Задача (Знаходження оригіналу)

Знайти зображення оригіналу функції f(t), графік якої зображено на рисунку.

Задача (Знаходження  оригіналу)

♦ Запишемо функцію аналітично:

 f(t)=\begin{cases} -1,\; t<a, \\ \frac{1}{a}t-2,\; a\leq t<2a, \\ -\frac{1}{a}t+2,\; 2a\leq t\leq 3a,\\ -1,\; t>3a. \end{cases}

 F(p)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)e^{-pt}dt},

 F(p)=F_{1}(p)+F_{2}(p)+F_{3}(p)+F_{4}(p),

 F(p)=\int_{-\infty}^{a}{f_{1}(t)e^{-pt}dt+\int_{a}^{2a}{f_{2}(t)}e^{-pt}dt}+

 +\int_{2a}^{3a}{f_{3}(t)}e^{-pt}dt+\int_{3a}^{+\infty}{f_{4}(t)e^{-pt}dt}=

 =\int_{-\infty}^{a}{-1e^{-pt}dt}+\int_{a}^{2a}{\left(\frac{1}{a}t-2 \right)e^{-pt}dt}+

 +\int_{2a}^{3a}{\left(-\frac{1}{a}t+2 \right)e^{-pt}dt}+\int_{3a}^{+\infty}{-e^{-pt}dt}=

 \int_{-\infty}^{a}{-e^{-pt}dt}=-\lim_{b\rightarrow -\infty}\int_{a}^{b}{e^{-pt}dt}=-\lim_{b\rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{p}e^{-pt}|_{b}^{a} \right)=

 =-\lim_{b\rightarrow \infty}-\frac{1}{p}\left(e^{-ap}-e^{-bp} \right)=\frac{1}{p}e^{-ap};

 \int_{a}^{2a}{\left(\frac{1}{a}t-2 \right)e^{-pt}}=\int_{0}^{2a}{\frac{1}{a}te^{-pt}dt}-2\int_{a}^{2a}{e^{-pt}dt}=

 =\frac{1}{a}\int_{a}^{2a}{te^{-pt}dt}-2\int_{a}^{2a}{e^{-pt}dt}=

 =\begin{vmatrix}U=t & e^{-pt}dt=dV\\dU=dt & -\frac{1}{p}e^{-pt}=V\end{vmatrix}

 =\frac{1}{a}\left(-\frac{1}{p}te^{-pt}|{a}^{2a}-\int{a}^{2a}{-\frac{1}{p}e^{-pt}dt} \right)-2\left(-\frac{1}{p}e^{-pt} \right)|_{a}^{2a}=

 =\frac{1}{a}\left(-\frac{1}{p}\left(2a\cdot e^{-2at}-a\cdot e^{-et} \right)+\frac{1}{p}\cdot \left(-\frac{1}{p} \right)e^{-pt}|_{a}^{2a} \right)+

 +\frac{2}{p}\left(e^{-2ap}-e^{-ap} \right)=

 =\frac{1}{a}\left(-\frac{2a}{p}e^{-2ap}+\frac{a}{p}e^{-ap} -\frac{1}{p^{2}}e^{-2ap}+\frac{1}{p^{2}}e^{-ap}\right)+

 +\frac{2}{p}e^{-2ap}-\frac{2}{p}e^{-ap}=

 =-\frac{2}{p}e^{-2ap}+\frac{1}{p}e^{-ap}-\frac{a}{p^{2}}e^{-2ap}+\frac{a}{p^{2}}e^{-ap}+\frac{2}{p}e^{-2ap}-\frac{2}{p}e^{-ap}=

 =\left(\frac{a}{p^{2}}-\frac{1}{p}e^{-ap}-\frac{a}{p^{2}e^{-2ap}} \right);

 \int_{2a}^{3a}{\left(-\frac{1}{a}t +2\right)e^{-pt}dt}=\int_{2a}^{3a}{-\frac{1}{a}te^{-pt}dt}+2\int_{2a}^{3a}{e^{-pt}dt}=

=\begin{vmatrix}U=t & e^{-pt}dt=dV\\ dU=dt & V=-\frac{1}{p}e^{-pt}\end{vmatrix}=

 =-\frac{1}{a}\left(-\frac{1}{p}te^{-pt}|^{3a}_{2a}- \int^{3a}_{2a}{-\frac{1}{p}e^{-pt}dt} \right)+2\left(-\frac{1}{p}e^{-pt} \right)|_{2a}^{3a}

 =\frac{a}{p}\left(3ae^{-3ap}-2ae^{-2ap} \right)+\frac{a}{p}\cdot \left(-\frac{1}{p} \right)e^{-pt}|_{2a}^{3a}-

 -\frac{2}{p}\left(e^{-3ap}-e^{-2ap} \right)=\frac{3}{p}e^{-3ap}-\frac{2}{p}e^{-2ap}-\frac{a}{p^{2}}e^{-3ap}+\frac{a}{p^{2}}e^{-2ap}-

 -\frac{2}{p}e^{-3ap}+\frac{2}{p}e^{-2ap}=\frac{1}{p}e^{-3ap}-\frac{a}{p^{2}}e^{-3ap}+\frac{a}{p^{2}}e^{-2ap}=

 =\left(\frac{1}{p}-\frac{a}{p^{2}}\right)e^{-3ap} +\frac{a}{p^{2}}e^{-2ap}

 \int_{3a}^{+\infty}{-e^{-pt}dt}=\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{3a}^{b}{-e^{-pt}dt}=-\lim_{b\rightarrow \infty}\left(-\frac{1}{p}e^{-pt} \right)|_{3a}^{b}=

 =-\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{p}e^{-tp} \right)|{3a}^{b}=\frac{1}{p}\lim{b\rightarrow +\infty}\left(e^{-bp}-e^{-3ap} \right)=

  =-\frac{1}{p}e^{-3ap}

 F(p)=\frac{1}{p}e^{-ap}+\left(\frac{a}{p^{2}}-\frac{1}{p} \right)e^{-ap}-\frac{a}{p^{2}}e^{-2ap}+

 +\left(\frac{1}{p}-\frac{a}{p^{2}} \right)e^{-3ap}+\frac{a}{p^{2}}e^{-2ap}-\frac{1}{p}e^{-3ap}=

 =\left(\frac{1}{p}+\frac{a}{p^{2}}-\frac{1}{p} \right)e^{-ap}+\left(\frac{1}{p}-\frac{a}{p^{2}}-\frac{1}{p} \right)e^{-3ap}=

 =\frac{a}{p^{2}}e^{-ap}+\left(-\frac{a}{p^{2}} \right)e^{-3ap}=\frac{a}{p^{2}}\left(e^{-ap}-e^{-3ap} \right)

Відповідь:  F(p)=\frac{a}{p^{2}}\left(e^{-ap}-e^{-3ap} \right)

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *