Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначники

    Задача 18 (Економічна задача)

    Структурна матриця торгівлі трьох країн має вигляд [latex] A = \begin{pmatrix}
    \frac{1}{3} &0 &\frac{1}{4} \\
    \frac{1}{3} &\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\
    \frac{1}{3} &\frac{1}{2} &\frac{1}{4}
    \end{pmatrix} [/latex], де [latex] a_{ij} [/latex] -
     частка бюджету, яку j -та країна  витрачає на закупівлю товарів у i - й країні. Знайти співвідношення бюджетів країн для збалансованої торгівлі.

    ♦ Нехай [latex] X=\begin{pmatrix}
    x_{1}\\
    x_{2}\\
    x_{3}
    \end{pmatrix} [/latex] -матриця національних доходів країн.

    Умова збалансованої торгівлі А·Х=Х.

    Тобто потрібно розв'язати рівняння (А - Е) Х= 0. У матричному вигляді:

    [latex] \begin{pmatrix}
    -\frac{2}{3} &0 &\frac{1}{4} \\
    \frac{1}{3} &-\frac{1}{2} &\frac{1}{2} \\
    \frac{1}{3} &\frac{1}{2} &-\frac{3}{4}
    \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
    x_{1}\\
    x_{2}\\
    x_{3}
    \end{pmatrix}=0 [/latex] або [latex] \left\{\begin{matrix}
    -\frac{2}{3}x_{1}+\frac{1}{4}x_{3}=0,\\
    \frac{1}{3}x_{1}-\frac{1}{2}x_{2}+\frac{1}{2}x_{3}=0,\\
    \frac{1}{3}x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}-\frac{3}{4}x_{3}=0;
    \end{matrix}\right.\sim [/latex]

    [latex] \sim \left\{\begin{matrix}
    -8x_{1}+3x_{3}=0,\\
    2x_{1}-3x_{2}+3x_{3}=0,\\
    4x_{1}+6x_{2}-9x_{3}=0;
    \end{matrix}\right. [/latex].
    \sim 

    Розв'яжемо систему методом Гауса:

    [latex] \begin{pmatrix}
    2 &-3 &3 &0 \\
    4 &6 & -9 & 0\\
    -8 & 0 & 3 & 0
    \end{pmatrix}\sim [/latex]

    [latex] \sim \begin{pmatrix}
    2 & -3 & 3 & 0\\
    0 & 12 & -15 & 0\\
    0 & -12 & 15 & 0
    \end{pmatrix}\sim [/latex]

    [latex] \sim \begin{pmatrix}
    2 & -3 & 3 & 0\\
    0 & 12 & -15 &0 \\
    0 & 0 & 0 & 0
    \end{pmatrix} [/latex].

    Rang (A - E) = 2,  число невідомих n = 3, отже система невизначена і має одну вільну невідому.

    Нехай це буде х3Тоді, [latex] \left\{\begin{matrix}
    2x_{1}-3x_{2}+3x_{3}=0,\\
    12x_{2}-15x_{3}=0;
    \end{matrix}\right.\sim [/latex]

    [latex] \sim \left\{\begin{matrix}
    2x_{1}-3x_{2}+3x_{3}=0,\\
    4x_{2}-5x_{3}=0;
    \end{matrix}\right.\sim [/latex]

    [latex] \sim \left\{\begin{matrix}
    2x_{1}=3\cdot \frac{5}{4}x_{3}+3x_{3},\\
    x_{2}=\frac{5}{4}x_{3};
    \end{matrix}\right.\sim [/latex]

    [latex] \sim \left\{\begin{matrix}
    2x_{1}=\frac{3}{4}x_{3},\\
    x_{2}=\frac{5}{4}x_{3};
    \end{matrix}\right.\sim [/latex]

    [latex] \sim \left\{\begin{matrix}
    x_{1}=\frac{3}{8}x_{3},\\
    x_{2}=\frac{5}{4}x_{3}.
    \end{matrix}\right. [/latex].

    Отже, збалансованість торгівлі трьох країн досягається при співвідношенні національних доходів [latex] \frac{3}{8}:\frac{5}{4}:1 [/latex] або  3:10:8. ♦

    Читати

    Задача 17 (Розв'язування системи рівнянь)

    Перевірити систему на сумісність. В випадку сумісності знайти її розв'язок:

    [latex] \left\{\begin{matrix}
    x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=6,\\
    2x_{1}-x_{3}-x_{4}=-2,\\
    3x_{1}+x_{2}-2x_{4}=0,\\
    x_{1}-x_{2}+2x_{3}-4x_{4}=4,
    \end{matrix}\right. [/latex]

    [latex] \left\{\begin{matrix}
    x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=6,\\
    2x_{1}-x_{3}-x_{4}=-2,\\
    3x_{1}+x_{2}-2x_{4}=0,\\
    x_{1}-x_{2}+2x_{3}-4x_{4}=4,
    \end{matrix}\right. [/latex]

    [latex] \bar{A}=\begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & -2 &6 \\
    2 &0 & -1 & -1 &-2 \\
    3 & 1 & 0 & -2 &0 \\
    1 &-1 &2 & -4 & 4
    \end{pmatrix}\sim [/latex] (домножаємо перший рядок на -2 та додаємо до другого, на -3 та додаємо до третього,  на -1 та та додаємо до четвертого)

    [latex] \sim \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & -2 & 6\\
    0 & -4 &-7 & 3 &-14 \\
    0& -5 & -9 & 4 &-18 \\
    0& -3 &-1 &-2 &-2
    \end{pmatrix}\sim [/latex]  (домножаємо четвертий рядок на -1)

    [latex] \sim \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & -2 & 6\\
    0 & 3 &1 & 2 &2 \\
    0& -4 & -7 & 3&-14 \\
    0& -5 &-9 &4 &-18
    \end{pmatrix}\sim [/latex]  (домножаємо другий рядок на 4/3 та додаємо до третього, на 5/3 та додаємо до четвертого)

    [latex] \sim \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & -2 & 6\\
    0 & 3 &1 & 2 &2 \\
    0& 0& -\frac{17}{3} & \frac{17}{3}&-\frac{34}{3} \\
    0& 0&-\frac{22 }{3} &\frac{22 }{3}&-\frac{44}{3}
    \end{pmatrix}\sim [/latex]  (домножаємо третій рядок на -3/17, а четвертий на -3/22)

    [latex] \sim \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & -2 & 6\\
    0 & 3 &1 & 2 &2 \\
    0& 0& 1 & -1&2 \\
    0& 0&1 &-1&2
    \end{pmatrix}\sim [/latex]

    [latex] \sim \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & -2 & 6\\
    0 & 3 &1 & 2 &2 \\
    0& 0& 1 & -1&2 \\
    0& 0&0 &0&0
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] rangA=rang \bar{A}=r=3 [/latex]

    За теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна.

    Оскільки, система має n = 4 невідомі, r < 4, то система невизначена і має n - r = 4- 3 = 1 вільну невідому. Нехай це буде х4.

    Тоді: 

    [latex] \left\{\begin{matrix}
    x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=6,\\
    3x_{2}+x_{3}+2x_{4}=2,\\
    x_{3}-x_{4}=2,
    \end{matrix}\right.\sim [/latex]

    [latex] \sim \left\{\begin{matrix}
    x_{1}=6-2x_{2}-3x_{3}+2x_{4},\\
    x_{2}=\frac{2}{3}-\frac{x_{3}}{3}-\frac{2}{3}x_{4},\\
    x_{3}=2+x_{4};
    \end{matrix}\right.\sim [/latex]

    [latex] \sim \left\{\begin{matrix}
    x_{1}=6-2x_{2}-6-3x_{4}+2x_{4},\\
    x_{2}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}-\frac{x_{4}}{3}-\frac{2}{3}x_{4};\\
    x_{3}=2+x_{4};
    \end{matrix}\right.\sim [/latex]

    [latex] \sim \left\{\begin{matrix}
    x_{1}=2x_{4}-x_{4},\\
    x_{2}=-x_{4},\\
    x_{3}=2+x_{4};
    \end{matrix}\right.\sim [/latex]

    [latex] \sim \left\{\begin{matrix}
    x_{1}=x_{4},\\
    x_{2}=-x_{4},\\
    x_{3}=2+x_{4};
    \end{matrix}\right.x_{4}\in R [/latex]

    Відповідь: [latex] \left\{x_{4};-x_{4};2+x_{4};x_{4} \right\},x_{4}\in R [/latex].

     

    Читати

    Задача 16 (Матричне рівняння)

    Розв'язати матричне рівняння [latex] X\cdot \begin{pmatrix}
    3 & -4\\
    2 &1
    \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    -2 &-3 \\
    1 & 0
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    22 &-46 \\
    35 & -27
    \end{pmatrix} [/latex].

    ♦ [latex] X\cdot \begin{pmatrix}
    3 & -4\\
    2 &1
    \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    -2 &-3 \\
    1 & 0
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    22 &-46 \\
    35 & -27
    \end{pmatrix}; [/latex]

    [latex] X\cdot \begin{pmatrix}
    3 &-4 \\
    2 &1
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    22 &-46 \\
    35 &-27
    \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
    -2 &-3 \\
    1 & 0
    \end{pmatrix}; [/latex]

    [latex] X\cdot \begin{pmatrix}
    3 &-4 \\
    2 &1
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    22+2 &-46+3 \\
    35-1 &-27-0
    \end{pmatrix}; [/latex]

    [latex] X\cdot \begin{pmatrix}
    3 &-4 \\
    2 &1
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    24 &-43 \\
    34 &-27
    \end{pmatrix}; [/latex]

    [latex] X=\begin{pmatrix}
    24 &-43 \\
    34 & -27
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    3 &-4 \\
    2 & 1
    \end{pmatrix}^{-1}; [/latex]

    [latex] \begin{pmatrix}
    3 &-4 \\
    2 &1
    \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}
    1 &4 \\
    -2 &3
    \end{pmatrix}; [/latex]

    [latex] \begin{vmatrix}
    3 &-4 \\
    2 &1
    \end{vmatrix}=3+8=11; [/latex]

    [latex] A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot 1=1;\; A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot 2=-2; [/latex]

    [latex] A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot (-4)=4;\; A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot 3=3. [/latex]

    [latex] X=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}
    24 &-43 \\
    34& -27
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    1 & 4\\
    -2 &3
    \end{pmatrix}; [/latex]

    [latex] X=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}
    24+86 &96-129 \\
    34+54 & 136-81
    \end{pmatrix}; [/latex]

    [latex] X=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}
    110 &-33 \\
    88 &55
    \end{pmatrix}; [/latex]

    [latex] X=\begin{pmatrix}
    10 &-3 \\
    8 &5
    \end{pmatrix}. [/latex]

    Відповідь: [latex] X=\begin{pmatrix}
    10 &-3 \\
    8 &5
    \end{pmatrix} [/latex].♦

    Читати

    Задача 15 (Перехід між базисами)

    Знайти матрицю лінійного оператора [latex] A:R^{2}\rightarrow R^{3} [/latex], де [latex] A\begin{pmatrix}
    x_{1}\\
    x_{2}\\
    x_{3}
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    x_{1}-x_{2}+3x_{3} \\
    2x_{1}+x_{3}\end{pmatrix} [/latex] в канонічному базисі простору [latex] R^{3} [/latex].

    Нехай в просторі [latex]  R^{3} [/latex] задано деякий вектор [latex] \vec{x}\left(x_{1};x_{2};x_{3} \right) [/latex].

    Під дією ліінйного оператора вектор [latex]  \vec{x} [/latex] переходить у вектор [latex]  \vec {y}\left(x_{1}-x_{2}+3x_{3};2x_{1}+x_{3} \right) [/latex].

    Канонічний базис простору [latex]  R^{3} [/latex] має вигляд {[latex] \vec{e_{1}};\vec{e_{2}};\vec{e_{3}} [/latex]} , де [latex] \vec{e_{1}}=(1;0;0) [/latex] , [latex] \vec{e_{2}}=(0;1;0) [/latex] , [latex] \vec{e_{3}}=(0;0;1) [/latex] .

    Оскільки, лінійний оператор діє на кожен вектор простору [latex] 
    R^{3} [/latex] , то він дії і на базисні вектори за тим самим правилом. Тобто:

    [latex] A\left(\vec{e_{1}} \right)=\begin{pmatrix}
    1-0+3\cdot 0\\
    2\cdot 1+0
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    1\\
    2 \end{pmatrix}=(1;2) [/latex]

    [latex] A\left(\vec{e_{2}} \right)=\begin{pmatrix}
    0-1+3\cdot 0\\
    2\cdot 0+0
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -1\\
    0 \end{pmatrix}=(-1;0) [/latex]

    [latex] A\left(\vec{e_{3}} \right)=\begin{pmatrix}
    0-0+3\cdot 1\\
    2\cdot 0+1
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    3\\
    1 \end{pmatrix}=(3;1) [/latex]

    З векторів, що утворилися маємо матрицю [latex] A'=\begin{pmatrix}
    1 &2 \\
    -1 &0 \\
    3 & 1
    \end{pmatrix} [/latex].

    Читати

    Задача 14 (Значення функції від А)

    Задано функцію [latex] f(x)=x^{2}+3x-4-\frac{2}{x} [/latex] та матрицю [latex] A=\begin{pmatrix}
    1 &1 \\
    -4 &-2
    \end{pmatrix} [/latex] . Знайти [latex] f(A) [/latex].

    [latex] f(A)=A^{2}+3A-4-2\cdot A^{-1}, [/latex]

    [latex] A^{2}=A\cdot A=\begin{pmatrix}
    1 &1 \\
    -4 &-2
    \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
    1 &1 \\
    -4 &-2
    \end{pmatrix}=[/latex]

    [latex] =\begin{pmatrix}
    1-4 &1-2 \
    -4+8 &-4+4
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -3 &-1 \
    4 & 0
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] 3A=3\begin{pmatrix}
    1 &1 \\
    -4 & -2
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    3 &3 \\
    -12 & -6
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] \begin{pmatrix}
    1 &1 &| &1 &0 \\
    -4 & -2 &| &0 &1
    \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
    1 &1 &| &1 &0 \\
    0 &2 &| &4 &1
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex]

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & 0 &| &-1 &-0,5 \\
    0 &1 & | & 2 & 0,5
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] A^{-1}=\begin{pmatrix}
    -1 &-0,5 \\
    2& 0,5
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] 4=4\cdot 1=4\begin{pmatrix}
    1 &0 \\
    0& 1
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    4 &0 \\
    0 & 4
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] f(A)=\begin{pmatrix}
    -3 &-1 \\
    4 &0
    \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    3 &3 \\
    -12 & -6
    \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
    4 &0 \\
    0 & 4
    \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}
    -1 &-0,5 \\
    2 &0,5
    \end{pmatrix}= [/latex]

    [latex] =\begin{pmatrix}
    0 &2 \\
    -8 &-6
    \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
    4 &0 \\
    0 &4
    \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    2 &1 \\
    -4 &-1
    \end{pmatrix}= [/latex]

    [latex] =\begin{pmatrix}
    0-4+2 &2-0+1 \\
    -8-0-4 & -6-4-1
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -2 &3 \\
    -12 & -11
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] f(A)=\begin{pmatrix}
    -2 & 3\\
    -12& -11
    \end{pmatrix} [/latex]

    Читати

    Задача 13 (Ранг матриці)

    Обчислити ранг матриці [latex] \begin{pmatrix}
    1 &3 & 5 & -1\\
    2 & -20 & -3 & 4\\
    5 & 20 & -20 & 7\\
    7 & 7 & 9 & -1
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] \begin{pmatrix}
    1 &3 & 5 & -1\\
    2 & -20 & -3 & 4\\
    5 & 20 & -20 & 7\\
    7 & 7 & 9 & -1
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо перший рядок на -2 та додамо до другого; на -5 та додамо до третього; на -7 та додамо до четвертого)

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 5 & -1\\
    0 & -26 & -13 & 6\\
    0 & 5 & -45 & 12\\
    0 & -14 & -26 & 6
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо другий рядок на [latex] \frac{5}{26} [/latex] та додамо до третього; на [latex] -\frac{7}{13} [/latex] та додамо до четвертого)

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 5 & -1\\
    0 & -26 & -13 & 6\\
    0 & 0 & -\frac{95}{2} &\frac{171}{13} \\
    0 & 0 & -19 & \frac{36}{13}
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо третій рядок на [latex] -\frac{38}{95} [/latex] та додамо до четвертого)

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 &3 &5 &-1 \\
    0 & -26 & -13 & 6\\
    0 & 0 & -\frac{95}{2} &\frac{171}{13} \\
    0 & 0 & 0 & -\frac{162}{65}
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо перший рядок на [latex] -\frac{1}{26} [/latex], другий на [latex] -\frac{2}{95} [/latex], третій на [latex] -\frac{65}{162} [/latex])

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 &3 &5 &-1 \\
    0 & 1 & \frac{1}{2} &-\frac{3}{13} \\
    0& 0 & 1 &-\frac{18}{65} \\
    0 & 0 & 0 & 1
    \end{pmatrix} [/latex]

    Отримали чотири ненульових рядки, тому [latex]  Rang(A)=4 [/latex].♦

    Читати

    Задача 12 (Зведення матриці до трикутного вигляду)

    Звести матрицю до діагонального вигляду

    [latex] \begin{pmatrix}
    20 & -1 & 2 & 2 & 5\\
    20 & -20 & 20 & 0 & 3\\
    2 & -2 & 20 & -2 & 4
    \end{pmatrix} [/latex]

     [latex] \begin{pmatrix}
    20 & -1 & 2 & 2 & 5\\
    20 & -20 & 20 & 0 & 3\\
    2 & -2 & 20 & -2 & 4
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex]

     Домножимо третій рядок на -10 та додамо до першого і другого рядків.

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    0 & 19 & -198 & 22 & -35\\
    0 & 0 & -180 & 20 & -37\\
    2 & -2 & 20 & -2 & 4
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex]

    Поміняємо місцями перший та другий рядки матриці.

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    0 & 0 & -180 & 20 & -37\\
    0 & 19 & -198 & 22 & -35\\
    2 & -2 & 20 & -2 & 4
    \end{pmatrix} [/latex] ♦ 

    Читати

    Задача 11 (Фундаментальний розв'язок системи рівнянь)

    Знайти фундаментальний розв'язок системи рівнянь

    [latex] \left\{\begin{matrix}
    x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-4x_{4}+2x_{5}=0,\\
    x_{1}+2x_{2}-x_{3}-x_{5}=1,\\
    x_{1}-x_{3}+2x_{3}-3x_{4}=-1,\\
    4x_{2}-x_{3}+x_{4}-2x_{5}=-1.
    \end{matrix}\right. [/latex]

    ♦ Складемо матрицю системи:

    [latex] \begin{pmatrix}
    1 & -2 & 3 & -4 & 2 & | & 0\\
    1 & 2 & -1 &0 & -1 & | & 1\\
    1 & -1 & 2 & -3 &0 & | & -1\\
    0 & 4 & -1 & 1 & -2 & | & -1
    \end{pmatrix} \rightarrow  [/latex] (домножаємо перший рядок матриці на -1 та додаємо до другого і третього рядків)

    [latex]\rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & -2 & 3 & -4 &2 & | &0 \\
    0& 4 & -4 & 4 & -3 & | & 1\\
    0 & 1 & -1 & 1 & -2 & | & -1\\
    0 & 4 & -1 &1 & -2 & | & -1
    \end{pmatrix}\rightarrow   [/latex] (домножаємо третій рядок на -4 та додаємо до другого і четвертого рядків)

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & -2 & 3 & -4 & 2 & | & 0\\
    0 & 1 & -1 & 1 & -2 & | & -1\\
    0 & 0 & 0 & 0 & 5 & | & 5\\
    0 & 0 & 3 & -3 & 6 & | & 3
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножаємо третій рядок на  [latex] \frac{1}{5} [/latex], а четвертий на [latex] \frac{1}{3} [/latex])

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & -2 & 3 & -4 & 2 & | & 0 \\
    0 & 1 & -1 & 1 & -2 & | & -1\\
    0 & 0 & 1 & -1 & 2 & | & 1\\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] x_{5}=1,[/latex]

    [latex] x_{3}-x_{4}+2x_{5}=1,[/latex]

    [latex] x_{3}-x_{4}+2=1, [/latex]

    [latex] x_{3}=x_{4}-1, [/latex]

    [latex] x_{2}-x_{3}+x_{4}-2x_{5}=-1, [/latex]

    [latex] x_{2}-x_{4}+1+x_{4}-2=-1, [/latex]

    [latex] x_{2}=0, [/latex]

    [latex] x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-4x_{4}+2x_{5}=0, [/latex]

    [latex] x_{1}-2\cdot 0+3(x_{4}-1)-4x_{4}+2\cdot 1=0, [/latex]

    [latex] x_{1}+3x_{4}-3-4x_{4}+2=0,[/latex]

    [latex] x_{1}=1+x_{4} [/latex]

    Отже: [latex] x_{1}=1+x_{4},\; x_{2}=0,\; x_{3}=x_{4}-1,\; x_{4},\; x_{5}=1,\; x_{4}\in R [/latex]  - фундаментальний розв'язок заданої системи рівнянь.

    Відповідь: [latex] (1+x_{4},\; 0,\; x_{4}-1,\; x_{4},\; 1),\; x_{4}\in R [/latex]

    Читати

    Задача 10 (Перевірка системи рівнянь на сумісність)

    Перевірити чи є сумісною задана система рівнянь. Якщо так, то знайти її розв'язок.

    [latex] \left\{\begin{matrix}
    x_{1}-3x_{2}+x_{3}+2x_{4}=10,\\
    -2x_{1}+5x_{2}+x_{3}-3x_{4}=8,\\
    -3x_{1}+4x_{2}+x_{3}+2x_{4}=9,\\
    2x_{1}- x_{2}+4x_{3}-4x_{4}=-1
    \end{matrix}\right. [/latex]

    ♦ Запишемо основну та розширену матриці системи: 

    [latex] A=\begin{pmatrix}
    1 & -3 & 1 & 2\\
    -2 & 5 & 1 & -3\\
    -3 & 4 & 1 & 2\\
    2 & -1 & 4 & -4
    \end{pmatrix} [/latex][latex] \bar{A}=\begin{pmatrix}
    1 & -3 &1 &2 & | &10 \\
    -2 &5 &1 &-3 &| &8 \\
    -3& 4 & 1 & 2 & | &9 \\
    2& -1 &4 &-4 &| &-1
    \end{pmatrix} [/latex]

    Знайдемо ранги цих систем: 

    [latex] \begin{pmatrix}
    1 &-3 &1 &2 \\
    -2 & 5 & 1 & -3\\
    -3 & 4 & 1 &2 \\
    2 &-1 &4 &-4
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо перший рядок матриці на 2 і додамо до другого; на 3 і додамо до третього; на -2 і додамо до четвертого)

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 &-3 &1 &2 \\
    0 &-1 & 3 & 1\\
    0 & -5& 4 & 8\\
    0 & 5 & 2 & -8
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо другий рядок на -5 і додамо до третього; на 5 і додамо до четветого)

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & -3 & 1 & 2\\
    0 & -1 & 3 & 1\\
    0 & 0 &-11 &3 \\
    0 & 0 & 17 & -3
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо другий рядок на -1, а третій на [latex] -\frac{1}{11} [/latex] )

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & -3 & 1 & 2\\
    0 & 1 & -3 & -1\\
    0 & 0 & 1 & -\frac{3}{11}\\
    0 & 0 & 17 & -3
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо третій рядок на 17 і додамо до четвертого)

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 &-3 &1 &2 \\
    0 & 1 & -3 &-1 \\
    0 & 0 & 1 & \\ -\frac{3}{11}
    0 & 0 & 0 &\frac{18}{11}
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо червертий рядок на [latex] \frac{11}{18} [/latex])

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & -3 & 1 &2 \\
    0 & 1 & -3 & -1\\
    0 & 0 & 1 &-\frac{3}{11} \\
    0 &0 &0 &1
    \end{pmatrix}\Rightarrow Rang(A)=4 [/latex]

    [latex] \begin{pmatrix}
    1 &-3 &1 &2 & | & 10\\
    -2 & 5 & 1 & -3 & | & 8\\
    -3 & 4 & 1 & 2 & | & 9\\
    2 & -1 & 4 & -4 & | & -1
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо перший рядок на 2 і додамо до другого; на 3 і додамо до третього; на -2 і додамо до четвертого)

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & -3 & 1 & 2 & | & 10\\
    0 & -1 & 3 & 1 & | & 28\\
    0 & -5 & 4 & 8 & | & 39\\
    0 & 5 & 2 & -8 & | & -21
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо другий рядок на -1)

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & -3 &1 &2 &| &10 \\
    0 & 1 & -3 & -1 &| &-28 \\
    0 & -5 & 4 & 8 & | & 39\\
    0 & 5 & 2 & -8 & | & -21
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо другий рядок на 5 і додамо до третього; на -5 і додамо до четвертого)

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & -3 &1 &2 &| &10 \\
    0& 1 &-3 & -1 &| & -28\\
    0& 0 & -11 & 3 & | & -101\\
    0& 0 & 17 &-3 & | &119
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо третій рядок на [latex] -\frac{1}{11} [/latex])

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & -3 &1 &2 &| &10 \\
    0 & 1 &-3 &-1 &| &-28 \\
    0 & 0 & 1 &-\frac{3}{11} & | &\frac{101}{11} \\
    0 & 0 & 17 &-3 & | &119
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо третій рядок на -17 та додамо до четвертого)

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 & -3 &1 &2 &| &10 \\
    0 &1 &-3 &-1 &| &-28 \\
    0 & 0 &1 &-\frac{3}{11} &| &\frac{101}{11} \\
    0& 0 & 0 & \frac{18}{11} & | & -\frac{408}{11}
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex] (домножимо четвертий рядок на [latex] -\frac{11}{18} [/latex])

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 &-3 &1 &2 &| &10 \\
    0 &1 &-3 &-1 & | & -28\\
    0 & 0 & 1 & -\frac{3}{11} &| & \frac{101}{11}\\
    0 &0 &0 &1 &| & -\frac{68}{3}
    \end{pmatrix}\Rightarrow Rang(\bar{A)}=4 [/latex]

    [latex] Rang(A)=Rang(\bar{A)}\Rightarrow [/latex] система сумісна.

    Знайдемо її розв'язок. 

    [latex] x_{4}=-\frac{68}{3} [/latex]

    [latex] x_{3}-\frac{3}{11}x_{4}=\frac{101}{11} [/latex]

    [latex] x_{3}-\frac{3}{11}\cdot \left(-\frac{68}{3} \right)=\frac{101}{11} [/latex]

    [latex] x_{3}+\frac{68}{11}=\frac{101}{11}\Rightarrow x_{3}=\frac{101}{11}-\frac{68}{11}=\frac{33}{11}=3 [/latex]

    [latex] x_{2}-3x_{3}-x_{4}=-28 [/latex]

    [latex] x_{2}-3\cdot 3+\frac{68}{3}=-28 [/latex]

    [latex] x_{2}=-28+9-\frac{68}{3}=-19-\frac{68}{3}=\frac{-57-68}{3}=-\frac{125}{3} [/latex]

    [latex] x_{1}-3x_{2}+x_{3}+2x_{4}=10 [/latex]

    [latex] x_{1}-3\cdot \left(-\frac{125}{3} \right)+3+2\cdot \left(-\frac{68}{3} \right)=10 [/latex]

    [latex] x_{1}+125+3-\frac{136}{3}=10 [/latex]

    [latex] x_{1}=10-128+\frac{136}{3}=-118+\frac{136}{3}=\frac{-354+136}{3}=-\frac{218}{3} [/latex]

    Виконаємо перевірку: 

    [latex] -\frac{218}{3}+125+3-\frac{136}{3}=10\Rightarrow -\frac{354}{3}+128=10\Rightarrow [/latex]

    [latex] \Rightarrow -118+128=10\Rightarrow 10=10; [/latex]

    [latex] \frac{436}{3}+5\cdot \left(-\frac{125}{3} \right)+3+68=8\Rightarrow \frac{436-625}{3}+71=8\Rightarrow [/latex]

    [latex] \Rightarrow -\frac{189}{3}+71=8\Rightarrow -63+71=8\Rightarrow 8=8; [/latex]

    [latex] 218-\frac{500}{3}+3-\frac{136}{3}=9\Rightarrow 221-\frac{636}{3}=9\Rightarrow [/latex]

    [latex] \Rightarrow 221-212=9\Rightarrow 9=9; [/latex]

    [latex] -\frac{436}{3}+\frac{125}{3}+12+\frac{272}{3}=-1\Rightarrow \frac{-436+397}{3}+12=-1\Rightarrow [/latex]

    [latex] \Rightarrow -\frac{39}{3}+12=-1\Rightarrow -13+12=-1\Rightarrow -1=-1. [/latex]

    Відповідь: [latex] x_{1}=-\frac{216}{3};\; x_{2}=-\frac{125}{3};\; x_{3}=3;\; x_{4}=-\frac{68}{3} [/latex].

    Читати

    Задача (Перевірка на компланарність)

    Перевірити чи компланарні вектори 

    Читати

    Задача (Матричне рівняння)

    Розв'язати матричне рівняння [latex] X=\begin{pmatrix}
    3 &-2 \\
    5 &-4
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -1 &2 \\
    -5 &6
    \end{pmatrix} [/latex].

    ♦ [latex] A=\begin{pmatrix}
    3 &-2 \\
    5 &-4
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] B=\begin{pmatrix}
    -1 &2 \\
    -5 &6
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] detA=\begin{vmatrix}
    3 &-2 \\
    5 &-4
    \end{vmatrix}=-12+10=-2\neq 0 [/latex] .

    Тоді існує А-1

    [latex] X\cdot A\cdot A^{-1}=B\cdot A^{-1} [/latex]

    [latex] X=B\cdot A^{-1} [/latex]

    [latex] A^{T}=\begin{vmatrix}
    3 &5 \\
    -2 &-4
    \end{vmatrix} [/latex]

    [latex] A_{11}=\left(-1 \right)^{1+1}\cdot \left(-4 \right); [/latex]

    [latex] A_{12}=\left(-1 \right)^{1+2}\cdot \left(-2 \right)=2; [/latex]

    [latex] A_{21}=\left(-1 \right)^{2+1}\cdot 5=-5; [/latex]

    [latex] A_{22}=\left(-1 \right)^{2+2}\cdot 3=3. [/latex]

    [latex] A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}
    -4 &2 \\
    -5 &3
    \end{pmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
    -4 &2 \\
    -5 &3
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] X=B\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}
    -1 &2 \\
    -5 &6
    \end{pmatrix}\cdot \left(-\frac{1}{2} \right)\cdot \begin{pmatrix}
    -4 &2 \\
    -5 &3
    \end{pmatrix}= [/latex]

    [latex] =-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
    4-10 &-2+6 \\
    20-30 &-10+18
    \end{pmatrix}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
    -6 &4 \\
    -10 &8
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    3 &-2 \\
    5 &-4
    \end{pmatrix} [/latex] .

    Відповідь: [latex] X=\begin{pmatrix}
    3 &-2 \\
    5 &-4
    \end{pmatrix} [/latex] .♦

    Читати

    Задача 10 (Розв'язування системи рівнянь методом Гауса)

    Розв'язати систему лінійних рівнянь: [latex] \begin{Bmatrix}
    x_{1}+x_{2}-6x_{3}=6,\\
    3x_{1}-x_{2}-6x_{3}=2,\\
    2x_{1}+3x_{2}+9x_{3}=6
    \end{Bmatrix} [/latex].

    ♦ [latex] \begin{pmatrix}
    1 &1 &-6 &6 \\
    3 &-1 &-6 &2 \\
    2 &3 &9 &6
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex]

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 &1 &-6 &6 \\
    0 &-4 &12 &-16 \\
    0 &1 &21 &-6
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex]

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 &1 &-6 &6 \\
    0 &1 &21 &-6 \\
    0 &-4 &12 &-16
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex]

    [latex] \rightarrow \begin{pmatrix}
    1 &1 &-6 &6 \\
    0 &1 &21 &-6 \\
    0 &0 &96 &-40
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex]

    [latex] 96x_{3}=-40 [/latex]

    [latex] x_{3}=-\frac{40}{96}=-\frac{5}{12} [/latex]

    [latex] x_{2}+21x_{3}=-6 [/latex]

    [latex] x_{2}=-6-21\cdot \left(-\frac{5}{12} \right)=\frac{-72+105}{12}=\frac{33}{12}=\frac{11}{4}=2\frac{3}{4} [/latex]

    [latex] x_{1}+x_{2}-6x_{3}=6 [/latex]

    [latex] x_{1}=6-\frac{11}{4}+6\cdot \left(-\frac{5}{12} \right)=6-\frac{11}{4}-\frac{5}{2}=\frac{24-11-10}{4}=\frac{3}{4} [/latex]

    Відповідь: [latex] x_{1}=\frac{3}{4},\; x_{2}=2\frac{3}{4},x_{3}=-\frac{5}{12} [/latex]♦

    Читати

    Задача 10 (Визначник четвертого порядку)

    Обчислити визначник [latex] \begin{vmatrix}
    1 &-1 &1 &-1 \\
    2 &-3 &3 &-4 \\
    -1 &2 &-1 &3 \\
    -2 &2 &-3 &-2
    \end{vmatrix} [/latex].

    ♦ [latex] \begin{vmatrix}
    1 &-1 &1 &-1 \\
    2 &-3 &3 &-4 \\
    -1 &2 &-1 &3 \\
    -2 &2 &-3 &-2
    \end{vmatrix}= [/latex]

    [latex] =1\cdot \begin{vmatrix}
    -3 &3 &-4 \\
    2 &-1 &3 \\
    2 &-3 &-2
    \end{vmatrix}-(-1)\cdot \begin{vmatrix}
    2 &3 &-4 \\
    -1 &-1 &3 \\
    -2 &-3 &-2
    \end{vmatrix}+ [/latex]

    [latex] +1\cdot \begin{vmatrix}
    2 &-3 &-4 \\
    -1 &2 &3 \\
    -2 &2 &-2
    \end{vmatrix}-(-1)\cdot \begin{vmatrix}
    2 &-3 &3 \\
    -1 &2 &-1 \\
    -2 &2 &-3
    \end{vmatrix}= [/latex]

    [latex] =-6+24+18-8-27+12+4-12-18+8+18-6- [/latex]

    [latex] -8+18+8-16-12+6-12-6-6+12+4+9=4 [/latex].♦

    Читати

    Задача 9 (Метод Гауса)

    Розв'язати систему рівнянь методом Гауса: [latex] \left\{\begin{matrix}
    x_{1}+2x_{2}+x_{3}=4,\\
    3x_{1}-5x_{2}+3x_{3}=1,\\
    2x_{1}+7x_{2}-x_{3}=8
    \end{matrix}\right. [/latex]

    ♦ [latex] \begin{pmatrix}
    1 &2 &1 &4 \\
    3 &-5 & 3 &1 \\
    2 &7 &-1 &8
    \end{pmatrix}\rightarrow [/latex]

    [latex] \begin{pmatrix}
    1 &2 &1 &4 \\
    0 &-11 &0 &-11 \\
    0 & 3 &-3 &0
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] -11x_{2}=-11 [/latex],

    [latex] x_{2}=1 [/latex],

    [latex] 3x_{2}-3x_{3}=0 [/latex],

    [latex] 3-3x_{3}=0 [/latex],

    [latex] 3x_{3}=3 [/latex],

    [latex] x_{3}=1 [/latex],

    [latex] x_{1}+2x_{2}+x_{3}=4 [/latex],

    [latex] x_{1}+2+1=4 [/latex],

    [latex] x_{1}=1 [/latex].

    Відповідь: [latex] (1;1;1) [/latex]

    Читати

    Задача 8 (Знайти власні вектори матриці)

    Знайти власні вектори матриці [latex] A=\begin{pmatrix}
    1 & 2\\
    9 & 4
    \end{pmatrix} [/latex]

    ♦ [latex] A=\begin{pmatrix}
    1 & 2\\
    9 & 4
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] (1-\lambda )x_{1}+2x_{2}=0 [/latex]

    [latex] 9x_{1}+(4-\lambda )x_{2}=0 [/latex]

    [latex] \begin{vmatrix}
    1-\lambda & 2 \\
    9 & 4-\lambda
    \end{vmatrix}=0 [/latex]

    [latex] (1-\lambda )(4-\lambda )-18=0  [/latex]

    [latex] 4-4\lambda -\lambda +\lambda ^{2}-18=0 [/latex]

    [latex] \lambda ^{2}-5\lambda -14=0 [/latex]

    [latex] \lambda _{1}=7,\; \lambda _{2}=-2 [/latex]

    [latex] -6x_{1}+2y_{1}=0 [/latex]

    [latex] 9x_{1}-3y_{1}=0 [/latex]

    Власний вектор, що відповідає числу [latex] \lambda _{1}=7 [/latex] при [latex] x_{1}=1 [/latex]: [latex] \bar{x_{1}}=(1,3) [/latex].

    За одиничний вектор власного вектора приймемо вектор: [latex] \bar{i_{1}}=\left(\frac{1}{\sqrt{10}};\frac{3}{\sqrt{10}} \right) [/latex], де [latex] \sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10} [/latex] - довжина [latex] \bar{x_{1}}  [/latex].

    Для [latex] \lambda _{2}=-2 [/latex]:

    [latex] 3x_{2}+2y_{2}=0 [/latex],

    [latex]  9x_{2}+6y_{2}=0[/latex].

    [latex] \bar{x_{2}}=(2;-3) [/latex]

    [latex] \bar{j}=\left(\frac{2}{\sqrt{13}};\frac{-3}{\sqrt{13}} \right)  [/latex].

    Читати

    Задача 7 (Метод Крамера)

    Розв'язати систему рівнянь методом Крамера [latex] \left\{\begin{matrix}
    x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=1,\\
    x_{1}+ x_{2} - x_{3}=2,\\
    x_{1}+5x_{2}+5x_{3}=0.
    \end{matrix}\right. [/latex]

    ♦ [latex] x_{1}=\frac{\Delta _{1}}{\Delta },\; x_{2}=\frac{\Delta _{2}}{\Delta },\; x_{3}=\frac{\Delta _{3}}{\Delta }. [/latex]

    [latex] \Delta =\begin{vmatrix}
    1 &2 &3 \\
    1 & 1 &-1 \\
    1 & 5 & 5
    \end{vmatrix}=5-2+15-3+5-10=10, [/latex]

    [latex] \Delta_{1} =\begin{vmatrix}
    1 &2 &3 \\
    2 & 1 &-1 \\
    0 & 5 & 5
    \end{vmatrix}=5+0+30-0+5-20=20, [/latex]

    [latex] \Delta_{2} =\begin{vmatrix}
    1 &1 &3 \\
    1 & 2 &-1 \\
    1 & 0 & 5
    \end{vmatrix}=10-1+0-6-5+0=-2, [/latex]

    [latex] \Delta_{3} =\begin{vmatrix}
    1 &2 &1 \\
    1 & 1 &2 \\
    1 & 5 & 0
    \end{vmatrix}=0+4+5-1-10-0=-2. [/latex]

    [latex] x_{1}=\frac{20}{10}=2,\; x_{2}=\frac{-2}{10}=-0,2,\; x_{3}=\frac{-2}{10}=-0,2 [/latex]

    Отже, {2;-0,2;-0,2} - розв'язок даної системи.♦

     

    Читати

    Задача 6 (Дії над матрицями)

    Знайти А - 2В, якщо [latex] A=\begin{pmatrix}
    -1 & 2 &1 \\
    3 & 1 &1 \\
    -1 & -2 & 2
    \end{pmatrix} [/latex] i [latex] B=\begin{pmatrix}
    1 & -1 & 0 \\
    1 & 0 & 1 \\
    -1 & 0 & 2
    \end{pmatrix} [/latex].

    ♦ [latex] 2B=2\begin{pmatrix}
    1 &-1 &0 \\
    1& 0 & 1\\
    -1& 0 &2
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    2 &-2 &0 \\
    2 & 0 &2 \\
    -2 & 0 & 4
    \end{pmatrix} [/latex]

     [latex] A-2B=\begin{pmatrix}
    -1 & 2 &1 \\
    3 & 1 &1 \\
    -1 & -2 & 2
    \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
    2 &-2 &0 \\
    2 & 0 &2 \\
    -2 & 0 & 4
    \end{pmatrix}= [/latex]

    [latex] =\begin{pmatrix}
    -1-2 & 2-(-2) &1-0 \\
    3-2& 1-0 & 1-2\\
    -1-(-2)& -2-0 & 2-4
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -3 & 4 &1 \\
    1& 1 &-1 \\
    1 &-2 &-2
    \end{pmatrix} [/latex].♦

    Читати

    Задача 5 (Рівняння площини)

    Записати рівняння площини, що проходить через три задані точки: А (0; 1; 3), В (-4; 2; 5) та С (-2; -1; 6)

    ♦ Рівняння площини, що проходить через три задані точки, має вигляд:

    [latex]\begin{vmatrix}
    x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1}\\
    x_{2} -x_{1} &y-y_{1} &z_{2}-z_{1} \\
    x_{3} -x_{1} & y-y_{1}& z_{3} -z_{1}
    \end{vmatrix}=0[/latex]⇒

    [latex]\begin{vmatrix}
    x-0 & y-1 & z-3\\
    -4-0 & 2-1 & 5-3\\
    -2-0& -1-1 & 6-3
    \end{vmatrix}= 0[/latex]⇒

    [latex]\begin{vmatrix}
    x& y-1 & z-3\\
    -4& 1 & 2\\
    -2& -2& 3
    \end{vmatrix}=0[/latex]⇒

    [latex]x\cdot 1\cdot 3+(y-1)\cdot 2\cdot (-2)+(-4)\cdot (-2)(z-3)-
    [/latex]

    [latex]
    -(z-3)\cdot 1\cdot (-2)-x\cdot (-2)\cdot 2-(y-1)\cdot 3\cdot (-4)=0[/latex]⇒

    [latex]3x-4y+4+8z-24+2z-6+4x+12y-12=0 [/latex]⇒

    [latex] 7x+8y+10z-38=0[/latex] рівняння шуканої площини.♦

    Читати

    Задача 4 (Економічна задача)

    У цеху підприємства виготовляють дві моделі жіночого одягу. На виготовлення першої моделі витрачають 2 м тканини, на виготовлення другої - 3 м. При цьому витрати робочого часу на виробництво цих моделей становлять відповідно 4 та 5 год. Відомо, що тижневий запас тканини - 100 м, а робочий час обмежено 190 год.

    Скласти такий план тижневого виготовлення цих моделей одягу, при якому повністю використовують ресурси (тканину і робочий час).

    ♦ Позначимо через x1 та  x2 кількість одиниць тижневого випуску першої та другої моделей відповідно. За умовою задачі складемо систему лінійних рівнянь:

    [latex] \left\{\begin{matrix}
    2x_{1}+3x_{2}=100, \\
    4x_{1}+5x_{2}=190.\end{matrix}\right. [/latex]

    Розв'яжемо систему матричним способом. Запишемо її у матричному вигляді: [latex]AX=B [/latex], де

    [latex]A=\begin{pmatrix}
    2 &3 \\
    4 &5
    \end{pmatrix}, \; B=\begin{pmatrix}
    100\\
    190
    \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix}
    x_{1}\\
    x_{2}
    \end{pmatrix} [/latex].

    Для матриці А знайдемо обернену матрицю А-1. Оскільки: 

    [latex]\left|A \right|=\begin{vmatrix}
    2 &3 \\
    4& 5
    \end{vmatrix}=10-12=-2, \; A_{11}=5,\; A_{12}=-4, A_{21}=-3, A_{22}=2 [/latex], то

    [latex]A^{-1}=\frac{1}{\left|A \right|}\begin{pmatrix}
    A_{11} & A_{21} \\
    A_{12} & A_{22}
    \end{pmatrix}= - \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
    5 &-3 \\
    -4& 2
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -\frac{5}{2} &\frac{3}{2} \\
    2 &-1
    \end{pmatrix}. [/latex]

    [latex] X=\begin{pmatrix}
    -\frac{5}{2} &\frac{3}{2} \\
    2 &-1
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    100\\
    190
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -250+275\\
    200-190
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    25\\
    10
    \end{pmatrix}[/latex]⇒

    [latex]\Rightarrow x_{1}=25, \; x_{2}=10[/latex]

    Отже, для повного використання ресурсів щотижня треба виготовляти 25 одиниць першої та 10 одиниць другої моделей одягу. ♦

    Читати

    Задача 3 (Економічна задача)

    Підприємство випускає продукцію двох видів, використовуючи при цьому сировину трьох типів. Витрати сировини на виробництво продукції задаються матрицею  [latex]S=(s_{ij})=\begin{pmatrix}
    5 &4 \\
    3& 1\\
    2 &3
    \end{pmatrix} [/latex] , де  [latex]s_{ij} [/latex] - кількість одиниць сировини і-го типу, що використовується на виготовлення одиниці товару j-го виду. План щоденного випуску продукції передбачає 90 одиниць продукції першого виду і 120 одиниць продукції другого виду. Вартість одиниці кожного типу сировини відповідно дорівнює 8, 5 і 10 грн.

    Визначити загальні витрати сировини V, необхідні для щоденного випуску продукції, а також загальну вартість С цієї продукції. 

    Задачу будемо розв'язувати у матричному вигляді. Спочатку запишемо матрицю, що задає план випуску продукції:  [latex] P=\begin{pmatrix}
    90\\
    120
    \end{pmatrix} [/latex]. Тоді загальні витрати сировини на запланований випуск продукції можемо знайти як добуток матриць S i P:  [latex]V=SP=\begin{pmatrix}
    5 &4 \\
    3 &1 \\
    2& 3
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    90\\
    120
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    5\cdot 90+4\cdot 120\\
    3\cdot 90+1\cdot 120\\
    2\cdot 90+3\cdot 120
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    930\\
    390\\
    540
    \end{pmatrix} [/latex]

    Отже для щоденного випуску сировини використовується 930, 390 та 540 одиниць сировини першого, другого та третього типів відповідно.

    Задану вартість одиниці продукції кожного типу сировини можна подати у вигляді матриці:

     [latex] Q = \begin{pmatrix}
    8 & 5 & 10
    \end{pmatrix} [/latex].

    Отже, тепер можемо знайти загальну вартість сировини С визначається як добуток матриць Q та V:

    [latex]C=QV=\begin{pmatrix}
    8 &5 &10
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    930 &390 &540
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    8\cdot 930+5\cdot 390+10\cdot 540
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    14790
    \end{pmatrix}. [/latex] ♦

     

    Читати

    Задача 2 (Добуток матриць)

    Обчислити добутки матриць АВ та ВА  (якщо це можливо) для заданих матриць:

    a)  [latex] A = \begin{pmatrix}
    1 &-1 &2 \\
    0& -3 &4
    \end{pmatrix},
    B = \begin{pmatrix}
    0 &1 \\
    1&0 \\
    -1&1
    \end{pmatrix}[/latex];

    б)  [latex]A =\begin{pmatrix}
    -1\\
    3\\
    2\\
    4
    \end{pmatrix},\;
    B = \begin{pmatrix}
    3 &5 &-4 &0
    \end{pmatrix} [/latex];

    в) [latex] A =\begin{pmatrix}
    -2 &4 \\
    3&-1
    \end{pmatrix},\;
    B = \begin{pmatrix}
    -1 &3 &4 \\
    4& 3 &-1
    \end{pmatrix}[/latex];

    г)  [latex]  A=\begin{pmatrix}
    2 &-1 \\
    0&5
    \end{pmatrix}, \;
    B = \begin{pmatrix}
    7 &3 \\
    4 & -1\\
    2 &0
    \end{pmatrix}
    [/latex].

    ♦ а) Задано матриці [latex] A_{2\times 3} \; i \; B_{3\times 2}[/latex].  Їх розмірності дозволяють знайти добутки  АВ і ВА. При цьому добуток АВ матиме розмірність 2×2, а добуток ВА - 3×3. Отже:

    [latex] AB = \begin{pmatrix}
    1 &-1 &2 \\
    0&-3 &4
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    0 &1 \\
    1& 0\\
    -1 &1
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    0-1-2 &1-0+2 \\
    0-3-4 & 0-0+4
    \end{pmatrix}= [/latex]

    [latex]=\begin{pmatrix}
    -3&3 \\
    -7&4
    \end{pmatrix} [/latex]

    [latex] BA=\begin{pmatrix}
    0 &1 \\
    1& 0\\
    -1 &1
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    1 &-1 &2 \\
    0&-3 &4
    \end{pmatrix}= [/latex]

    [latex]
    =\begin{pmatrix}
    0+0 &0-3 &0+4 \\
    1+0 & -1-0 &2+4 \\
    -1+0& 1-3 & -2+4
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    0 &-3 &4 \\
    1& -1& 6\\
    -1&-2 &2
    \end{pmatrix} [/latex]

    б) Для заданих матриць існують обидва добутки АВ та ВА. Матриця АВ матиме розмірність 4×4, а матриця ВА - 1×1.

    [latex] AB =\begin{pmatrix}
    -1\\
    3\\
    2\\
    4
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    3 & 5 &-4& 0
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -3 &-5 &4 &0 \\
    9& 15& -12& 0\\
    6 &10 &-8 &0 \\
    12& 20& -16&0
    \end{pmatrix}
    [/latex]

    [latex] BA=\begin{pmatrix}
    3 &5 &-4 &0
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    -1\\
    3\\
    2\\
    4
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    -3+15-8+0
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    4
    \end{pmatrix}[/latex]

    в) Оскільки розмірність матриці А 2×2, а розмірність матриці В 2×3, то в даному випадку існує лише добуток АВ. Це буде матриця розмірності 2×3.  Добуток ВА знайти не можливо.

    [latex] AB= \begin{pmatrix}
    -2 &4 \\
    3 &-1
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    -1 &3 &4 \\
    4& 3& -1
    \end{pmatrix}=[/latex]

    [latex]=\begin{pmatrix}
    2+16 &-6+12 &-8-4 \\
    -3-4& 9-3 &12+1
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    18 &6 &-12 \\
    -7& 6& 13
    \end{pmatrix} [/latex]

    Оскільки розмірність матриці А 2×2, а розмірність матриці В 3×2, то можемо знайти лише добуток ВА розмірності 3×2. Добуток АВ знайти неможливо.

    [latex] BA=\begin{pmatrix}
    7 &3 \\
    4& -1\\
    2& 0
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    2 &-1 \\
    0& 5
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    14+0 &-7+15 \\
    8-0&-4-5 \\
    4+0& -2+0
    \end{pmatrix}= [/latex]

    [latex]=\begin{pmatrix}
    14 &8 \\
    8&-9 \\
    4&-2
    \end{pmatrix} [/latex]. ♦

     

    Читати

    Задача 1 (Метод Гаусса, формули Крамера)

    Розв'язати систему лінійних рівнянь:

    Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначникиа) методом Гаусса;                                б) за формулами Крамера.

    ♦ а) Спочатку запишемо розширену матрицю для заданої системи рівнянь. Виконуючи над нею тотожні перетворення, зведемо її до трикутного вигляду. 

    Поміняємо в матриці перший і другий рядок місцями, домножимо перший рядок на (-3) та на (-4) і додамо до другого і третього рядків відповідно:

    Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначники

    Домножимо другий рядок матриці на (-5) та додамо його до третього рядка матриці. Поділимо останній рядок матриці на (-11). Отримаємо матрицю: 

    Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначники

    Знайдена матриця відповідає системі рівнянь:

    Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначники

    Отримали значення змінної z. Підставивши знайдене число в перше і друге рівняння останньої системи, знайдемо значення змінних x та y:

    [latex] y=4z-11=4\cdot 4-11=5, \; x=-2-5+4=-3[/latex] .

    Отже загальний розв'язок системи має вигляд:

    [latex]x=-3, \; y=5,\;  z= 4 [/latex].

    б) Розв'яжемо цю ж систему за формулами Крамера. Для цього складемо та обчислимо визничники:

    Системи лінійних рівнянь. Матриці та визначники

    Оскільки Δ≠0, то маємо єдиний розв'язок системи, який обчислюємо за формулами:

     [latex]x=\frac{\Delta _{x}}{\Delta }=\frac{33}{-11}=-3,\; y=\frac{\Delta _{y}}{\Delta }=\frac{-55}{-11}=5,\;z=\frac{\Delta _{z}}{\Delta }=\frac{-44}{-11}=4.\; [/latex]♦

     

    Читати