Координатний простір

Приклад

Задано точки А(2; 4; 5), В(1; -2; 4) та С(-1; -2; 4). Знайти:

а) координати вектора  \vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC} , його довжину,  напрямні косинуси та орт-вектор;

б) скалярний добуток векторів  \vec{a} та  \vec{b}=\vec{BC} ;

в) проекцію вектора   \vec{c}=\vec{BC} на вектор  \vec{d}=\vec{BA} ;

г) координати точки М, яка ділить відрізок ВС у відношенні α:β = 1:1.

♦ a)  \vec{AC}=\left(x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A}; z_{C}-z_{A}\right)=  =\left(-1-2;-2-4;4-5 \right)=\left(-3;-6;-1 \right);  \vec{AB}=\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A}; z_{B}-z_{A}\right)=  =\left(1-2;-2-4;3-5 \right)=\left(-1;-6;-2 \right);  3\vec{AB}=\left(-3;-18;-6 \right);  4\vec{AC}=\left(-12;-24;-4 \right);  \vec{a}=3\vec{AB}-4\vec{AC}=\left(x_{3\vec{AB}}-x_{4\vec{AC}};y_{3\vec{AB}}-y_{4\vec{AC}}; z_{3\vec{AB}}-z_{4\vec{AC}}\right)=  =\left(-3+12;-18+24;-6+4 \right)=\left(9;6;-2 \right);  \left|\vec{a} \right|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}=\sqrt{9^{2}+6^{2}+(-2)^{2}}=  =\sqrt{81+36+4}=\sqrt{121}=11.  \left|\vec{a} \right|=11 – довжина  вектора а. Напрямні косинуси:  cos\alpha =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|};  cos\beta =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|};  cos\gamma =\frac{x_{a}}{\left|\vec{a} \right|}; . Значить  \vec{a_{0}}=\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a} \right|}=\left(\frac{9}{11};\frac{6}{11};-\frac{2}{11} \right) – орт вектора а. б)  \vec{a}\cdot \vec{b}=?  \vec{a}=\left(9;6;-2 \right)  \vec{b}=\vec{BC}=\left(x_{C}-x_{B};y_{C}-y_{B}; z_{C}-z_{B}\right)=  =\left(-1-1;-2+2;4-3 \right)=\left(-2;0;1 \right)  \vec{a}\cdot \vec{b}=x_{a}\cdot x_{b}+y_{a}\cdot y_{b}+z_{a}\cdot z_{b}=  =9\cdot (-2)+6\cdot 0+(-2)\cdot 1=  =-18+0-2=-20.  cos\varphi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|}=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{(-2)^{2}+0+1^{2}}}=\frac{-20}{11\cdot \sqrt{5}=-\frac{4\sqrt{5}}{11}}\approx -0,81;  \varphi =arccos\left(-0,81 \right)=\pi -arccos0,81=180^{0}-36^{0}=144^{0}. . в)  \vec{c}=\vec{BC}=\left(-2;0;1 \right)  \vec{d}=\vec{BA}=(x_{A}-x_{B};y_{A}-y_{B};z_{A}-z_{B})=  =\left(2-1;4+2;5-3 \right)=\left(1;6;2 \right)  np\frac{\vec{c}}{\vec{d}}=\frac{\vec{c}\vec{d}}{\left|\vec{d} \right|}=\frac{\left(-2;0;1 \right)\left(1;6;2 \right)}{\sqrt{1^{2}+6^{2}+2^{2}}}=\frac{-2+0+2}{\sqrt{1+36+4}}=\frac{0}{\sqrt{41}}=0  . г)  x_{M}=\frac{x_{B}+\lambda x_{C}}{1+\lambda };  y_{M}=\frac{y_{B}+\lambda y_{C}}{1+\lambda };  z_{M}=\frac{z_{B}+\lambda z_{C}}{1+\lambda };  x_{M}=\frac{1+1\cdot (-1)}{1+1}=\frac{0}{2}=0;  y_{M}=\frac{-2+1\cdot (-2)}{1+1}=-\frac{4}{2}=-2;  z_{M}=\frac{3+1\cdot 4}{1+1}=\frac{7}{2}=3,5 .♦

Приклад

Знайти  |\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]| , якщо  \vec{a}\perp \vec{b} та  |\vec{a}|=1,\; |\vec{b}|=2 .

♦ Нехай  \vec{a}(a_{x};a_{y};a_{z}) ,  \vec{b}(b_{x};b_{y};b_{z}) . Тоді:  2\vec{a}(2a_{x};2a_{y};2a_{z}) ,  3\vec{a}(3a_{x};3a_{y};3a_{z}) ,  2\vec{b}(2b_{x};2b_{y};2b_{z}) ,  2\vec{a}-\vec{b}=(2a_{x}-b_{x};2a_{y}-b_{y};2a_{z}-b_{z})  3\vec{a}+2\vec{b}=(3a_{x}+2b_{x};3a_{y}+2b_{y};3a_{z}+2b_{z})  |\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|=|\left(2a_{x}-b_{x} \right)\left(3a_{x}+2b_{x} \right)+  +\left(2a_{y}-b_{y} \right)\left(3a_{y}+2b_{y} \right)+\left(2a_{z}-b_{z} \right)\left(3a_{z}+2b_{z} \right)|=  =|6a_{x}^{2}-3a_{x}b_{x}+4a_{x}b_{x}-2b_{x}^{2}+6a_{y}^{2}-3a_{y}b_{y}+4a_{y}b_{y}-  -2b_{y}^{2}+6a_{z}^{2}-3a_{z}b_{z}+4a_{z}b_{z}-2b_{z}^{2}|=  =|6\left( a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}\right)+\left(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z} \right)-2\left(b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2} \right)| (*)  |\vec{a}|=\sqrt{ a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}\Rightarrow a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}=|\vec{a}|^{2};  |\vec{b}|=\sqrt{ b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}\Rightarrow b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}=|\vec{b}|^{2};  \vec{a}\cdot \vec{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z};  \vec{a}\perp \vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0\Rightarrow a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0; Підставимо отримані значення в рівність (*) і отримаємо:  |\left[2\vec{a}-\vec{b} \right],\left[3\vec{a} +2\vec{b}\right]|=|6\cdot 1^{2}+0-2\cdot 2^{2}|=  =|6+0-8|=|-2|=2

Приклад

Знайти ранг системи векторів

 \vec{a}(1;2;-1) ,  \vec{b}(3;-1;-2) ,  \vec{c}(-2;4;1) ,  \vec{d}(-1;-1;2) та записати будь-яку базу.

Запишемо матрицю, складену з координат заданих векторів та обчислимо її ранг шляхом елементарних перетворень:

 \begin{pmatrix} 1 &2 &-1 \\ 3 & -1 &-2 \\ -2 &4 &1 \\ -1& -1 &2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 &-1 \\ 0 & -7 &1 \\ 0& 8 &-1 \\ 0 & 1 &1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 &2 &-1 \\ 0 &1 &1 \\ 0 & -7 &1 \\ 0 & 8 &-1 \end{pmatrix} \rightarrow  \begin{pmatrix} 1 &2 &-1 \\ 0 & 1 &1 \\ 0 & 0 & 8\\ 0 &0 & -9 \end{pmatrix}

 rang \left<\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} \right>=4

Оскільки ранг дорівнює 4, то до бази будуть входити всі 4 вектори, наприклад:  \left<\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} \right>

Приклад

Визначити, при якому значенні λ вектори перпендикулярні

  \vec{c}(-2;4;1) та  \vec{d}(-1;\lambda ;2) .

♦За критерієм перпендикулярності, два вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. Тобто:  \vec{c}\perp \vec{d}\Leftrightarrow \vec{c}\cdot \vec{d}=0  \vec{c}\cdot \vec{d}=\left(-2;4;1 \right)\cdot \left(-1;\lambda ;2 \right)=2+4\lambda +2=  =4\lambda +4=0\Rightarrow 4\lambda =-4\Rightarrow \lambda =-1 При  \lambda =-1\; \vec{c}\perp \vec{d} .♦

Приклад

Знайти площу трикутника, побудованого на векторах

 \vec{a}(1;2;-1) ,  \vec{b}(3;-1;-2) як на сторонах.

♦Площу трикутника можна визначити через векторний добуток векторів, на яких він побудований:  S_{\Delta }=\frac{1}{2}|\vec{a}\times \vec{b}|=

 =| \begin{vmatrix} a_{y} &a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end{vmatrix}\vec{i}- \begin{vmatrix} a_{x} &a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} a_{x} &a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{vmatrix} \vec{k}|=

 =| \begin{vmatrix} 2 &-1 \\ -1 &-2 \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 3 & -2 \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}\vec{k}|=

 =|\left(-4-1 \right)\vec{i}-\left(-2+3 \right)\vec{j}+\left(-1-6 \right)\vec{k}|=  =|-5\vec{i}-\vec{j}-7\vec{k}|=\sqrt{\left(-5 \right)^{2}+1^{2}+\left(-7 \right)^{2}}=  =\sqrt{25+1+49}=\sqrt{75}=5\sqrt{5} (кв. од.)♦

Приклад

Визначити орієнтацію заданої трійки векторів:

 \vec{a}(1;2;-1) ,  \vec{b}(3;-1;-2) ,  \vec{c}(-2;4;1) .

♦ Знайдемо мішаний добуток цих векторів та визначимо його знак.

 \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}=\begin {vmatrix} 1 &2 &-1 \\ 3 &-1 &-2 \\ -2 &4 &1 \end {vmatrix}=-1<0

Оскільки мішаний добуток від’ємний, то вектори утворюють ліву трійку векторів.♦

Приклад

Знайти об’єм тетраедра, побудованого на векторах

 \vec{a}(1;2;-1) ,  \vec{b}(3;-1;-2) ,  \vec{c}(-2;4;1) .

♦ Об’єм тетраедра можна обчислити за формулою

 V=\frac{1}{6}\left|\vec{a} \cdot \vec{b}\cdot \vec{c}\right|=

 =\frac{1}{6}|\begin{vmatrix} 1 &2 &-1 \\ 3 &-1 &-2 \\ -2 &4 &1 \end{vmatrix}|=

 =\frac{1}{6}\left|-1+8-12+2+8-6 \right|=\frac{1}{6}\left|-1 \right|=\frac{1}{6} (куб. од.)♦

Приклад

Перевірити чи компланарні вектори 

 \vec{a}=\left(8;6;4 \right),\; \vec{b}=\left(10;5;5 \right),\; \vec{c}=\left(5;1;0 \right) .

♦  \vec{a}\cdot \left(\vec{b}\times \vec{c} \right)=\begin{vmatrix} 8 &6 &4 \\ 10 &5 &5 \\ 5 &1 &0 \end{vmatrix}= 8\cdot 5\cdot 0+ 6\cdot 5\cdot 5+

 + 10\cdot 1\cdot 4- 4\cdot 5\cdot 5- 5\cdot 1\cdot 8- 10\cdot 6\cdot 0=

 =0+150+40-100-40=50\neq 0  .

Отже, вектори не компланарні.♦

Приклад

Задано трикутник АВС координатами його вершин А (10; -4; 6), В (-6; 2; 16), С (-2; -10; 10). Знайти внутрішній кут трикутника при вершині А, довжину висоти СН та обчислити його площу. 

♦ Внутрішній кут трикутника ∠А будемо шукати як кут між векторами   \bar{AB} та   \bar{AC} .

 cos ∠A =  \frac{\bar{AB}\cdot \bar{AC}}{\left|\bar{AB} \right|\left|\bar{AC} \right|}

 \bar{AB}=(-16;6;10) ,

 \bar{AC}=(-12;-6;4) ,

 \left|\bar{AB} \right|=\sqrt{(-16)^{2}+6^{2}+10^{2}}=14\sqrt{2} ,

  \left|\bar{AC} \right|=\sqrt{(-12)^{2}+(-6)^{2}+4^{2}}=14 ,

  \frac{\bar{AB}\cdot \bar{AC}}{\left|\bar{AB} \right|\left|\bar{AC} \right|}=\frac{-16\cdot (-12)+6\cdot (-6)+10\cdot 4}{14\sqrt{2}\cdot 14}=\frac{196}{196\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} .

Отже, cos ∠A =   \frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow   ∠A = 45о.

Знайдемо площу трикутника АВС  за формулою:

  S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|\bar{AB} \right|\cdot \left|\bar{AC} \right|sin<A = \frac{1}{2}\cdot 14\sqrt{2}\cdot 14\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=24.5 (кв. од.)

З іншого боку: S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB \cdot CH . Тому:  CH = \frac{2S_{\Delta ABC}}{AB}=\frac{196}{14\sqrt{2}}=7\sqrt{2} (од.) ♦

Приклад

Дано три вершини паралелограма ABCD:  А (2; -1; -3), В (6; 0; -5) та С (4; 5; 1). Знайти координати його четвертої вершини D, вектор   \bar{AD} та напрямні косинуси цього вектора.  

♦ Нехай точка   M (x_{1}; y_{1};z_{1}) – це точка перетину діагоналей паралелограма. Оскільки М є серединою відрізка ВС, то її координати знайдемо за формулами:  x_{1}=\frac{2+4}{2}=3,\; y_{1}=\frac{-1+5}{2}=2,\; z_{1}=\frac{-3+1}{2}=-1  ⇒ М (3; 2; -1).

Точка М є також серединою діагоналі BD, За такими ж формулами визначаємо координати точки D:

  3=\frac{6+x}{2}, \; 2=\frac{0+y}{2},\; -1=\frac{-5+z}{2}\; \Rightarrow x=0,\; y=-4,\; z=3  ⇒ D (0; -4; 3).

Знаходимо вектор   \bar{AD}=(0-2;-4-(-1);3-(-3))=(-2;-3;6)

Щоб знайти напрямні косинуси, необхідно знайти довжину вектора   \bar{AD} :

 \left| \bar{AD} \right|=\sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}=7 .

За формулами для обчислення напрямних косинусів маємо:

  cos \alpha = \frac{-2}{7},\; cos\beta =\frac{-3}{7},\; cos\gamma =\frac{6}{7} . ♦

Приклад

Перевірити чи є чотирикутник ABCD  квадратом, якщо його вершини задані своїми координатами: 

A (-6; -4; 2), B (14; 16; 12), C (-8; 36; 16), D (-28; 16; 6).

♦ Запишемо вектори сторін даного чотирикутника: 

 \bar{AB}= (20; 20; 10),\;   \bar{BC}= (-22; 20; 4),\;  \bar{CD}= (-20; -20; -10),\;   \bar{AD}= (-22; 20; 10),\;  Бачимо, що:   \bar{AB}= - \bar{CD},\; \bar{BC}=\bar{AD} Знайдемо довжини цих векторів:   \left|\bar{AB} \right|= \sqrt{20^{2}+20^{2}+10^{2}}= 30,   \left|\bar{BC} \right|= \sqrt{-22^{2}+20^{2}+4^{2}}= 30 . Бачимо, що всі сторони чотирикутника рівні. Крім того :  \bar{AB} \cdot \bar{BC}= 20\cdot (-22) + 20\cdot 20+10\cdot 4=0 \; \Rightarrow \bar{AB} \perp \bar{BC}. . Отже, маємо чотирикутник, у якого всі сторони рівні, а кути прямі, тобто квадрат. ♦

Приклад

При яких значеннях змінних α та β вектори є колінеарними

  \bar{a}=(12;\alpha ;6),\; \bar{b}=(4;-5 ;\beta )

♦ За означеннями вектори   \bar{a}=(x_{1}; y_{1}; z_{1}),\; \bar{b}=(x_{2}; y_{2}; z_{2})  є колінеарними, якщо виконується умова: 

 \bar{a}=\lambda \bar{a} , тобто   x_{1}=\lambda x_{2},\; y_{1}=\lambda y_{2},\; z_{1}=\lambda z_{2}  ⇒ \frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\lambda  .

Значить, координати заданих векторів повинні бути пропорційними. А отже:   \frac{12}{4}=\frac{\alpha}{-10}=\frac{6}{\beta }=3 . Маємо:  \alpha =-10\cdot 3 =-30 ,   \beta =\frac{6}{3}=2

Тому вектори  \bar{a}=(12;-30;6) \; \bar{b}=(4;-10;2) – колінеарні. Причому однаково напрямлені, оскільки λ = 3 > 0. ♦

Приклад

Знайти довжину медіани СМ та бісектриси ВК  у трикутнику, якщо його вершини задані своїми координатами А(-1;4;2), В(7;1;-3), С(10;-3;-2).

♦Оскільки СМ – медіана, то точка М – це середина сторони АВ заданого трикутника. Тому координати точки М (х1; у1; z1) можемо знайти за формулами координат середини відрізка. Тобто:

 x_{1}=\frac{-1+4}{2}=1.5 ;

 y_{1}=\frac{4+1}{2}=2.5 ;

 z_{1}=\frac{2+3}{2}=2.5 .

Маємо: М (1,5; 2,5; 2,5)

За формулою для обчислення довжини відрізка шукаємо довжину медіани СМ:

  CM = \sqrt{(10-1.5)^{2}+(-3-2.5)^{2}+(-2-2.5)^{2}}=\sqrt{8.5^{2}+(-5.5)^{2}+(-4.5)^{2}}=5\sqrt{4.91}.

Тепер обчислимо довжину бісектриси ВК. За властивістю бісектриси внутрішнього кута трикутника (бісектриса ділить протилежну сторону трикутника на відрізки пропорційні прилеглим бічним сторонам) маємо рівність:  \frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC} .

Знайдемо довжини сторін АВ та АС:

 AB=\sqrt{(-1-7)^{2}+(4-1)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{74}\approx 8.6 ;

 AC=\sqrt{(-1-10)^{2}+(4+3)^{2}+(2+2)^{2}}=\sqrt{186}\approx 13.6 .

Запишемо відношення цих сторін:

 \frac{AB}{AC}=\frac{8.6}{13.6}\approx0.6 .

Це значить, що відношення \frac{BK}{KC}=0,6 . Тобто точка К ділить сторону ВС у відношенні λ=0,6.

Тоді за формулами координат точки, що ділить відрізок у заданому співвідношенні знаходимо координати точки К:

 x_{1} =\frac{4 +0.6\cdot 10}{1+0.6}=6.25;

  x_{1} =\frac{1 +0.6\cdot (-3)}{1+0.6}=-0.5;

 x_{1} =\frac{3 +0.6\cdot (-2)}{1+0.6}=1.125 \Rightarrow K(6.25; -0.5; 1.125) .

За формулою для обчислення довжини відрізка знаходимо довжину бісектриси АК:

 AK = \sqrt{(-1-6.25)^{2}+(4+0.5)^{2}+(2-1.125)^{2}}\approx \sqrt{73.6}\approx 8.6