Схема незалежних випробувань. Граничні теореми

Приклад

У люстрі є три лампи. Ймовірність виходу з ладу кожної лампи протягом року дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що протягом року доведеться замінити не менше двох ламп?

♦ Нехай подія А полягає в тому, що лампа вийде з ладу протягом року. Тоді  p=P(A)=0,2,\; q=P(\bar{A})=1-p=0,8, Am – подія А відбудеться m разів. Покладаючи n = 3, за формулою  p_{m,n}=P_{n}(A_{m})=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{n-m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}  дістаємо: ймовірність того, що протягом року вийде з ладу три лампи становить  P_{3}(A_{3})=C_{3}^{3}\cdot 0,2^{3}\cdot 0,8^{0}=0,008 ; дві лампи –  P_{3}(A_{2})=C_{3}^{2}\cdot 0,2^{2}\cdot 0,8=0,096 .

За властивістю суми ймовірностей несумісних подій шукана ймовірність  P_{3}(A_{2})+P_{3}(A_{3})=0,096+0,008=0,104 .♦

Приклад

Три елементи обчислювального пристрою працюють незалежно. Ймовірність безвідмовної роботи кожного елемента за час t дорівнює 0,8. Визначити ймовірність того, що протягом часу t:

а) всі елементи вийдуть з ладу – подія А0;

б) тільки один елемент працюватиме безвідмовно – подія А1;

в) два елементи не відмовлять – подія А2;

г) всі три елементи працюватимуть справно – подія А3.

♦ Випробування полягає у спостереженні за роботою елемента протягом часу t, подія А полягає у безвідмовній роботі елемента протягом цього часу. Ймовірність події А р = 0,8, ймовірність   (елемент вийде з ладу) q = 0,2, число випробувань n = 3, Am – подія А відбудеться m разів. 

Шукані ймовірності обчислюємо за формулою   :

P3 = 0,23 = 0,008; P3(A1) = 3· 0,04·0,8 = 0,096; P3(A2) = 3· 0,2·0,82 = 0,384; P3(A3) = 0,83 = 0,512.

Оскільки події, що розглядаються, є попарно несумісними і в даному випробування обов’язково відбудеться одна з них, то сума цих подій є вірогідною подією. Тому для перевірки отриманих результатів можемо скористатись формулою  P(A_{0}+A_{1}+...A_{n})=1=(p+q)^{n}=\sum_{m=0}^{n}{C_{n}^{m}p^{m}q^{n-m}}  \sum_{k=0}^{3}{P_{3}(A_{3})}=0,008+0,096+0,384+0,512=1 . ♦

Приклад

Ймовірність схожості насіння дорівнює 0,75. Визначити ймовірність того, що з 500 висіяних насінин не зійде 130.

♦ Подія А полягає в тому, що насінина не зійде. Ймовірність цієї події становить p = 0,25. Тому q = 1 – p = 0,75. Крім того, відомо, що n = 500, m = 130; отже,  P^{*}_{500}=\frac{130}{500} . Тоді за формулою Лапласа

 P_{n}(A_{m})=P({P^{*}_{n}(A)=\frac{m}{n}})\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\frac{1}{2\pi }e^{-\frac{1}{2}(\frac{m-np}{\sqrt{npq}})^{2}}

маємо  P_{500}(A_{130})=P({P^{*}_{500}=\frac{130}{500}})\approx \frac{1}{\sqrt{500\cdot 0,25\cdot 0,75}}\frac{1}{2\pi }e^{-\frac{1}{2}x^{2}_{n,m}} , де  x_{n,m}=x_{500,130}=\frac{130-500\cdot 0,25}{\sqrt{500\cdot 0,25\cdot 0,75}} . Виконуючи обчислення, дістаємо  x_{n,m}\approx 0,52,\; e^{-\frac{1}{2}x^{2}_{n,m}}\approx 0,3485  і шукану ймовірність  P_{500}(A_{130})\approx 0,036 .

Цю  ймовірність можна обчислити за формулою   P_{n}(A_{m})\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\varphi (x),\; \varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }e^{-\frac{x^{2}}{2}}},\; x=\frac{m-np}{\sqrt{npq}} ,

скориставшись таблицею значень функції φ(х). Справді, обчисливши значення х ≈ 0,52, за таблицею значень функції φ визначаємо φ(0,52) = 0,3485. Тоді, підрахувавши  \sqrt{npq}\approx 9,682 , за формулою 

 P_{n}(A_{m})\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\varphi (x),\; \varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }e^{-\frac{x^{2}}{2}}},\; x=\frac{m-np}{\sqrt{npq}}  дістанемо  P_{500}(A_{130})\approx 0,036 .♦