Простір подій. Відносна частота події. Поняття ймовірності події та її властивості

Приклад

Хлопчик чекає телефонного дзвінка від друга протягом години. Знайти ймовірність того, що друг зателефонує йому в перші 20 хвилин.

♦ Оскільки друг може зателефонувати протягом години, то Ω = [0; 1] – простір випадкових подій цього випадкового експерименту. Подія А полягає у тому, що друг зателефонує протягом перших 20 хвилин, тому A = [0; 1/3]. Тоді ймовірність Р(А) можна знайти як відношення міри множини А до міри множини Ω, тобто

 P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega )}=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3} .♦

Приклад

Слово “Голкіпер” складено з літер-карток розрізної азбуки. З них навмання вибирають три картки і кладуть в ряд одну за однією в порядку появи. Яка ймовірність того, що при цьому складається слово “гол”?

 ♦ При утворенні простору елементарних подій Ω розглядаються всі впорядковані 3-елементні підмножини 8-елементної множини (в слові “голкіпер” 8 літер). Тому всього можливих варіантів може бути  n=A_{8}^{3}=8\cdot 7\cdot 6=336 , а сприятливим для шуканої події А є лише один випадок (m = 1), коли буде вийнято підряд літери “г”, “о”, та “л”. Отже,  P(A)=\frac{m}{n}=\frac{1}{336} .♦

Приклад

У групі із 30 студентів екзамен з вищої математики 3 студенти склали на “відмінно”, 12 – на “добре” і 10 – на “задовільно”. З групи навмання вибирають двох студентів. Яка ймовірність того, що вони одержали незадовільні оцінки?

♦ В групі всього 30 – 3 – 12 – 10 = 5 осіб, які склали екзамен на “незадовільно”. Всього двох студентів можна обрати  n=C_{30}^{2}=435 способами. Тих, які отримали “незадовільно” можна обрати  m=C_{5}^{2}=10  способами. Отже,  P(A)=\frac{m}{n}=\frac{10}{435}=\frac{2}{87} .♦

Приклад

В одній урні є 3 білі та 7 чорних куль, а в іншій – 4 білі ті 6 чорних. З кожної урни виймають по одній кулі. Яка ймовірність того, що кулі будуть різного кольору?

♦ Розглянемо попарно незалежні події Б1 – біла куля з першої урни, Ч2 – чорна куля з другої урни, Ч– чорна куля з першої урни, Б2 – біла куля з другої урни. 

Тоді ймовірність того, що з першої урни витягнуто білу кулю, а з другої – чорну, дорівнює Р(Б1Ч2) = Р(Б1)·Р(Ч2). А ймовірність того, що з першої урни витягнуто чорну кулю, а з другої – білу, дорівнює Р(Ч1Б2) = Р(Ч1)·Р(Б2). 

Оскільки, в кожній урні всього по 10 куль, то маємо: Р(Б1) = 3/10 = 0,3, Р(Ч1) = 7/10 = 0,7, Р(Б2) = 4/10 = 0,4, Р(Ч2) = 6/10 = 0,6. А значить, Р(Б1Ч2) = 0,3 · 0,6 = 0, 18,  Р(Ч1Б2) = 0,7 · 0,4 = 0, 28. Оскільки А = Б1Ч+ Ч1Бі події  Б1Чта Ч1Бнесумісні, то шукану ймовірність обчислюємо за формулою Р (А + В) = Р (А) + Р (В), тобто Р(А) = Р (Б1Ч) + Р (Ч1Б2) = 0,18 + 0, 28 = 0, 46.♦

Приклад

Ймовірність влучення в мішень одним стрільцем становить 0,4, іншим – 0,9. Стрільні незалежно один від одного зробили по одному пострілу. Яка ймовірність того, що принаймні один стрілець влучить в мішень?

♦ Нехай подія А полягає у влученні першим стрільцем у мішень, подія В – другим, а подія С – шукані подія. Тоді С = А + В. Враховуючи, що події А і В сумісні, проте незалежні, за формулами Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) та Р(АВ) = Р(А) Р(В) дістаємо: Р(С) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А) Р(В) = 0,4 + 0,9 – 0,4 · 0,9 = 0,94.♦

Приклад

Є кубик, на ньому є білі, жовті та зелені грані. Ймовірність випаду жовтого кольору 0,6. Побудувати всі можливі ймовірнісні простори за даних умов.

♦ 1) Введемо позначення:  

Н1 = {“Б”} (на кубику випадає біла грань),

Н2 = {“Ж”} (випадає жовта грань),

Н3 = {“З”} (випадає зелена грань).

Очевидно HHj = Ø, i ≠ j, H1 + H2 + H3 = Ω, тобто підмножини H1, H2, H3 утворюють розбиття множини Ω на множини, що попарно не перетинаються.

Відомо, що Рn* ({“Ж”}) = 0,6.

За наведеними даними можна побудувати можливі простори подій, для всіх елементів яких буде визначено статистичну ймовірність, наступним чином.

S = {Ø, Ω} (очевидно, що виконуються всі умови 1s – 3s )

Тоді трійка (Ω, S, Pn*) є ймовірнісним простором.

2) Розглянемо підмножину множини Ω, яка є доповненням множини {“Ж”} до множини Ω, тобто множину Ω \ ({“Ж”}) = {“Б”, “З”}.

Введемо позначення: Н1 = {“Б”, “З”}, H2 = {“Ж”}.

Очевидно HHj = Ø, i ≠ j, H1 + H2 = Ω, тобто з підмножин Н1 і Н2 утворено поділ множини Ω на підмножини, які попарно не перетинаються.

Розглянемо таку сукупність множин: S = {Ω, H1, H2, H1 + H2 = Ω}.

Очевидно, що Pn* (Ø) = 0, Pn* ({“Б”, “З”}) = Pn* ¯({“Ж”}) = 1 – Pn* ({“Ж”}) = 1 – 0,6 = 0,4,

Pn* ({“Ж”}) = 0,6. 

Pn* ({“Б”, “З”, “Ж”}) = 1. Отже, Pn* (А) визначена на всіх елементах множини S і задовольняє умови 1р – 3р.

Сукупність S задовольняє умови 1s – 3s.

Тому в розглянутому випадку трійка (Ω, S, Pn*) є ймовірнісним простором.

Інші підмножини, наприклад, {“Б”, “Ж”}, {“З”, “Ж”}, {“Б”}, {“З”} виявляються невимірними відносно заданої міри Pn*(A), A ∈ S і тому такі підмножини не включені до простору подій S. Тому інших ймовірнісних просторів визначити не можна.♦