Площина і пряма у координатному просторі

Приклад

Скласти рівняння площини, що проходить через задані точки М1(1;-2;1), М2(0;2;-1), М3(1;0;1)

♦  \alpha :\begin{vmatrix} x-1 &y-(-2) &z-1 \\ 0-1 &2-(-2) &-1-1 \\ 1-1 &0-(-2) & 1-1 \end{vmatrix}=0

 \alpha :\begin{vmatrix} x-1 &y+2 &z-1 \\ -1 &4 &-2 \\ 0 &2 &0 \end{vmatrix}=0

 \alpha :(x-1)\cdot 4\cdot 0+(y+2)\cdot (-2)\cdot 0+(-1)\cdot 2\cdot (z-1)-

 -(z-1)\cdot 4\cdot 0-(-2)\cdot 2\cdot (x-1)-(-1)\cdot (y+2)\cdot 0=0

 \alpha :-2(z-1)+4(x-1)=0

 \alpha :-2z+2+4x-4=0

 \alpha :4x-2z-2=0 -шукане рівняння площини.♦

Приклад

Знайти кут між площиною та прямою: 

  \alpha :3x-2y+z+4=0   l:\left\{\begin{matrix} 3x-z+1=0,\\ 2x-y-3=0 \end{matrix}\right. .

♦  \bar{q}=\bar{n_{1}}\times \bar{n_{2}}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ 3 & 0 & -1\\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix}=

 =0\bar{i}-2\bar{j}-3\bar{k}-0\bar{k}-\bar{i}-0\bar{j}=

 =-\bar{i}-2\bar{j}-3\bar{k}\Rightarrow \bar{q}\left(-1;-2;-3 \right)

 sin\varphi =\frac{\left(Al+Bm+Cn \right)}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}\sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}}

 sin\varphi =\frac{\left|3\cdot (-1)-2\cdot (-2)+1\cdot (-3) \right|}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-3)^{2}}}=

 =\frac{\left|-3+4-3 \right|}{\sqrt{9+4+1}\sqrt{1+4+9}}=\frac{\left|-2 \right|}{\sqrt{14}\sqrt{14}}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}

Отже,  sin\varphi =\frac{1}{7}\approx 0,1429\Rightarrow \varphi =8^{0}  

Приклад

Знайти гострий кут між прямими:

  \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-1}{1}  та  \frac{x+4}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z+3}{0} .

♦ Для обчислення кута між прямими використаємо формулу:

 cos\alpha =\pm \frac{a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}  ⇒

 cos \alpha =\pm \frac{1\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot 0}{\sqrt{1+0+1}\sqrt{1+0+0}}=\frac{\pm 1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.

Оскільки кут α гострий, то беремо додатне значення косинуса, тобто  cos\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{4}.  ♦

Приклад

Знайти проекцію точки А (-1; 5; -2) на пряму

 \frac{x+4}{3}=\frac{y-7}{4}=\frac{z+1}{-2} . Обчислити відстань від цієї точки до даної прямої.

♦Знайдемо проекцію А1 точки  А (-1; 5; -2) на задану пряму. 

Запишемо спочатку рівняння площини, що проходить через точку А та перпендикулярна до цієї прямої. Вектор  \bar{a}=(3;4;-2) є направляючим вектором цієї прямої, а значить він буде перпендикулярний до площини. Тому рівняння площини можемо записати наступним чином:

 3(x+1)+4(y-5)-2(z-2)=0  ⇔ 3x+3+4y-20-2z+4=0  ⇔  3x+4y-2z-13=0 .

 Тепер запишемо рівняння заданої прямої в параметричному вигляді:

 \frac{x+4}{3}=\frac{y-7}{4}=\frac{z+1}{-2}\Leftrightarrow x=3t+4,\; y=4t+7;\; z=2t-1 .

Підставивши вирази x, y, z у рівняння площини, отримаємо точку перетину прямої з площиною:

  3(3t-4)+4(4t+7)-2(2t-1)-13=0\Leftrightarrow 9t-12+16t+28-4t+2-13=0\Leftrightarrow 21t+3=0\Leftrightarrow .

З рівняння прямої при  t=-\frac{1}{7} дістанемо координати точки А1:

 A_{1}: x=-\frac{3}{7}-4=-\frac{31}{7},\; y=\frac{4}{7}+7\frac{53}{7},\; z=-\frac{2}{7}-1=-\frac{9}{7} .

Отже, A_{1}(-\frac{31}{7};\frac{53}{7};-\frac{9}{7}) – проекція точка А на задану пряму.

Визначимо відстань від точки А до прямої.  Це і буде відстань між точками А та А1:

  AA_{1}=\sqrt{(-1+\frac{37}{7})^{2}+(5-\frac{53}{7})^{2}+(-2+\frac{9}{7})^{2}}=\sqrt{(\frac{24}{7})^{2}+(\frac{18}{7})^{2}+(-\frac{5}{7})^{2}}= 

 =\sqrt{\frac{576+324+25}{49}}=\frac{\sqrt{925}}{7}=\frac{5\sqrt{37}}{7} .♦

Приклад

Записати канонічне рівняння прямої, заданої як перетин двох площин: x – 2y + 3z +1 = 0 та 2x + y – 4z – 8 = 0 .

Скласти параметричне рівняння прямої l, яка проходить через точку М (3; -4; 5).

♦ Оскільки пряма задана, як перетин двох площин, то напрямний вектор цієї прямої можемо знайти як векторний добуток векторів нормалі заданих площин. Їхні вектори нормалі:

  \vec{n_{1}}=(1;-2;3),\; \vec{n_{2}}=(2;1;-4)

Тоді напрямний вектор шуканої прямої   \vec{a}=(a_{x};a_{y};a_{z}) знаходимо за формулою векторного добутку:

  a_{x}=-2\cdot (-4)-1\cdot 3=5,\;  a_{y}=2\cdot 3-1\cdot (-4)=10,\; a_{z}=1\cdot 1-2\cdot (-2)=5\; \Rightarrow \vec{a}=(5;10;5) .

Площина і пряма у координатному просторі

Тепер методом підбору візьмемо довільну точку, яка належить даній прямій. Нехай це буде точка з абсцисою х = – 1. Знайдемо координати y та z цієї точки:

  \begin{cases}& \text{} x= -1, \\ & \text{ } x-2y+3z+1= 0, \\ & \text{ } 2x+y-4z-8=0 \end{cases}  ⇔

  \begin{cases}& \text{} x= -1, \\ & \text{ } -2y+3z= 0, \\ & \text{ } y-4z=10 \end{cases}  ⇔   x=-1,\;  y=-6,\; z=-4 .

Тепер можемо записати рівняння прямої, що проходить через точку К (-1; -6; -4) паралельно вектору  \vec{a}=(5;10;5) . Це і буде канонічне рівняння шуканої прямої:

  \frac{x+1}{5}=\frac{y+6}{10}=\frac{z+4}{5}\Rightarrow \frac{x+1}{1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z+4}{1} .

Тепер запишемо канонічне рівняння заданої прямої l, яка паралельна заданій прямій і проходить через точку М (3; -4; 5):

   \frac{x-3}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-5}{1} . А звідси записуємо параметричне рівняння цієї прямої:

  x=t+3, \; y = 2t-4,\; z=t+5 .♦

Приклад

Обчислити відстань від початку координат до площини 2 х – 2 у + z – 30 = 0. Знайти напрямні косинуси вектора нормалі цієї площини. Знайти об’єм тетраедра, вершинами якого є початок кординат і точки перетину площини з осями координат.

♦ Спочатку запишемо нормальне рівняння площини:

  \frac{2x-2y+z-30}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}=0\Leftrightarrow \frac{2x-2y+z-30}{3}=0\Leftrightarrow

  \Leftrightarrow \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z-10=0.

Маємо:   p=10 – відстань від початку координат до площини, 

  cos\alpha =\frac{2}{3},\; cos \beta  =-\frac{2}{3},\; cos \gamma  =\frac{1}{3} -напрямні косинуси вектора нормалі. 

Знайдемо точки перетину площини з осями координат. Для цього запишемо рівняння площини у відрізках на осях:  \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z=10 /: 10,

  \frac{2}{30}x-\frac{2}{30}y+\frac{1}{30}=1 ,

  \frac{1}{15}x-\frac{1}{15}y+\frac{1}{30}=1 .

Отже, маємо: А ( 15; 0; 0), В ( 0; – 15; 0), С ( 0; 0; 30) – точки перетину площини з осями координат.

Маємо тетраедр, три ребра якого лежать на осях координат.

Площина і пряма у координатному просторі

Тому його об’єм можемо обчислити за формулою:

  V = \frac{1}{3}\cdot S_{OAB}\cdot OC ;

Оскільки трикутник ОАВ є прямокутним рівнобедреним, то його площу знайдемо за формулою:

  S_{OAB}= \frac{1}{2}OA\cdot OB .

Тоді:

 V = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot OC= \frac{1}{6}OA\cdot OB\cdot OC=  \frac{1}{6}15\cdot 15\cdot 30=1125 куб. од. ♦

Приклад

Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки А (-1; 2; 4) та В (4; 0; -2) паралельно вектору 

  \bar{a}=(-2; 1;-3) .

♦ Оскільки площина проходить через точки А (-1; 2; 4) та В (4; 0; -2), то вона паралельна вектору   \vec{b}=\vec{AB}=(5;-2;-6) . Крім того вона паралельна вектору   \bar{a}=(-2; 1;-3) за умовою.

Площина і пряма у координатному просторі

Знайдемо такий вектор   \vec{n}=\vec{a}\times \vec{b} , який перпендикулярний до векторів   \vec{a}\;  i \; \vec{b} , а тому і до всієї площини. Нехай вектор  \vec{n}=(x_{n};y_{n};z_{n}) , За формулами векторного добутку отримаємо:

   x_{n}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})=1\cdot (-6)-(-3)\cdot(-2)=-12;

 y_{n}=(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})=-3\cdot 5 -(-2)\cdot(-6)=-27;

  z_{n}=(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})=-2\cdot (-2)-1\cdot(5)=-1  ⇒

 \vec{n}=(-12;-27;-1).

Тепер можемо записати рівняння площини, що проходить через точку А (-1; 2; 4) із вектором нормалі [latex] \vec{n}=(-12;-27;-1):

-12 (х +1) -27 (у -2) -1 (z -4) =0 ⇒ 12 х + 27 у + z – 46 = 0.♦