Задача 10 (Дослідження інтеграла на збіжність)

Дослідити на збіжність невласні інтеграли:

а)   \int_{0}^{\propto }{\frac{xdx}{4x^{2}+4x+5}} ;

б)  \int_{\frac{3}{4}}^{1}{\frac{dx}{\sqrt[5]{3-4x}}} .

♦ а)  \int_{0}^{\propto }{\frac{xdx}{4x^{2}+4x+5}}=\lim_{b\rightarrow \propto }\int_{0}^{b}{\frac{xdx}{4x^{2}+4x+5}}=

 =\lim_{b\rightarrow \propto }\frac{1}{8}\int_{0}^{b}{\frac{8x+4-4}{(2x+1)^{2}+4}}dx=

 =\frac{1}{8}\lim_{b\rightarrow \propto }\left(\int_{0}^{b}{\frac{8x+4}{4x^{2}+4x+5}dx}-4\int_{0}^{b}{\frac{dx}{\left(2x+1 \right)^{2}+4}} \right)=

 =\frac{1}{8}\lim_{b\rightarrow \propto }\left(ln\left|4x^{2}+4x+5 \right||_{0}^{b} -4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}arctg\frac{2x+1}{2}|_{0}^{b}\right)=

 =\frac{1}{8}\left(ln\left|4b^{2}+4b+5 \right|-ln5 -arctg\frac{2b+1}{b}+arctg\frac{1}{2}\right)=

 =\frac{1}{8}\left(\propto -ln5-0+arctg\frac{1}{2} \right)=\propto .

Отже, інтеграл розбігається.

б)  \int_{\frac{3}{4}}^{1}{\frac{dx}{\sqrt[5]{3-4x}}}=\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\int_{b}^{1}{\frac{dx}{\sqrt[5]{3-4x}}}=\begin{vmatrix} 3-4x=t\\ -4dx=dt\\ dx=-\frac{dt}{4} \end{vmatrix}=

 =\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\int_{b}^{1}{-\frac{dt}{4t^{\frac{1}{5}}}}=-\frac{1}{4}\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\int_{b}^{1}{t^{-\frac{1}{5}}}=

 =-\frac{1}{4}\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\frac{t^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}}|_{b}^{1}=-\frac{5}{16}\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\sqrt[5]{3-4x}|_{b}^{1}=

 =-\frac{5}{16}\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\left(1-\sqrt[5]{3-4b} \right)=-\frac{5}{16}\lim_{b\rightarrow \frac{3}{4}}\left(1-0 \right)=

 =-\frac{5}{16}\cdot 1=-\frac{5}{16} .

Отже, інтеграл збіжний. ♦

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *