Числові характеристики розподілів випадкових величин

Приклад

Проводиться розіграш 1000 білетів лотереї, серед яких 100 білетів дають виграш 1 грн., 10 білетів – 10 грн., 1 білет – 100 грн. Який виграш у середньому припадає на один білет, вартість якого 1 грн.?

♦ Якщо випадкова величина Х – можливий виграш за лотерейним білетом, то вона може набувати значень 0, 1, 10 і 100. При цьому 

 P (X=1) = \frac{100}{1000}=0,1

 P (X=10) = \frac{10}{1000}=0,01 ;

  P (X=100) = \frac{1}{1000}=0,001 ;

  P (X=0) = \frac{1000-(100+10+1)}{1000}=\frac{889}{1000}=0,889 .

Запишемо розподіл випадкової величини Х:

Числові характеристики розподілів випадкових величин

Середнє значення виграшу – це математичне сподівання випадкової величини Х: М (Х) = 0 · 0,889 + 1 · 0,1 + 10 · 0,01 + 100 · 0,001 = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3 (грн.). Отже, справжня вартість білета лотереї становить 30 коп. ♦

Приклад

Обчислити математичне сподівання і дисперсію числа бракованих виробів у партії з 2000 виробів, якщо кожен виріб може бути бракованим з ймовірністю 0,01.

♦ Нехай випадкова величина Х – це кількість бракованих виробів у партії. Оскільки р = 0,01 – мале число, n = 2000 – велике, то можна вважати, що величина Х має розподіл Пуассона. Тому за формулами  M(X)=D(X)=a=np,\; \sigma =\sqrt{np} дістаємо:

  M(X) = D(X) = np = 2000\cdot 0,01=20 ,

 \sigma =\sqrt{np}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,47 .♦

Приклад

Випадкову величину Х задано функцією розподілу

  F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\ ax, &0\leq x\leq 3, \\ 1, & x>3. \end{cases} .

Визнеачити значення параметра a та числові характеристики випадкової величини Х.

♦ Визначимо щільність розподілу

  p(x) = F'(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\ a, &0\leq x\leq 3, \\ 0, & x>3. \end{cases} .

Скориставшись властивісю щільності, знайдемо значення параметра а I=\int_{-\propto }^{+\propto }{p(x)dx}=\int_{0}^{3}{adx}=ax|_{0}^{3}=3a\Rightarrow a=\frac{1}{3} .

Оскільки  p(x)=\begin{cases} 0, & x<0, x>3,\\ \frac{1}{3}, & 0\leq x\leq 3, \end{cases} , то задана випадкова величина має рівномірний розподіл. Тому за формулами 

 M(X)=\frac{a+b}{2},\; D(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12},\sigma =\frac{b-a}{2\sqrt{3}}

маємо:  M(X)=\frac{0+3}{2}=1,5

 D(X)=\frac{(3-0)^{2}}{12}=\frac{9}{12}=0,75 ;

  \sigma =\sqrt{0,75}\approx 0,85 .♦

Приклад

За статистичними данимим річний дохід наелення міста N має нормальний розподіл із середнім значенням 3 тис. грн. та середнім квадратичним відхиленням 1 тис. грн. Записати щільність розподілу річного доходу населення. Знайти ймовірність того, що навмання вибраний житель міста має дохід:

а) від 2,5 до 4 тис. грн.;

б) менше 6 тис. грн.

♦ Нехай випадкова величини Х визначає річний дохід населення міста. Тоді її математичне сподівання М (Х) = a = 3, а середнє квадратичне відхилення σ = 1. Отже, щільність цього розподілу має вигляд  p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(x-3)^{2}}{2}} .

За формулою  P(\alpha \leq X\leq \beta )=\Phi (\frac{\beta -\alpha }{\sigma })-\Phi (\frac{\alpha -a}{\sigma }) обчислюємо ймовірність того, що навмання вибраний житель має дохід від 2,5 до 4 тис. грн.: Р (2,5 ≤ Х ≤ 4) = Ф (4 – 3) – Ф (2,5 – 3) = Ф (1) + Ф (0,5) ≈ 0,3413 +0,1915 = 0,5328.

Оскільки а = 3, σ = 1, то за правилом трьох сигм дістаємо Р (0 < Х < 6) = Р (|X – 3| < 3) = P (|X – a| < 3σ) ≈ 0,997, тобто практично вірогідним є те, що дохід жителя менше 6 тис. грн. ♦ 

Приклад

Вважаючи, що ймовірність народження хлопчиків дорівнює 0,5, оцінити за допомогою нерівності Чебишева ймовірність того, що серед 1500 новонароджених буде від 700 до 800 хлопчиків.

♦ Маємо біномний закон розподілу випадкової величини Х – числа хлопчиків серед 1500 новонароджених. Тому числа 700 і 800 – межі допустимих значень випадкової величини – симетричні відносно математичного сподівання, що дорівнює 750, то нерівність 700 < Х < 800 можна замінити еквівалентною їй нерівністю |X – 750| ≤ 50. Використовуючи тепере другу нерівність Чебишева  P(|X-M(X)|\leq \varepsilon )\geq 1-\frac{D(X)}{\varepsilon^{2} } при ε = 50, маємо  P(700<X<800)=P(|X-750|\leq 50)\geq 1-\frac{375}{50^{2}}=0.85 .

Отже, ймовірність шуканої події не менше 0,85. ♦