Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначники

Приклад

Обчислити добутки матриць АВ та ВА  (якщо це можливо) для заданих матриць:

a)   A = \begin {pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0& -3 &4 \end {pmatrix}, B = \begin {pmatrix} 0 &1 \\ 1&0 \\ -1&1 \end{pmatrix};

б)  A =\begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2\\ 4 \end{pmatrix},\; B = \begin {pmatrix} 3 &5 &-4 &0 \end {pmatrix} ;

в)  A =\begin {pmatrix} -2 &4 \\ 3&-1 \end {pmatrix},\; B = \begin {pmatrix} -1 &3 &4 \\ 4& 3 &-1 \end {pmatrix} ;

г)    A=\begin {pmatrix} 2 &-1 \\ 0&5 \end {pmatrix}, \; B = \begin {pmatrix} 7 &3 \\ 4 & -1\\ 2 &0 \end {pmatrix} .

♦ а) Задано матриці  A_{2\times 3} \; i \; B_{3\times 2}.  Їх розмірності дозволяють знайти добутки  АВ і ВА. При цьому добуток АВ матиме розмірність 2×2, а добуток ВА – 3×3. Отже:

 AB = \begin {pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0&-3 &4 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0\\ -1 &1 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 0-1-2 &1-0+2 \\ 0-3-4 & 0-0+4 \end {pmatrix}=

= \begin {pmatrix} -3&3 \\ -7&4 \end {pmatrix} ,

 BA=\begin {pmatrix} 0 &1 \\ 1& 0\\ -1 &1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0&-3 &4 \end{pmatrix}=

 = \begin {pmatrix} 0+0 &0-3 &0+4 \\ 1+0 & -1-0 &2+4 \\ -1+0& 1-3 & -2+4 \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 0 &-3 &4 \\ 1& -1& 6\\ -1&-2 &2 \end {pmatrix} .

б) Для заданих матриць існують обидва добутки АВ та ВА. Матриця АВ матиме розмірність 4×4, а матриця ВА – 1×1.

 AB =\begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 5 &-4& 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 &-5 &4 &0 \\ 9& 15& -12& 0\\ 6 &10 &-8 &0 \\ 12& 20& -16&0 \end{pmatrix} ,

 BA=\begin{pmatrix} 3 &5 &-4 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3+15-8+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \end{pmatrix} .

в) Оскільки розмірність матриці А 2×2, а розмірність матриці В 2×3, то в даному випадку існує лише добуток АВ. Це буде матриця розмірності 2×3.  Добуток ВА знайти не можливо.

 AB= \begin{pmatrix} -2 &4 \\ 3 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 &3 &4 \\ 4& 3& -1 \end{pmatrix}=

=\begin{pmatrix} 2+16 &-6+12 &-8-4 \\ -3-4& 9-3 &12+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18 &6 &-12 \\ -7& 6& 13 \end{pmatrix} .

Оскільки, розмірність матриці А 2×2, а розмірність матриці В 3×2, то можемо знайти лише добуток ВА розмірності 3×2. Добуток АВ знайти неможливо.

 BA=\begin{pmatrix} 7 &3 \\ 4& -1\\ 2& 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 0& 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14+0 &-7+15 \\ 8-0&-4-5 \\ 4+0& -2+0 \end{pmatrix}= =\begin{pmatrix} 14 &8 \\ 8&-9 \\ 4&-2\end{pmatrix} . ♦

Приклад

Розв’язати систему лінійних рівнянь:

Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначникиа) методом Гаусса;                                б) за формулами Крамера.

♦ а) Спочатку запишемо розширену матрицю для заданої системи рівнянь. Виконуючи над нею тотожні перетворення, зведемо її до трикутного вигляду. 

Поміняємо в матриці перший і другий рядок місцями, домножимо перший рядок на (-3) та на (-4) і додамо до другого і третього рядків відповідно:

Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначники

Домножимо другий рядок матриці на (-5) та додамо його до третього рядка матриці. Поділимо останній рядок матриці на (-11). Отримаємо матрицю: 

Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначники

Знайдена матриця відповідає системі рівнянь:

Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначники

Отримали значення змінної z. Підставивши знайдене число в перше і друге рівняння останньої системи, знайдемо значення змінних x та y:

 y=4z-11=4\cdot 4-11=5, \; x=-2-5+4=-3 .

Отже загальний розв’язок системи має вигляд:

x=-3, \; y=5,\;  z= 4 .

б) Розв’яжемо цю ж систему за формулами Крамера. Для цього складемо та обчислимо визничники:

Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначники

Оскільки Δ≠0, то маємо єдиний розв’язок системи, який обчислюємо за формулами:

 x=\frac{\Delta _{x}}{\Delta }=\frac{33}{-11}=-3,\; y=\frac{\Delta _{y}}{\Delta }=\frac{-55}{-11}=5,\;z=\frac{\Delta _{z}}{\Delta }=\frac{-44}{-11}=4.\;

Приклад

Перевірити систему на сумісність. В випадку сумісності знайти її розв’язок:

 \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=6,\\ 2x_{1}-x_{3}-x_{4}=-2,\\ 3x_{1}+x_{2}-2x_{4}=0,\\ x_{1}-x_{2}+2x_{3}-4x_{4}=4, \end{matrix}\right.

 \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=6,\\ 2x_{1}-x_{3}-x_{4}=-2,\\ 3x_{1}+x_{2}-2x_{4}=0,\\ x_{1}-x_{2}+2x_{3}-4x_{4}=4, \end{matrix}\right.

 \bar{A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 &6 \\ 2 &0 & -1 & -1 &-2 \\ 3 & 1 & 0 & -2 &0 \\ 1 &-1 &2 & -4 & 4 \end{pmatrix}\sim  (домножаємо перший рядок на -2 та додаємо до другого, на -3 та додаємо до третього,  на -1 та та додаємо до четвертого)

 \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & 6\\ 0 & -4 &-7 & 3 &-14 \\ 0& -5 & -9 & 4 &-18 \\ 0& -3 &-1 &-2 &-2 \end{pmatrix}\sim  (домножаємо четвертий рядок на -1)

 \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & 6\\ 0 & 3 &1 & 2 &2 \\ 0& -4 & -7 & 3&-14 \\ 0& -5 &-9 &4 &-18 \end{pmatrix}\sim  (домножаємо другий рядок на 4/3 та додаємо до третього, на 5/3 та додаємо до четвертого)

 \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & 6\\ 0 & 3 &1 & 2 &2 \\ 0& 0& -\frac{17}{3} & \frac{17}{3}&-\frac{34}{3} \\ 0& 0&-\frac{22 }{3} &\frac{22 }{3}&-\frac{44}{3} \end{pmatrix}\sim  (домножаємо третій рядок на -3/17, а четвертий на -3/22)

 \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & 6\\ 0 & 3 &1 & 2 &2 \\ 0& 0& 1 & -1&2 \\ 0& 0&1 &-1&2 \end{pmatrix}\sim

 \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -2 & 6\\ 0 & 3 &1 & 2 &2 \\ 0& 0& 1 & -1&2 \\ 0& 0&0 &0&0 \end{pmatrix} ,

 rangA=rang \bar{A}=r=3 .

За теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна. Оскільки, система має n = 4 невідомі, r < 4, то система невизначена і має n – r = 4- 3 = 1 вільну невідому. Нехай це буде х4.

Тоді:   \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=6,\\ 3x_{2}+x_{3}+2x_{4}=2,\\ x_{3}-x_{4}=2, \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} x_{1}=6-2x_{2}-3x_{3}+2x_{4},\\ x_{2}=\frac{2}{3}-\frac{x_{3}}{3}-\frac{2}{3}x_{4},\\ x_{3}=2+x_{4}; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} x_{1}=6-2x_{2}-6-3x_{4}+2x_{4},\\ x_{2}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}-\frac{x_{4}}{3}-\frac{2}{3}x_{4};\\ x_{3}=2+x_{4}; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} x_{1}=2x_{4}-x_{4},\\ x_{2}=-x_{4},\\ x_{3}=2+x_{4}; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} x_{1}=x_{4},\\ x_{2}=-x_{4},\\ x_{3}=2+x_{4}; \end{matrix}\right.x_{4}\in R

Відповідь:  \left\{x_{4};-x_{4};2+x_{4};x_{4} \right\},x_{4}\in R .♦

Приклад

Розв’язати матричне рівняння

 X\cdot \begin{pmatrix} 3 & -4\\ 2 &1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2 &-3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 22 &-46 \\ 35 & -27 \end{pmatrix} .

 X\cdot \begin{pmatrix} 3 & -4\\ 2 &1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2 &-3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 22 &-46 \\ 35 & -27 \end{pmatrix};

 X\cdot \begin{pmatrix} 3 &-4 \\ 2 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 22 &-46 \\ 35 &-27 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2 &-3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix};

 X\cdot \begin{pmatrix} 3 &-4 \\ 2 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 22+2 &-46+3 \\ 35-1 &-27-0 \end{pmatrix};

 X\cdot \begin{pmatrix} 3 &-4 \\ 2 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 24 &-43 \\ 34 &-27 \end{pmatrix};

 X=\begin{pmatrix} 24 &-43 \\ 34 & -27 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 &-4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{-1};

 \begin{pmatrix} 3 &-4 \\ 2 &1 \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix} 1 &4 \\ -2 &3 \end{pmatrix};

 \begin{vmatrix} 3 &-4 \\ 2 &1 \end{vmatrix}=3+8=11;

 A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot 1=1;\; A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot 2=-2;

 A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot (-4)=4;\; A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot 3=3.

 X=\frac{1}{11}\begin{pmatrix} 24 &-43 \\ 34& -27 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 4\\ -2 &3 \end{pmatrix};

 X=\frac{1}{11}\begin{pmatrix} 24+86 &96-129 \\ 34+54 & 136-81 \end{pmatrix};

 X=\frac{1}{11}\begin{pmatrix} 110 &-33 \\ 88 &55 \end{pmatrix};

 X=\begin{pmatrix} 10 &-3 \\ 8 &5 \end{pmatrix}.

Відповідь:  X=\begin{pmatrix} 10 &-3 \\ 8 &5 \end{pmatrix} .♦

Приклад

Знайти матрицю лінійного оператора

 A:R^{2}\rightarrow R^{3} , де  A\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{1}-x_{2}+3x_{3} \\ 2x_{1}+x_{3}\end{pmatrix} в канонічному базисі простору  R^{3} .

Нехай в просторі   R^{3} задано деякий вектор  \vec{x}\left(x_{1};x_{2};x_{3} \right) .

Під дією ліінйного оператора вектор   \vec{x} переходить у вектор   \vec {y}\left(x_{1}-x_{2}+3x_{3};2x_{1}+x_{3} \right) .

Канонічний базис простору   R^{3} має вигляд { \vec{e_{1}};\vec{e_{2}};\vec{e_{3}} } , де  \vec{e_{1}}=(1;0;0) ,  \vec{e_{2}}=(0;1;0) ,  \vec{e_{3}}=(0;0;1) .

Оскільки, лінійний оператор діє на кожен вектор простору  R^{3} , то він дії і на базисні вектори за тим самим правилом. Тобто:

 A\left(\vec{e_{1}} \right)=\begin{pmatrix} 1-0+3\cdot 0\\ 2\cdot 1+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}=(1;2) ,

 A\left(\vec{e_{2}} \right)=\begin{pmatrix} 0-1+3\cdot 0\\ 2\cdot 0+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix}=(-1;0) ,

 A\left(\vec{e_{3}} \right)=\begin{pmatrix} 0-0+3\cdot 1\\ 2\cdot 0+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}=(3;1) .

З векторів, що утворилися маємо матрицю  A'=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ -1 &0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} .♦

Приклад

Задано функцію  f(x)=x^{2}+3x-4-\frac{2}{x} та матрицю  A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -4 &-2 \end{pmatrix} . Знайти  f(A) .

 f(A)=A^{2}+3A-4-2\cdot A^{-1},

 A^{2}=A\cdot A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -4 &-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 &1 \\ -4 &-2 \end{pmatrix}=

 =\begin{pmatrix} 1-4 &1-2 \ -4+8 &-4+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 &-1 \ 4 & 0 \end{pmatrix} ,

 3A=3\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &3 \\ -12 & -6 \end{pmatrix} ,

 \begin{pmatrix} 1 &1 &| &1 &0 \\ -4 & -2 &| &0 &1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 &1 &| &1 &0 \\ 0 &2 &| &4 &1 \end{pmatrix}\rightarrow

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 &| &-1 &-0,5 \\ 0 &1 & | & 2 & 0,5 \end{pmatrix} ,

 A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 &-0,5 \\ 2& 0,5 \end{pmatrix} ,

 4=4\cdot 1=4\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 &0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} ,

 f(A)=\begin{pmatrix} -3 &-1 \\ 4 &0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 &3 \\ -12 & -6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 &0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} -1 &-0,5 \\ 2 &0,5 \end{pmatrix}=

 =\begin{pmatrix} 0 &2 \\ -8 &-6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 &0 \\ 0 &4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 &1 \\ -4 &-1 \end{pmatrix}=

 =\begin{pmatrix} 0-4+2 &2-0+1 \\ -8-0-4 & -6-4-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 &3 \\ -12 & -11 \end{pmatrix} ,

 f(A)=\begin{pmatrix} -2 & 3\\ -12& -11 \end{pmatrix}

Приклад

Обчислити ранг матриці 

 \begin{pmatrix} 1 &3 & 5 & -1\\ 2 & -20 & -3 & 4\\ 5 & 20 & -20 & 7\\ 7 & 7 & 9 & -1 \end{pmatrix}

 \begin{pmatrix} 1 &3 & 5 & -1\\ 2 & -20 & -3 & 4\\ 5 & 20 & -20 & 7\\ 7 & 7 & 9 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо перший рядок на -2 та додамо до другого; на -5 та додамо до третього; на -7 та додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & -1\\ 0 & -26 & -13 & 6\\ 0 & 5 & -45 & 12\\ 0 & -14 & -26 & 6 \end{pmatrix}\rightarrow (домножимо другий рядок на  \frac{5}{26}  та додамо до третього; на  -\frac{7}{13} та додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & -1\\ 0 & -26 & -13 & 6\\ 0 & 0 & -\frac{95}{2} &\frac{171}{13} \\ 0 & 0 & -19 & \frac{36}{13} \end{pmatrix}\rightarrow (домножимо третій рядок на  -\frac{38}{95}  та додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &3 &5 &-1 \\ 0 & -26 & -13 & 6\\ 0 & 0 & -\frac{95}{2} &\frac{171}{13} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{162}{65} \end{pmatrix}\rightarrow (домножимо перший рядок на  -\frac{1}{26} , другий на  -\frac{2}{95} , третій на  -\frac{65}{162} )

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &3 &5 &-1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} &-\frac{3}{13} \\ 0& 0 & 1 &-\frac{18}{65} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Отримали чотири ненульових рядки, тому   Rang(A)=4 .♦

Приклад

Звести матрицю до діагонального вигляду

 \begin{pmatrix} 20 & -1 & 2 & 2 & 5\\ 20 & -20 & 20 & 0 & 3\\ 2 & -2 & 20 & -2 & 4 \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix} 20 & -1 & 2 & 2 & 5\\ 20 & -20 & 20 & 0 & 3\\ 2 & -2 & 20 & -2 & 4 \end{pmatrix}\rightarrow  Домножимо третій рядок на -10 та додамо до першого і другого рядків.

 \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 19 & -198 & 22 & -35\\ 0 & 0 & -180 & 20 & -37\\ 2 & -2 & 20 & -2 & 4 \end{pmatrix}\rightarrow Поміняємо місцями перший та другий рядки матриці.

 \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & -180 & 20 & -37\\ 0 & 19 & -198 & 22 & -35\\ 2 & -2 & 20 & -2 & 4 \end{pmatrix}  ♦ 

Приклад

Знайти фундаментальний розв’язок системи рівнянь

 \left\{\begin{matrix} x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-4x_{4}+2x_{5}=0,\\ x_{1}+2x_{2}-x_{3}-x_{5}=1,\\ x_{1}-x_{3}+2x_{3}-3x_{4}=-1,\\ 4x_{2}-x_{3}+x_{4}-2x_{5}=-1. \end{matrix}\right.

♦ Складемо матрицю системи:

 \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 & 2 & | & 0\\ 1 & 2 & -1 &0 & -1 & | & 1\\ 1 & -1 & 2 & -3 &0 & | & -1\\ 0 & 4 & -1 & 1 & -2 & | & -1 \end{pmatrix} \rightarrow  (домножаємо перший рядок матриці на -1 та додаємо до другого і третього рядків)

\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 &2 & | &0 \\ 0& 4 & -4 & 4 & -3 & | & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & | & -1\\ 0 & 4 & -1 &1 & -2 & | & -1 \end{pmatrix}\rightarrow   (домножаємо третій рядок на -4 та додаємо до другого і четвертого рядків)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 & 2 & | & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & | & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & | & 5\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 6 & | & 3 \end{pmatrix}\rightarrow (домножаємо третій рядок на   \frac{1}{5} , а четвертий на

 \frac{1}{3} )  \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & | & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & | & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}

 x_{5}=1,

 x_{3}-x_{4}+2x_{5}=1,

 x_{3}-x_{4}+2=1,

 x_{3}=x_{4}-1,

 x_{2}-x_{3}+x_{4}-2x_{5}=-1,

 x_{2}-x_{4}+1+x_{4}-2=-1,

 x_{2}=0,  x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-4x_{4}+2x_{5}=0,

 x_{1}-2\cdot 0+3(x_{4}-1)-4x_{4}+2\cdot 1=0,

 x_{1}+3x_{4}-3-4x_{4}+2=0,  x_{1}=1+x_{4} .

Отже:  x_{1}=1+x_{4},\; x_{2}=0,\; x_{3}=x_{4}-1,\; x_{4},\; x_{5}=1,\; x_{4}\in R   – фундаментальний розв’язок заданої системи рівнянь.

Відповідь:  (1+x_{4},\; 0,\; x_{4}-1,\; x_{4},\; 1),\; x_{4}\in R

Приклад

Перевірити чи є сумісною задана система рівнянь. Якщо так, то знайти її розв’язок.

 \left\{\begin{matrix} x_{1}-3x_{2}+x_{3}+2x_{4}=10,\\ -2x_{1}+5x_{2}+x_{3}-3x_{4}=8,\\ -3x_{1}+4x_{2}+x_{3}+2x_{4}=9,\\ 2x_{1}- x_{2}+4x_{3}-4x_{4}=-1 \end{matrix}\right.

♦ Запишемо основну та розширену матриці системи: 

 A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & 2\\ -2 & 5 & 1 & -3\\ -3 & 4 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 4 & -4 \end{pmatrix}

 \bar{A}=\begin{pmatrix} 1 & -3 &1 &2 & | &10 \\ -2 &5 &1 &-3 &| &8 \\ -3& 4 & 1 & 2 & | &9 \\ 2& -1 &4 &-4 &| &-1 \end{pmatrix}

Знайдемо ранги цих систем: 

 \begin{pmatrix} 1 &-3 &1 &2 \\ -2 & 5 & 1 & -3\\ -3 & 4 & 1 &2 \\ 2 &-1 &4 &-4 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо перший рядок матриці на 2 і додамо до другого; на 3 і додамо до третього; на -2 і додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &-3 &1 &2 \\ 0 &-1 & 3 & 1\\ 0 & -5& 4 & 8\\ 0 & 5 & 2 & -8 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо другий рядок на -5 і додамо до третього; на 5 і додамо до четветого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & 3 & 1\\ 0 & 0 &-11 &3 \\ 0 & 0 & 17 & -3 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо другий рядок на -1, а третій на  -\frac{1}{11}  )

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{11}\\ 0 & 0 & 17 & -3 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо третій рядок на 17 і додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &-3 &1 &2 \\ 0 & 1 & -3 &-1 \\ 0 & 0 & 1 & \\ -\frac{3}{11} 0 & 0 & 0 &\frac{18}{11} \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо червертий рядок на  \frac{11}{18} )

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 &2 \\ 0 & 1 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 1 &-\frac{3}{11} \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\Rightarrow Rang(A)=4

 \begin{pmatrix} 1 &-3 &1 &2 & | & 10\\ -2 & 5 & 1 & -3 & | & 8\\ -3 & 4 & 1 & 2 & | & 9\\ 2 & -1 & 4 & -4 & | & -1 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо перший рядок на 2 і додамо до другого; на 3 і додамо до третього; на -2 і додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 & 2 & | & 10\\ 0 & -1 & 3 & 1 & | & 28\\ 0 & -5 & 4 & 8 & | & 39\\ 0 & 5 & 2 & -8 & | & -21 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо другий рядок на -1)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 &1 &2 &| &10 \\ 0 & 1 & -3 & -1 &| &-28 \\ 0 & -5 & 4 & 8 & | & 39\\ 0 & 5 & 2 & -8 & | & -21 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо другий рядок на 5 і додамо до третього; на -5 і додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 &1 &2 &| &10 \\ 0& 1 &-3 & -1 &| & -28\\ 0& 0 & -11 & 3 & | & -101\\ 0& 0 & 17 &-3 & | &119 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо третій рядок на  -\frac{1}{11} )

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 &1 &2 &| &10 \\ 0 & 1 &-3 &-1 &| &-28 \\ 0 & 0 & 1 &-\frac{3}{11} & | &\frac{101}{11} \\ 0 & 0 & 17 &-3 & | &119 \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо третій рядок на -17 та додамо до четвертого)

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -3 &1 &2 &| &10 \\ 0 &1 &-3 &-1 &| &-28 \\ 0 & 0 &1 &-\frac{3}{11} &| &\frac{101}{11} \\ 0& 0 & 0 & \frac{18}{11} & | & -\frac{408}{11} \end{pmatrix}\rightarrow  (домножимо четвертий рядок на  -\frac{11}{18} )

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &-3 &1 &2 &| &10 \\ 0 &1 &-3 &-1 & | & -28\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{11} &| & \frac{101}{11}\\ 0 &0 &0 &1 &| & -\frac{68}{3} \end{pmatrix}\Rightarrow Rang(\bar{A)}=4

 Rang(A)=Rang(\bar{A)}\Rightarrow  система сумісна.

Знайдемо її розв’язок.   x_{4}=-\frac{68}{3} ,

 x_{3}-\frac{3}{11}x_{4}=\frac{101}{11} ,

 x_{3}-\frac{3}{11}\cdot \left(-\frac{68}{3} \right)=\frac{101}{11} ,

 x_{3}+\frac{68}{11}=\frac{101}{11}\Rightarrow x_{3}=\frac{101}{11}-\frac{68}{11}=\frac{33}{11}=3 ,

 x_{2}-3x_{3}-x_{4}=-28  x_{2}-3\cdot 3+\frac{68}{3}=-28 ,

 x_{2}=-28+9-\frac{68}{3}=-19-\frac{68}{3}=\frac{-57-68}{3}=-\frac{125}{3} ,

 x_{1}-3x_{2}+x_{3}+2x_{4}=10  x_{1}-3\cdot \left(-\frac{125}{3} \right)+3+2\cdot \left(-\frac{68}{3} \right)=10 ,

 x_{1}+125+3-\frac{136}{3}=10 ,

 x_{1}=10-128+\frac{136}{3}=-118+\frac{136}{3}=\frac{-354+136}{3}=-\frac{218}{3} .

Виконаємо перевірку:   -\frac{218}{3}+125+3-\frac{136}{3}=10\Rightarrow -\frac{354}{3}+128=10\Rightarrow

 \Rightarrow -118+128=10\Rightarrow 10=10;

 \frac{436}{3}+5\cdot \left(-\frac{125}{3} \right)+3+68=8\Rightarrow \frac{436-625}{3}+71=8\Rightarrow

 \Rightarrow -\frac{189}{3}+71=8\Rightarrow -63+71=8\Rightarrow 8=8;

 218-\frac{500}{3}+3-\frac{136}{3}=9\Rightarrow 221-\frac{636}{3}=9\Rightarrow

 \Rightarrow 221-212=9\Rightarrow 9=9;

 -\frac{436}{3}+\frac{125}{3}+12+\frac{272}{3}=-1\Rightarrow \frac{-436+397}{3}+12=-1\Rightarrow

 \Rightarrow -\frac{39}{3}+12=-1\Rightarrow -13+12=-1\Rightarrow -1=-1.

Відповідь:  x_{1}=-\frac{216}{3};\; x_{2}=-\frac{125}{3};\; x_{3}=3;\; x_{4}=-\frac{68}{3} .

Приклад

Розв’язати матричне рівняння 

 X=\begin{pmatrix} 3 &-2 \\ 5 &-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 &2 \\ -5 &6 \end{pmatrix} .

♦  A=\begin{pmatrix} 3 &-2 \\ 5 &-4 \end{pmatrix} ,

 B=\begin{pmatrix} -1 &2 \\ -5 &6 \end{pmatrix} ,

 detA=\begin{vmatrix} 3 &-2 \\ 5 &-4 \end{vmatrix}=-12+10=-2\neq 0 . Тоді існує А-1  X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1} ,

 X=B\cdot A^{-1} ,

 A^{T}=\begin{vmatrix} 3 &5 \\ -2 &-4 \end{vmatrix} ,

 A_{11}=\left(-1 \right)^{1+1}\cdot \left(-4 \right);

 A_{12}=\left(-1 \right)^{1+2}\cdot \left(-2 \right)=2;  A_{21}=\left(-1 \right)^{2+1}\cdot 5=-5;

 A_{22}=\left(-1 \right)^{2+2}\cdot 3=3.

 A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix} -4 &2 \\ -5 &3 \end{pmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -4 &2 \\ -5 &3 \end{pmatrix} ,

 X=B\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 &2 \\ -5 &6 \end{pmatrix}\cdot \left(-\frac{1}{2} \right)\cdot \begin{pmatrix} -4 &2 \\ -5 &3 \end{pmatrix}=

 =-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4-10 &-2+6 \\ 20-30 &-10+18 \end{pmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -6 &4 \\ -10 &8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 &-2 \\ 5 &-4 \end{pmatrix} .

Відповідь:  X=\begin{pmatrix} 3 &-2 \\ 5 &-4 \end{pmatrix} .♦

Приклад

Розв’язати систему лінійних рівнянь:

  \begin{Bmatrix} x_{1}+x_{2}-6x_{3}=6,\\ 3x_{1}-x_{2}-6x_{3}=2,\\ 2x_{1}+3x_{2}+9x_{3}=6 \end{Bmatrix} .

♦  \begin{pmatrix} 1 &1 &-6 &6 \\ 3 &-1 &-6 &2 \\ 2 &3 &9 &6 \end{pmatrix}\rightarrow

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &1 &-6 &6 \\ 0 &-4 &12 &-16 \\ 0 &1 &21 &-6 \end{pmatrix}\rightarrow

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &1 &-6 &6 \\ 0 &1 &21 &-6 \\ 0 &-4 &12 &-16 \end{pmatrix}\rightarrow

 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 &1 &-6 &6 \\ 0 &1 &21 &-6 \\ 0 &0 &96 &-40 \end{pmatrix}\rightarrow

 96x_{3}=-40 ,

 x_{3}=-\frac{40}{96}=-\frac{5}{12} ,

 x_{2}+21x_{3}=-6 ,

 x_{2}=-6-21\cdot \left(-\frac{5}{12} \right)=\frac{-72+105}{12}=\frac{33}{12}=\frac{11}{4}=2\frac{3}{4} ,

 x_{1}+x_{2}-6x_{3}=6 ,

 x_{1}=6-\frac{11}{4}+6\cdot \left(-\frac{5}{12} \right)=6-\frac{11}{4}-\frac{5}{2}=\frac{24-11-10}{4}=\frac{3}{4} .

Відповідь:  x_{1}=\frac{3}{4},\; x_{2}=2\frac{3}{4},x_{3}=-\frac{5}{12}

Приклад

Обчислити визначник 

 \begin{vmatrix} 1 &-1 &1 &-1 \\ 2 &-3 &3 &-4 \\ -1 &2 &-1 &3 \\ -2 &2 &-3 &-2 \end{vmatrix} .

♦  \begin{vmatrix} 1 &-1 &1 &-1 \\ 2 &-3 &3 &-4 \\ -1 &2 &-1 &3 \\ -2 &2 &-3 &-2 \end{vmatrix}=

 =1\cdot \begin{vmatrix} -3 &3 &-4 \\ 2 &-1 &3 \\ 2 &-3 &-2 \end{vmatrix}-(-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 &3 &-4 \\ -1 &-1 &3 \\ -2 &-3 &-2 \end{vmatrix}+

 +1\cdot \begin{vmatrix} 2 &-3 &-4 \\ -1 &2 &3 \\ -2 &2 &-2 \end{vmatrix}-(-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 &-3 &3 \\ -1 &2 &-1 \\ -2 &2 &-3 \end{vmatrix}=

 =-6+24+18-8-27+12+4-12-18+8+18-6-

 -8+18+8-16-12+6-12-6-6+12+4+9=4 .♦

Приклад

Розв’язати систему рівнянь методом Гауса:

  \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+x_{3}=4,\\ 3x_{1}-5x_{2}+3x_{3}=1,\\ 2x_{1}+7x_{2}-x_{3}=8 \end{matrix}\right.

♦  \begin{pmatrix} 1 &2 &1 &4 \\ 3 &-5 & 3 &1 \\ 2 &7 &-1 &8 \end{pmatrix}\rightarrow

 \begin{pmatrix} 1 &2 &1 &4 \\ 0 &-11 &0 &-11 \\ 0 & 3 &-3 &0 \end{pmatrix}

 -11x_{2}=-11 ,

 x_{2}=1 ,  3x_{2}-3x_{3}=0 ,

 3-3x_{3}=0 ,

 3x_{3}=3 ,

 x_{3}=1 ,

 x_{1}+2x_{2}+x_{3}=4 ,

 x_{1}+2+1=4 ,

 x_{1}=1 .

Відповідь:  (1;1;1)

Приклад

Знайти власні вектори матриці

  A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 9 & 4 \end{pmatrix}

♦  A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 9 & 4 \end{pmatrix} ,

 (1-\lambda )x_{1}+2x_{2}=0 ,

 9x_{1}+(4-\lambda )x_{2}=0 ,

 \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 9 & 4-\lambda \end{vmatrix}=0 ,

 (1-\lambda )(4-\lambda )-18=0  ,

 4-4\lambda -\lambda +\lambda ^{2}-18=0 ,

 \lambda ^{2}-5\lambda -14=0 ,

 \lambda _{1}=7,\; \lambda _{2}=-2 ,

 -6x_{1}+2y_{1}=0 ,

 9x_{1}-3y_{1}=0 ,

Власний вектор, що відповідає числу  \lambda _{1}=7 при  x_{1}=1

 \bar{x_{1}}=(1,3) .

За одиничний вектор власного вектора приймемо вектор: 

 \bar{i_{1}}=\left(\frac{1}{\sqrt{10}};\frac{3}{\sqrt{10}} \right) ,

де  \sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10} довжина  \bar{x_{1}}  .

Для  \lambda _{2}=-2 :

 3x_{2}+2y_{2}=0 ,   9x_{2}+6y_{2}=0.

 \bar{x_{2}}=(2;-3)

 \bar{j}=\left(\frac{2}{\sqrt{13}};\frac{-3}{\sqrt{13}} \right)  .

Приклад

Розв’язати систему рівнянь методом Крамера 

 \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=1,\\ x_{1}+ x_{2} - x_{3}=2,\\ x_{1}+5x_{2}+5x_{3}=0. \end{matrix}\right.

♦  x_{1}=\frac{\Delta _{1}}{\Delta },\; x_{2}=\frac{\Delta _{2}}{\Delta },\; x_{3}=\frac{\Delta _{3}}{\Delta }.

 \Delta =\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 1 & 1 &-1 \\ 1 & 5 & 5 \end{vmatrix}=5-2+15-3+5-10=10,

 \Delta_{1} =\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 & 1 &-1 \\ 0 & 5 & 5 \end{vmatrix}=5+0+30-0+5-20=20,

 \Delta_{2} =\begin{vmatrix} 1 &1 &3 \\ 1 & 2 &-1 \\ 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}=10-1+0-6-5+0=-2,

 \Delta_{3} =\begin{vmatrix} 1 &2 &1 \\ 1 & 1 &2 \\ 1 & 5 & 0 \end{vmatrix}=0+4+5-1-10-0=-2.

 x_{1}=\frac{20}{10}=2,\; x_{2}=\frac{-2}{10}=-0,2,\; x_{3}=\frac{-2}{10}=-0,2

Отже, {2;-0,2;-0,2} – розв’язок даної системи.♦

Приклад

Знайти А – 2В, якщо

  A=\begin{pmatrix} -1 & 2 &1 \\ 3 & 1 &1 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix}  i  B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} .

♦  2B=2\begin{pmatrix} 1 &-1 &0 \\ 1& 0 & 1\\ -1& 0 &2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 &-2 &0 \\ 2 & 0 &2 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} ,

  A-2B=\begin{pmatrix} -1 & 2 &1 \\ 3 & 1 &1 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 &-2 &0 \\ 2 & 0 &2 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}=

 =\begin{pmatrix} -1-2 & 2-(-2) &1-0 \\ 3-2& 1-0 & 1-2\\ -1-(-2)& -2-0 & 2-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 & 4 &1 \\ 1& 1 &-1 \\ 1 &-2 &-2 \end{pmatrix} .♦

Приклад

Записати рівняння площини, що проходить через три задані точки: А (0; 1; 3), В (-4; 2; 5) та С (-2; -1; 6)

♦ Рівняння площини, що проходить через три задані точки, має вигляд:

\begin{vmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1}\\ x_{2} -x_{1} &y-y_{1} &z_{2}-z_{1} \\ x_{3} -x_{1} & y-y_{1}& z_{3} -z_{1} \end{vmatrix}=0

\begin{vmatrix} x-0 & y-1 & z-3\\ -4-0 & 2-1 & 5-3\\ -2-0& -1-1 & 6-3 \end{vmatrix}= 0

\begin{vmatrix} x& y-1 & z-3\\ -4& 1 & 2\\ -2& -2& 3 \end{vmatrix}=0

x\cdot 1\cdot 3+(y-1)\cdot 2\cdot (-2)+(-4)\cdot (-2)(z-3)-

 -(z-3)\cdot 1\cdot (-2)-x\cdot (-2)\cdot 2-(y-1)\cdot 3\cdot (-4)=0

3x-4y+4+8z-24+2z-6+4x+12y-12=0

 7x+8y+10z-38=0 рівняння шуканої площини.♦

Приклад

У цеху підприємства виготовляють дві моделі жіночого одягу. На виготовлення першої моделі витрачають 2 м тканини, на виготовлення другої – 3 м. При цьому витрати робочого часу на виробництво цих моделей становлять відповідно 4 та 5 год. Відомо, що тижневий запас тканини – 100 м, а робочий час обмежено 190 год. Скласти такий план тижневого виготовлення цих моделей одягу, при якому повністю використовують ресурси (тканину і робочий час).

♦ Позначимо через x1 та  x2 кількість одиниць тижневого випуску першої та другої моделей відповідно. За умовою задачі складемо систему лінійних рівнянь:

 \left \{\begin {matrix} 2x_{1}+3x_{2}=100, \\ 4x_{1}+5x_{2}=190. \end {matrix} \right.

Розв’яжемо систему матричним способом.

Запишемо її у матричному вигляді: 

AX=B , де A=\begin{pmatrix} 2 &3 \\ 4 &5 \end{pmatrix}, \; B=\begin{pmatrix} 100\\ 190 \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix} .

Для матриці А знайдемо обернену матрицю А-1.

Оскільки: 

\left|A \right|=\begin{vmatrix} 2 &3 \\ 4& 5\end{vmatrix}=10-12=-2, \; A_{11}=5,\; A_{12}=-4, A_{21}=-3, A_{22}=2 , то

A^{-1}=\frac{1}{\left|A \right|}\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix}= - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5 &-3 \\ -4& 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{5}{2} &\frac{3}{2} \\ 2 &-1 \end{pmatrix}.

 X=\begin{pmatrix} -\frac{5}{2} &\frac{3}{2} \\ 2 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 100\\ 190 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -250+275\\ 200-190 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 25\\ 10\end{pmatrix}

\Rightarrow x_{1}=25, \; x_{2}=10

Отже, для повного використання ресурсів щотижня треба виготовляти 25 одиниць першої та 10 одиниць другої моделей одягу. ♦

Приклад

Підприємство випускає продукцію двох видів, використовуючи при цьому сировину трьох типів. Витрати сировини на виробництво продукції задаються матрицею

 S=(s_{ij})=\begin{pmatrix} 5 &4 \\ 3& 1\\ 2 &3\end{pmatrix} , де  s_{ij} кількість одиниць сировини і-го типу, що використовується на виготовлення одиниці товару j-го виду. План щоденного випуску продукції передбачає 90 одиниць продукції першого виду і 120 одиниць продукції другого виду. Вартість одиниці кожного типу сировини відповідно дорівнює 8, 5 і 10 грн.

Визначити загальні витрати сировини V, необхідні для щоденного випуску продукції, а також загальну вартість С цієї продукції. 

♦ Задачу будемо розв’язувати у матричному вигляді. Спочатку запишемо матрицю, що задає план випуску продукції: 

  P=\begin{pmatrix} 90\\ 120 \end{pmatrix} .

Тоді загальні витрати сировини на запланований випуск продукції можемо знайти як добуток матриць S i P:  

V=SP=\begin{pmatrix} 5 &4 \\ 3 &1 \\ 2& 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 90\\ 120 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\cdot 90+4\cdot 120\\ 3\cdot 90+1\cdot 120\\ 2\cdot 90+3\cdot 120 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 930\\ 390\\ 540 \end{pmatrix}

Отже для щоденного випуску сировини використовується 930, 390 та 540 одиниць сировини першого, другого та третього типів відповідно.

Задану вартість одиниці продукції кожного типу сировини можна подати у вигляді матриці:

  Q = \begin{pmatrix} 8 & 5 & 10 \end{pmatrix} .

Отже, тепер можемо знайти загальну вартість сировини С визначається як добуток матриць Q та V:

C=QV=\begin{pmatrix} 8 &5 &10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 930 &390 &540 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\cdot 930+5\cdot 390+10\cdot 540 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14790\end{pmatrix}.  ♦

Приклад

Структурна матриця торгівлі трьох країн має вигляд

 A = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} &0 &\frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{2} &\frac{1}{4} \end{pmatrix} , де  a_{ij}  частка бюджету, яку j -та країна  витрачає на закупівлю товарів у i – й країні. Знайти співвідношення бюджетів країн для збалансованої торгівлі.

♦ Нехай  X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix} -матриця національних доходів країн.

Умова збалансованої торгівлі А·Х=Х.

Тобто потрібно розв’язати рівняння (А – Е) Х= 0. У матричному вигляді:

 \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} &0 &\frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} &-\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{2} &-\frac{3}{4} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{pmatrix}=0 або

 \left\{\begin{matrix} -\frac{2}{3}x_{1}+\frac{1}{4}x_{3}=0,\\ \frac{1}{3}x_{1}-\frac{1}{2}x_{2}+\frac{1}{2}x_{3}=0,\\ \frac{1}{3}x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}-\frac{3}{4}x_{3}=0; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} -8x_{1}+3x_{3}=0,\\ 2x_{1}-3x_{2}+3x_{3}=0,\\ 4x_{1}+6x_{2}-9x_{3}=0; \end{matrix}\right. \sim .

Розв’яжемо систему методом Гауса:

 \begin{pmatrix} 2 &-3 &3 &0 \\ 4 &6 & -9 & 0\\ -8 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}\sim

 \sim \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 & 0\\ 0 & 12 & -15 & 0\\ 0 & -12 & 15 & 0 \end{pmatrix}\sim

 \sim \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 & 0\\ 0 & 12 & -15 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} .

Rang (A – E) = 2,  число невідомих n = 3, отже система невизначена і має одну вільну невідому.

Нехай це буде х3Тоді,  \left\{\begin{matrix} 2x_{1}-3x_{2}+3x_{3}=0,\\ 12x_{2}-15x_{3}=0; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} 2x_{1}-3x_{2}+3x_{3}=0,\\ 4x_{2}-5x_{3}=0; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} 2x_{1}=3\cdot \frac{5}{4}x_{3}+3x_{3},\\ x_{2}=\frac{5}{4}x_{3}; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} 2x_{1}=\frac{3}{4}x_{3},\\ x_{2}=\frac{5}{4}x_{3}; \end{matrix}\right.\sim

 \sim \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{3}{8}x_{3},\\ x_{2}=\frac{5}{4}x_{3}. \end{matrix}\right. .

Отже, збалансованість торгівлі трьох країн досягається при співвідношенні національних доходів  \frac{3}{8}:\frac{5}{4}:1 або  3:10:8. ♦