dxdy=\int_{a}^{b}{dx}\int_{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}{f(x;y)dy}=

=\int_{a}^{b}{(\int_{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}{f(x;y)dy} )dx}. Якщо функція f неперервна у заданій області D, то можна змінити порядок інтегрування і записати повторний інтеграл за формулою

\int _{D}\int f(x;y)dxdy=\int_{c}^{d}{dy}\int_{\psi _{1}(y)}^{\psi _{2}(y)}{f(x;y)dx}=

  =\int_{c}^{d}{(\int_{\psi  _{1}(y)}^{\psi  _{2}(y)}{f(x;y)dx} )dy} . Будуємо область D, враховуючи межі інтегрування. Вона обмежена лініями y = y1(x) = x2

y = y2(x) = 2 – x, x = 0, x = 1. 

Визначений інтеграл. Подвійні та потрійні інтеграли. Невласні інтеграли.

Зліва область D  обмежена прямою x= 0, а справа – кривою 

 x_{2}(y)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{y},\; 0<1\leq 1,\\ 2-y,\; 1<y\leq 2. \end{matrix}\right.

Тому маємо 

 \int_{0}^{1}{dx}\int_{x^{2}}^{2-x}{f(x;y)dy}=

=\int_{0}^{1}{dy}\int_{0}^{\sqrt{y}}{f(x;y)dy}+\int_{1}^{2}{dy}\int_{0}^{2-y}{f(x;y)dx} .♦

Приклад

Обчислити подвійний інтеграл, використовуючи полярні координати  \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{dx}\int_{-\sqrt{2-x^{2}}}^{0}{\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}dy}

♦ Область інтегрування являє собою нижнє півколо кола з центром в початку координат і радіусом  \sqrt{2} . Тому при переході до полярних координат ρ набуватиме значень від  - \sqrt{2} до 0, а кут φ – від – π до 0.

 \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{dx}\int_{-\sqrt{2-x^{2}}}^{0}{\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}dy}= \begin{Bmatrix} x=\rho cos\varphi ,\\ y=\rho sin\varphi ,\\ dxdy=\rho d\rho d\varphi \end{Bmatrix}=

 =\int_{-\pi }^{0}{d\varphi }\int_{-\sqrt{2}}^{0}{\frac{\rho ^{3}cos\varphi sin\varphi }{\rho ^{2}(cos^{2}\varphi +sin^{2}\varphi )}d\rho }=

 =\int_{-\pi }^{0}{d\varphi }\int_{-\sqrt{2}}^{0}{\rho \cdot \frac{sin2\varphi }{2}d\rho }=\frac{1}{2}\int_{-\pi }^{0}{sin2\varphi d\varphi }\int_{-\sqrt{2}}^{0}{\rho d\rho }=

 =\frac{1}{2}\int_{-\pi }^{0}{sin2\varphi d\varphi }\cdot \frac{r^{2}}{2}|_{-\sqrt{2}}^{0}=\frac{1}{4}\int_{-\pi }^{0}{sin2\varphi d\varphi }\cdot (0-2)=

 =-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{cos2\varphi }{2} \right)|_{-\pi }^{0}=\frac{1}{4}(cos0 - cos\pi )=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}  

Приклад

Обчислити інтеграл  \int_{-2}^{0}{x^{2}e^{-\frac{x}{2}}dx} .

♦ Для знаходження даного інтеграла виконаємо інтегрування частинами двічі. 

 \int_{-2}^{0}{x^{2}e^{-\frac{x}{2}}dx}=\begin{vmatrix} U_{1}=x^{2} & dV_{1}=e^{-\frac{x}{2}}dx\\ dU_{1}=2xdx & V_{1}=-2e^{-\frac{x}{2}} \end{vmatrix}= .

Для обчислення V1 знайдемо інтеграл  \int e^{-\frac{x}{2}}dx=\begin{vmatrix} -\frac{x}{2}=t\\ -dx=2dt \end{vmatrix}=

 = -\int 2e^{t}dt=-2e^{t}=-2e^{-\frac{x}{2}}   .

Отже,  V_{1}=-2e^{-\frac{x}{2}} .

 =-2x^{2}e^{-\frac{x}{2}}|_{-2}^{0}+2\int_{-2}^{0}{e^{-\frac{x}{2}}\cdot 2xdx}=

 =-2(0-(-2)^{2}e^{\frac{-2}{-2}})+4\int_{-2}^{0}{e^{-\frac{x}{2}\cdot x}dx}=

 =\begin{vmatrix} U_{2}=x & e^{-\frac{x}{2}}dx =dV_{2} \\ dU_{2}=dx & V_{2}=-2e^{-\frac{x}{2}} \end{vmatrix}=

 =-2\cdot 4e+4(-2xe^{-\frac{x}{2}}|_{-2}^{0}-\int_{-2}^{0}{-2e^{-\frac{x}{2}}dx})=

 =-8e+4(-2(0+2e^{-\frac{-2}{2}})+2\int_{-2}^{0}{e^{-\frac{x}{2}}dx})=

 =-8e-16e+8(-2e^{-\frac{x}{2}})|_{-2}^{0}=

 =-24e-16(e^{0}-e^{1})=-24e-16(1-e)=

 =-24e-16+16e=-8e-16 .♦

Приклад

Обчислити інтеграл  \int_{0}^{1}{x^{3}\sqrt{4+5x^{4}}dx}

♦   \int_{0}^{1}{x^{3}\sqrt{4+5x^{4}}dx}=\int_{0}^{1}{x^{3}(4+5x^{4})^{\frac{1}{2}}}dx=\begin{vmatrix} \frac{3+1}{4}=1\in Z\\ 4+5x^{4}=t^{2}\\ 20x^{3}dx=2tdt\\ x^{3}dx=\frac{tdt}{10} \end{vmatrix}=

 =\int_{0}^{1}{\frac{\sqrt{t^{2}}\cdot tdt}{10}}=\frac{1}{10}\int_{0}^{1}{t^{2}dt}=\frac{1}{10}\cdot \frac{t^{3}}{3}|_{0}^{1}=

 =\frac{\sqrt{4+5x^{3}}}{30}|_{0}^{1}=\frac{\sqrt{4+5\cdot 1}^{3}}{30}-\frac{\sqrt{4+5\cdot 0}^{3}}{30}=

 =\frac{\sqrt{9}^{3}}{30}-\frac{\sqrt{4}^{3}}{30}=\frac{3^{3}}{30}-\frac{2^{3}}{30}=\frac{27-8}{30}=\frac{19}{30}  ♦

Приклад

Обчислити інтеграл  \int_{0}^{1}{\frac{x^{2}dx}{\left(1 + x\right)^{4}}}

♦  \int_{0}^{1}{\frac{x^{2}dx}{\left(1 + x\right)^{4}}}=

 \frac{x^{2}}{\left(1+x \right)^{4}}=\frac{A}{\left(1+x \right)^{4}}+\frac{B}{\left(1+x \right)^{3}}+\frac{C}{\left(1+x \right)^{2}}+\frac{D}{\left(1+x \right)}=

 =\frac{A+B+Bx+C+2Cx+Cx^{2}+D+3Dx+3Dx^{2}+Dx^{3}}{\left(1+x \right)^{4}}=

 =\frac{Dx^{3}+\left(C+3D \right)x^{2}+\left(B+2C+3D \right)x+\left(A+B+C+D \right)}{\left(1+x \right)^{4}}

 \left\{\begin{matrix} D=0,\\ C+3D=1,\\ B+2C+3D=0,\\ A+B+C+D=0; \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} D=0,\\ C=1,\\ B+2+0=0,\\ A+B+1+0=0; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} D=0,\\ C=1,\\ B=-2,\\ A=1. \end{matrix}\right.

 \int_{0}^{1}{\frac{dx}{\left(1+x \right)^{4}}}-2\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\left(1+x \right)^{3}}}+\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\left(1+x \right)^{2}}}=

 =\left(\frac{\left(1+x \right)^{5}}{5} -\frac{2\left(1+x \right)^{4}}{4}+\frac{\left(1+x \right)^{3}}{3}\right)|_{0}^{1}=

 =\frac{\left(1+1 \right)^{5}}{5}-\frac{2\left(1+1 \right)^{4}}{4}+\frac{\left(1+1 \right)^{3}}{3}-\frac{\left(1+0 \right)^{5}}{5}+\frac{2\left(1+0 \right)^{4}}{4}-\frac{\left(1+0 \right)^{3}}{3}=

 =\frac{32}{5}-\frac{32}{4}+\frac{8}{3}-\frac{1}{5}+\frac{2}{4}-\frac{1}{3}=

 =\frac{31}{5}-\frac{30}{4}+\frac{7}{3}=\frac{186-225+70}{30}=\frac{256-225}{30}=\frac{31}{30}=1\frac{1}{30}

     ♦

Приклад

Дослідити на збіжність невласні інтеграли:

а)   \int_{0}^{\propto }{\frac{xdx}{4x^{2}+4x+5}} ;

б)  \int_{\frac{3}{4}}^{1}{\frac{dx}{\sqrt[5]{3-4x}}} .

♦ а)  \int_{0}^{\propto }{\frac{xdx}{4x^{2}+4x+5}}=\lim_{b\rightarrow \propto }\int_{0}^{b}{\frac{xdx}{4x^{2}+4x+5}}=

 =\lim_{b\rightarrow \propto }\frac{1}{8}\int_{0}^{b}{\frac{8x+4-4}{(2x+1)^{2}+4}}dx=

 =\frac{1}{8}\lim_{b\rightarrow \propto }\left(\int_{0}^{b}{\frac{8x+4}{4x^{2}+4x+5}dx}-4\int_{0}^{b}{\frac{dx}{\left(2x+1 \right)^{2}+4}} \right)=

 =\frac{1}{8}\lim_{b\rightarrow \propto }\left(ln\left|4x^{2}+4x+5 \right||_{0}^{b} -4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}arctg\frac{2x+1}{2}|_{0}^{b}\right)=

 =\frac{1}{8}\left(ln\left|4b^{2}+4b+5 \right|-ln5 -arctg\frac{2b+1}{b}+arctg\frac{1}{2}\right)=

 =\frac{1}{8}\left(\propto -ln5-0+arctg\frac{1}{2} \right)=\propto .

Отже, інтеграл розбігається.

б)  \int_{\frac{3}{4}}^{1}{\frac{dx}{\sqrt[5]{3-4x}}}=\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\int_{b}^{1}{\frac{dx}{\sqrt[5]{3-4x}}}=\begin{vmatrix} 3-4x=t\\ -4dx=dt\\ dx=-\frac{dt}{4} \end{vmatrix}=

 =\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\int_{b}^{1}{-\frac{dt}{4t^{\frac{1}{5}}}}=-\frac{1}{4}\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\int_{b}^{1}{t^{-\frac{1}{5}}}=

 =-\frac{1}{4}\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\frac{t^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}}|_{b}^{1}=-\frac{5}{16}\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\sqrt[5]{3-4x}|_{b}^{1}=

 =-\frac{5}{16}\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\left(1-\sqrt[5]{3-4b} \right)=-\frac{5}{16}\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\left(1-0 \right)=

 =-\frac{5}{16}\cdot 1=-\frac{5}{16} .

Отже, інтеграл збіжний. ♦

Приклад

Для вказаної області D:

1) записати подвійний інтеграл   \int \int _{D}f(x,y)dxdy у вигляді повторних інтегралів, взятихв різних порядках;

2) обчислити інтеграл для заданої функції f(x;y).

♦ Зобразимо область інтегрування: Визначений інтеграл. Подвійні та потрійні інтеграли. Невласні інтеграли.

1) Розпишемо подвійний інтеграл, проінтегрувавши його спочатку по змінній у, а потім по змінній х. Як видно із рисунка межі інтегрування по змінній у від прямої у = х  до кривої у = х2. По змінній х  – від  х = 1 до х = 3. Тому подвійний інтеграл запишеться:  \int \int _{D}f(x,y)dxdy=\int_{1}^{3}{dx}\int_{x}^{x^{2}}{f(x,y)dy} .

Тепер проінтегруємо подвійний інтеграл спочатку по змінній х, а потім по змінній у. Для цього розіб’ємо область інтегрування на дві криволінійні трапеції: D1 та  D2. Як бачимо, для області D1 межі інтегрування: по змінній х – від кривої х = √у до х = у, а по змінній у – від у = 0 до у = 3. Для області D2 межі інтегрування: по змінній х – від кривої х = √у до х = 3, а по змінній у – від у = 3 до у = 9. Тобто подвійний інтеграл запишеться наступним чином:  \int \int _{D}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{3}{dy}\int_{\sqrt{y}}^{y}{f(x,y)dx}+\int_{3}^{9}{dy}\int_{\sqrt{y}}^{3}{f(x,y)dx} .

2) Обчислимо інтеграл для заданої функції:

  \int_{1}^{3}{dx}\int_{x}^{x^{2}}{\left(x-\frac{y}{x^{2}} \right)dy}=\int_{1}^{3}{dx}\left(xy-\frac{y^{2}}{2x^{2}} \right)|_{x}^{x^{2}}=

 =\int_{1}^{3}{\left(x^{3} - \frac{x^{4}}{2x^{2}}-x^{2}+\frac{x^{2}}{2x^{2}}\right)dx} = \int_{1}^{3}{\left(x^{3} -\frac{x^{2}}{2}-x^{2}+\frac{1}{2}\right)dx} =

 =\int_{1}^{3}{\left( x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}\right)dx}=\left(\frac{x^{4}}{4}-\frac{3x^{3}}{2\cdot 3}+\frac{1}{2}x \right)|_{1}^{3}=

 =\frac{3^{4}}{4}-\frac{3^{3}}{2}+\frac{3}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{80}{4}-\frac{24}{2}=20-12=8  . ♦

Приклад

Обчислити інтеграл  \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xsin^{2}xdx}

♦  \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xsin^{2}xdx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cdot \frac{1-cos2x}{2}dx}=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left(x-xcos2x \right)dx}=

  =\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xdx}-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xcos^{2}xdx}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^{2}}{2}|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-

 -\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xcos^{2}xdx}=\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{xcos^{2}xdx} .

Останній інтеграл проінтегруємо частинами.

В якості U(X) вибираємо функцію U(x) = x. Вона спроститься при диференціюванні, тобто dU = dx. Тоді  cos2xdx=V'(x)dx .

Знайдемо V(x) \int cos2xdx=\frac{1}{2}sin2x+C . Візьмемо одну із первісних   V(x)=\frac{1}{2}sin2x.

Застосувавши формулу інтегрування частинами, отримаємо: 

 =\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{2}\left(x\cdot \frac{1}{2}sin2x|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{2}sin2x}dx \right)=

 =\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\cdot sin \pi -0+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot cos2x|_{0}^{\frac{\pi }{2}}\right)=

  =\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{2}\left(0+\frac{1}{4}\left(cos\pi -cos0 \right) \right)=

  =\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot \left(-1-1 \right)=\frac{\pi ^{2}}{16}-\frac{1}{8}\cdot \left(-2 \right)=\frac{\pi ^{2}}{16}+\frac{1}{4}  

Приклад

Обчислити інтеграл  \int_{0}^{3}{arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}}dx}

♦  \int_{0}^{3}{arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}}dx}=

Застосуємо підстановку  arcsin\sqrt{\frac{x}{1+x}}=t , тоді 

 \sqrt{\frac{x}{1+x}}=sint\Rightarrow \frac{x}{1+x}=sin^{2}t\Rightarrow

 \Rightarrow \frac{1+x-1}{1+x}=sin^{2}t\Rightarrow 1-\frac{1}{1+x}=sin^{2}t\Rightarrow

 \Rightarrow \frac{1}{1+x}=1-sin^{2}t=cos^{2}t\Rightarrow 1+x=\frac{1}{cos^{2}t}\Rightarrow

 \Rightarrow x=\frac{1}{cos^{2}t}-1=\frac{1-cos^{2}t}{cos^{2}t}=\frac{sin^{2}t}{cos^{2}t}=tg^{2}t .

Значить  x=tg^{2}t . Звідси,  dx=2tgt\cdot \frac{1}{cos^{2}t}dt .

Знайдемо значення t1 i t2

 t_{1}=arcsin\sqrt{\frac{0}{0+1}}=arcsin0=0;

 t_{2}=arcsin\sqrt{\frac{3}{3+1}}=arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}

Підставляючи всі отримані значення в інтеграл, отримаємо: 

 =\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{t\cdot 2tgt\cdot \frac{1}{cos^{2}t}dt}= .

Використовуючи метод інтегрування частинами:  U(x)=t\Rightarrow dU=dt

 \frac{tgt}{cos^{2}t}dt=dV\Rightarrow V=\int \frac{tgt}{cos^{2}t}dt=

 =\int \frac{sint}{cos^{3}t}dt=-\int \frac{d(cost)}{cos^{3}t}=-\frac{cos^{-2}t}{-2}=\frac{1}{2cos^{2}t}

Застосовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо: 

 =t\cdot \frac{1}{2cos^{2}t}|_{0}^{\frac{\pi }{3}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{dt}{2cos^{2}t}}=

 =\frac{\pi }{3}\cdot \frac{1}{2cos^{2}\frac{\pi }{3}}-0\cdot \frac{1}{2cos0}-\frac{1}{2}tgt|_{0}^{\frac{\pi }{3}}=

 =\frac{\pi }{3}\cdot \frac{1}{2\cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{2}}-0-\frac{1}{2}\left(tg\frac{\pi }{3} -tg0\right)=

 =\frac{\pi }{3}\cdot 2-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} .♦

Приклад

Перевірити інтеграл на збіжність  \int_{2}^{+\infty}{\frac{3^{xdx}}{3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3}}

♦  \int_{2}^{+\infty}{\frac{3^{xdx}}{3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3}}=\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{2}^{b}{\frac{3^{xdx}}{3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3}}=

 =\begin{vmatrix} 3^{x}=t\\ 3^{x}ln3dx=dt\\ 3^{x}dx=\frac{dt}{ln3} \end{vmatrix}=\frac{1}{ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b}{\frac{tdt}{t^{2}-4t+3}}=

 =\frac{1}{ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b}{\frac{tdt}{\left(t-1 \right)\left(t-3 \right)}}=

Розкладемо підінтегральний вираз на елементарні дроби (t = 1 i t = 3 – корені многочлена t2 – 4t + 3):  

 \frac{A}{t-1}+\frac{B}{t-3}=\frac{t}{t^{2}-4t+3}

 At-3A+Bt-B=t

 \left(A+B \right)t+\left(-3A-B \right)=t

 \left\{\begin{matrix} A+B=1,\\ -3A-B=0; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A-3A=1,\\ B=-3A; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2A=1,\\ B=-3A; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A=-\frac{1}{2},\\ B=\frac{3}{2}. \end{matrix}\right.

Значить, маємо інтгерал: 

 =\frac{1}{ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{0}^{b}{\left(-\frac{1}{2\left(t-1 \right)}+\frac{3}{2\left(t-3 \right)} \right)dt}=

 =\frac{1}{ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{2}\int_{0}^{b}{\frac{dt}{t-1}}+\frac{3}{2}\int_{0}^{b}{\frac{dt}{\left(t-3 \right)}} \right)=

 =\frac{1}{ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{2}ln\left|t-1 \right||_{0}^{b}+\frac{3}{2}ln\left|t-3 \right| |_{0}^{b}\right)=

 =\frac{1}{2ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(\left(ln\left|3^{x} -3\right|^{3} -ln\left|3^{x}-1 \right|\right)|_{0}^{b} \right)=

 =\frac{1}{2ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}ln\left|\frac{3^{x}-3}{3^{x}-1} \right||_{0}^{b}=

 =\frac{1}{2ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(ln\left|\frac{3^{b}-3}{3^{b}-1} \right| -ln\left|\frac{3^{0}-3}{3^{0}-1} \right|\right)=

 =\frac{1}{2ln3}\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(ln\left|1 -\frac{2}{3^{b}-1}\right|-ln\frac{2}{0} \right)=-\infty .

Отже, невласний інтеграл розбігається. ♦

Приклад

Перевірити чи збігається інтеграл. Якщо так, то обчислити його значення.

 \int_{0}^{2}{\sqrt{\frac{arcsin\frac{x}{2}}{4-x^{2}}}dx}

♦  \int_{0}^{2}{\sqrt{\frac{arcsin\frac{x}{2}}{4-x^{2}}}dx}=\int_{0}^{2}{\frac{\sqrt{arcsin\frac{x}{2}}}{\sqrt{4-x^{2}}}dx}=

 =\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\int_{0}^{\varepsilon }{\frac{\sqrt{arcsin\frac{x}{2}}}{\sqrt{4-x^{2}}}dx}=\begin{vmatrix}arcsin\frac{x}{2}=t\\ \frac{dx}{\sqrt{4-x^{2}}}=dt \end{vmatrix}=

 =\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\int_{0}^{\varepsilon }{\sqrt{t}dt}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\int_{0}^{\varepsilon }{t^{\frac{1}{2}}dt}=

 =\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}|_{0}^{\varepsilon }=\frac{2}{3}\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\sqrt{\left(arcsin\frac{x}{2} \right)^{3}}|_{0}^{\varepsilon }=

 =\frac{2}{3}\lim_{\varepsilon \rightarrow 2}\left(\sqrt{\left(arcsin\frac{\varepsilon }{2} \right)^{3}}-\sqrt{\left(arcsin0 \right)^{3}} \right)=

 =\frac{2}{3}\left(\sqrt{\left(arcsin1 \right)^{3}}-\sqrt{\left(arcsin0 \right)^{3}} \right)=

 =\frac{2}{3}\left(\sqrt{\left( \frac{\pi }{2}\right)^{3}} -0\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{3}\sqrt{\frac{\pi }{2}}  .♦

Приклад

Обчислити визначений інтеграл  \int_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{dx}{\left(5x-1 \right)^{2}}} .

 \int_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{dx}{\left(5x-1 \right)^{2}}}=\begin{vmatrix} 5x-1=t,\\ 5dx=dt,\\ dx=\frac{dt}{5} \end{vmatrix}=

 =\int_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{dt}{5t^{2}}}=\frac{1}{5}\int_{\frac{2}{5}}^{1}{t^{-2}}dt=

 =\frac{1}{5}\cdot \frac{t^{-2+1}}{-2+1}|_{\frac{2}{5}}^{1}=\frac{1}{5}\cdot \frac{t^{-1}}{-1}|_{\frac{2}{5}}^{1}=

 =-\frac{1}{5t}|_{\frac{2}{5}}^{1}=-\frac{1}{5(5x-1)}|_{\frac{2}{5}}^{1}=

 =-\frac{1}{5(5\cdot 1-1)}+\frac{1}{5(5\cdot \frac{2}{5}-1)}=

 =-\frac{1}{5\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 1}=-\frac{1}{20}+\frac{1}{5}=

 =\frac{-1+4}{20}=\frac{3}{20} .♦