Поверхні другого порядку

Приклад

Визначити яку поверхню задає рівняння:

а) х= 8 (у2 + z2);

б) 2x2 + 3y2 – z2 = 18.

♦ a)  x^{2}=8(y^{2}+z^{2})

 x^{2}-8y^{2}-8z^{2}=0\; |:8

 \frac{x^{2}}{8}-y^{2}-z^{2}=0\; |\cdot (-1)

 \frac{y^{2}}{1^{2}}+\frac{z^{2}}{1^{2}}-\frac{x^{2}}{\sqrt{8}^{2}}=0  .

Рівняння задає конус (конічну поверхню), що насаджений на вісь Ох, для якого а = √8, b = 1, c = 1.

б)  2x^{2}+3y^{2}-z^{2}=18\; |:18

 \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}-\frac{z^{2}}{18}=1

 \frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{6}^{2}}-\frac{z^{2}}{\sqrt{18}^{2}}=1  .

Рівняння задає однопорожнинний гіперболоїд, насаджений на вісь Oz, для якого а = 3, b = √6, c = √18 = 3√2.♦

Приклад

Визначити тип поверхні, що задана рівнянням 

  3x^{2}+4y^{2}-8z^{2}-18x+8y+32z+23=0 . Знайти головні перерізи цієї поверхні.

♦ Для того, щоб визначити тип поверхні, спочатку запишемо її рівняння у канонічному вигляді. Для цього виділимо повні квадрати відносно змінних х, у та z:

3(x^{2}-6x+9)+4(y^{2}+2y+1)-8(z^{2}-4z+4)-27-4+\\+32+23=0,\\ 3(x-3)^{2}+4(y+1)^{2}-8(z-2)^{2}=-24.

Поділимо обидві частини отриманої рівності на 24:

\frac{(x-3)^{2}}{8}+\frac{(y+1)^{2}}{6}-\frac{(z-2)^{2}}{3}=-1.

Введемо заміну:

 \bar{x}=x-3, \; \bar{y}=y+1,\;  \bar{z}=z-2.

Отримаємо канонічне рівняння   \frac{\bar{x}^{2}}{8}+\frac{\bar{y}^{2}}{6}-\frac{\bar{z}^{2}}{3}=-1 , яке задає двопорожнинний гіперболоїд з центром у точці О′(3; -1; 2).

Тепер знайдемо головні перерізи цієї поверхні в новій системі координат.

У перерізі поверхні площиною   \bar{z}=0 отримаємо порожню множину. У перерізі площиною  \bar{y}= 0 отримаємо гіперболу  \frac{\bar{x}^{2}}{8}-\frac{\bar{z}^{2}}{3}=-1 , а площиною  \bar{x}=0  – гіперболу  \frac{\bar{y}^{2}}{6}-\frac{\bar{z}^{2}}{3}=-1 .

Якщо ж говорити про переріз поверхні площиною   \bar{z}=a , то отримаємо:

а) порожню множину, якщо   \left| a\right|<\sqrt{3}\\ ;

б) точку   C(0;0;\pm \sqrt{3}) , якщо    a=\pm \sqrt{3} ;

в) еліпс  \frac{\bar{x}^{2}}{8}+\frac{\bar{y}^{2}}{6}=\frac{a^{2}}{3}-1 , якщо   \left| a\right|>\sqrt{3} .♦

Приклад

Скласти рівняння конічної поверхні, вершиною якої є точка К (0; 1; 2), а напрямною є крива

  \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,\\ z-1=0 \end{matrix}\right.

Знаючи вершину конуса К (0; 1; 2), можемо скласти рівняння довільної його твірної – прямої, що проходить через точку К:  \frac{x}{l}=\frac{y-1}{m}=\frac{z-2}{1},  де l i m – змінні параметри, залежність між якими знайдемо із системи рівнянь (умови перетину твірної та напрямної):

  \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,\\ z-1=0,\\ \frac{x}{l}=\frac{y-1}{m}=\frac{z-2}{1}. \end{matrix}\right.

Виключимо із системи змінні x, y, z, розглянувши друге і третє рівняння системи:

   \frac{x}{l}=z-2,\; z=1\; \Rightarrow x=-l;\; \frac{y-1}{m}=z-2,\; z=1\; \Rightarrow y=-m+l.

Підставивши значення х та у у перше рівняння системи, дістанемо

 \frac{l^{2}}{4}+\frac{(-m+1)^{2}}{3}=1 або  3l^{2}+4m^{2}-8m-8=0 .

Нехай М (х; у; z) – біжуча точка конічної поверхні. Тоді, ця точка лежить на деякій твірній. Виразимо  l i m через біжучі координати поверхні x, y, z:

 \frac{x}{l}=z-2\; \Rightarrow \; l=\frac{x}{z-2},\; \frac{y-1}{m}=z-2\; \Rightarrow\; m=\frac{y-1}{z-2}.

Підставимо ці значення в рівняння  3l^{2}+4m^{2}-8m-8=0 і отримаємо:

 3\left(\frac{x}{z-2} \right)^{2}+4\left(\frac{y-1}{z-2} \right)^{2}-8\left(\frac{y-1}{z-2} \right)-8=0,

звідки і отримаємо рівняння конічної поверхні:

 3x^{2}+4y^{2}-8z^{2}-8yz+8y+40z-44=0 .♦

Приклад

Записати рівняння поверхні, утвореної при обертанні навколо осі Oz гіперболи, що лежить у площині xOz, має центр у початку координат, дійсну вісь a = 6, e = 5/2. Визначити тип поверхні. 

Визначимо рівняння гіперболи.

Оскільки а = 6, то е = с/а =  ⇒ с = 6·5/2 = 15 ⇒

b= c2 – a2 = 152 – 62 = 225 – 36 = 289.

Отже, рівняння гіперболи має вигляд 

 \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{36}-\frac{z^{2}}{289}=1,\\ y=0 \end{matrix}\right.

Оскільки шукану поверхню дістаємо обертанням гіперболи навколо уявної осі Оz, то вона є однопорожнинним гіперболоїдом обертання, рівняння якого має вигляд:  \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{36}-\frac{z^{2}}{289}=1 . ♦

Приклад

Дано поверхню

  \frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=2z . Знайти перерізи заданої поверхні площинами    y - 4=0, z = x   та точки її перетину з прямою  \frac{x-1}{2}=\frac{y+4}{4}=\frac{z}{1}.

♦ Задана поверхня є гіперболічним параболоїдом. Знайдемо переріз цієї поверхні площиною  y - 4=0  \frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=2z\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}-\frac{4^{2}}{4}=2z\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}=2z+4\Rightarrow x^{2}=6(z+2)

Останнє рівняння визначає параболу, яка лежить у площині у = 4. Вершиною параболи є точка О’( 0; 4; -2), а параметр р=3.

Тепер знайдемо криву перетину даної поверхні площиною  z = x  :  \frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=2x\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=2x . Виділимо повні квадрати:    \frac{1}{3}(x^{2}-6x+9)-\frac{y^{2}}{4}=3\Rightarrow \frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{12}=1 .

Отже, в перерізі отримали гіперболу: \frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{12}=1 .

Центром цієї гіперболи є точка О’(3; 0; 3), півосі   a=3,\;  b=2\sqrt{3} , а її вершини знаходяться у точках А1 (0; 0; 0) та А(6; 0; 6).

Для визначення точок перетину даної поверхні з прямою  \frac{x-1}{2}=\frac{y+4}{4}=\frac{z}{1} запишемо рівняння прямої в параметричному вигляді : x = 2t +1, y = 4t – 2, z = t.

Підставивши ці значення у рівняння поверхні, отримаємо:

 \frac{(2t+1)^{2}}{3}-\frac{(4t-2)^{2}}{4}=2t\\\Rightarrow \frac{4t^{2}+4t+1}{3}-(4t^{2}-4t+1)-2t=0\Rightarrow .

1+4t+4t^{2}-12t^{2}+12t-3-6t=0\Rightarrow 4t^{2}-5t+1=0..

D=25-16=9 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{8}\Rightarrow x_{1}=1, x_{2}=\frac{1}{4}.

Підставивши ці значення у рівняння прямої, отримаємо дві точки перетину прямої з поверхнею:

x_{1}=2+1=3,\; y_{1}=4-2=2,\; z_{1}=1\Rightarrow M_{1}(3;2;1)

x_{2}=2\cdot \frac{1}{4}+1=\frac{3}{2},\; y_{2}=4\cdot \frac{1}{4}-2=-1,\; z_{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow M_{2}(\frac{3}{2};-1;\frac{1}{4}).♦

Приклад

Визначити тип поверхні, яку задає кожне з рівнянь:

а) (x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=16;

б) \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1;

в) \frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{7}-\frac{z^{2}}{10}=1;

г) \frac{x^{2}}{11}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=-1;

д) x=\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{25};

е) y=\frac{x^{2}}{15}-\frac{z^{2}}{27};

♦а) (x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=16 – сфера з центром у точці М (1; -2; 3) та радіусом R=4.

б) \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1 – еліпсоїд, утворений обертанням навколо осі Оу еліпса \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1.

в) \frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{7}-\frac{z^{2}}{10}=1 – однопорожнинний гіперболоїд обертання, що утворюється обертанням гіперболи \frac{x^{2}}{7}-\frac{z^{2}}{10}=1, що лежить у площині xOz, навколо осі Oz.

г) \frac{x^{2}}{11}+\frac{y^{2}}{9}-\frac{z^{2}}{16}=-1 – двопорожнинний гіперболоїд, насаджений на вісь Oz.

д) x=\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{25} – еліптичний параболоїд, насаджений на вісь Ох.

е) y=\frac{x^{2}}{15}-\frac{z^{2}}{27}; – гіперболічний параболоїд, насаджений на вісь Оу.♦