Задача 10 (Невизначений інтеграл)

Знайти інтеграл  \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-x+4}}

♦  \int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}-x+4}}=\int \frac{dx}{\sqrt{(2x)^{2}-2\cdot 2x\cdot \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4} \right)^{2}-\left(\frac{1}{4} \right)^{2}+4}}=

 =\int \frac{dx}{\sqrt{\left(2x-\frac{1}{4} \right)^{2}+4-\frac{1}{16}}}=\int \frac{dx}{\sqrt{\left(2x-\frac{1}{4} \right)^{2}+\frac{63}{16}}}=

 =\begin{vmatrix} 2x-\frac{1}{4}=t\\ 2dx=dt\\ dx=\frac{dt}{2} \end{vmatrix}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+\frac{63}{16}}}=

 =\frac{1}{2}ln\left|t+\sqrt{t^{2}+\frac{63}{16}} \right|+C=

 =\frac{1}{2}ln\left|2x-\frac{1}{4}+\sqrt{\left(2x-\frac{1}{4} \right)^{2}+\frac{63}{16}} \right|+C=

 =\frac{1}{2}ln\left|2x-\frac{1}{4}+\sqrt{4x^{2}-x+4} \right|+C   ♦.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *